江苏南京市鼓楼区三校联考2026-2027学年苏科版八年级上学期期中数学模拟试卷

江苏省南京市鼓楼区三校联考2026-2027学年八年级上学期期中数学模拟试卷 （卷面总分120分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共12分） 1．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，可以拼成多种不同的图形．下列用七巧板拼成的动物图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2．“已知7，24，是一组勾股数，求的值．”小苹的结果是无法确定，小安的结果是，乐乐的结果是或，则（    ） A．小苹对 B．小安对 C．乐乐对 D．三人都不对 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．分两种情况，根据勾股数的定义得出方程，求解即可． 【详解】解：当m为最长边时，， 解得：（负值已舍去）； 当24为最长边时，， 解得：（负值已舍去），不是整数，不符合题意； 综上所述，， 故选：B． 3．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了网格与勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握网格的特点，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据题意可证，得到，则有，由网格的性质可得是等腰直角三角形，，由此即可求解． 【详解】解：如图所示， ∵网格是正方形网格， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：A ． 4．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升至点D，则橡皮筋被拉长了（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及勾股定理的应用，线段中点的定义，根据线段中点的定义和等腰三角形的性质，可求出的长，再由勾股定理可求出答案． 【详解】解：在中，， ， ， 又， ， ， 故选：B． 5．如图，在直线上作一点，使点在的内部，且点到射线和的距离相等，下列作图正确的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了作角平分线及角平分线的性质定理；作出的平分线，与直线的交点P即为所求作的点． 【详解】解：∵点到射线和的距离相等， ∴点在的平分线上， ∴作出的平分线，与直线的交点P即为所求作的点， 观察四个选项，选项D符合题意， 故选：D． 6．如图，在的正方形网格中，连接两格点（小正方形的顶点），线段与网格线的其中两个交点为，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． 取格点、、、，连接、、、，设的正方形网格中每个小正方形的边长都是，再根据平行线分线段成比例定理分别求得,,,,得到答案． 【详解】解：如图，取格点、、、，连接、、、，设的正方形网格中每个小正方形的边长都是， 选项A： ， ，故A正确． 选项B：， ，故B正确． 选项C：， ，故C错误． 选项D：， ，故D正确． 故选：C． 二、填空题（每题 2 分，共20分） 7．小学阶段学习的四边形中，对称轴最多的是______形． 【答案】正方 【分析】本题考查了对称轴．熟练掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 根据长方形、正方形、梯形、平行四边形中正方形的对称轴最多，有4条求解作答即可． 【详解】解：由题意知，小学阶段学习的四边形中，对称轴最多的是正方形， 故答案为：正方． 8．在等腰三角形中，顶角，则___． 【答案】/度 【分析】此题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质得到． 【详解】解：在等腰三角形中，顶角，，， ∴， 故答案为： 9．如图，点，在上，，，，要使，则还需要添加的一个条件是________（写出一个即可）． 【答案】或或或或或(答案不唯一） 【分析】根据全等三角形的判定条件即可得到解答． 【详解】解：添加的条件为：， ∵，， ∴， 又∵，， ∴； 添加的条件为：， ∵，， 又∵，， ∴； 添加的条件为：， ∵，， ∴， 又∵，， ∴； 添加的条件为：， ∵，， ∴， 又∵，， ∴； 添加的条件为：， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴； 添加的条件为：， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴． 10．如图，、分别是的高，为的中点，，，则的周长是_____．    【答案】16 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先求出，再求的周长即可． 【详解】解：∵分别是的高，M为的中点，， ∴在中，，在中，， 又∵， ∴的周长． 故答案为：16． 11．如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线．分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与相交于点F，Q．若，则F到的距离为 _______． 【答案】 【分析】本题考查尺规作图--角平分线，线段的垂直平分线，等腰三角形，点到直线的距离等知识，勾股定理，熟悉角平分线，线段的垂直平分线的作图过程是解题关键，结合等腰三角形的性质可得答案． 由题知平分是的垂直平分线，F为的中点，计算，作，为等腰直角三角形，且，由，求出，可得F到的距离为，即可解答． 【详解】解：由题知：平分是的垂直平分线，F为的中点， ∴，． ∵， ∴， ∴， 过点F作于点H， ∴， F到的距离为， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去） ∴ F到的距离为． 12．如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，若，则的周长为_______． 【答案】14 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，熟记线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，然后根据三角形周长的定义得到的周长为． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ， ∴的周长， ， ∴的周长， 故答案为：14． 13．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的大小为______度． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，由折叠得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：由折叠得，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 14．如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 【答案】72 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为、（），先根据图1大正方形面积求出直角三角形的斜边长，根据小正方形面积得到两直角边的差值的平方，利用勾股定理得到的值，进而求出的值．分析图2中大正方形的边长与直角三角形两直角边的关系，可知其边长为，所以面积为，展开后代入已得的和的值即可计算． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为、（）， 图1中大正方形的边长为直角三角形的斜边，因此大正方形面积满足：； 图1中小正方形的边长为，因此小正方形面积满足：， 展开得： ， 将代入上式，得， 解得． 图2中大正方形的边长为， 因此大正方形面积为： ． 15．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”将两个正方形纸片按照如图的方式摆放在一起，使三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积之和是17，的面积为11，则线段BE的长度为_____． 【答案】10 【分析】本题考查了正方形的性质与三角形面积计算，解题的关键是利用等积变换，将阴影部分面积之和转化为两个正方形面积和的一半，再结合已知条件求出线段的长度． 【详解】解：设小正方形边长为，大正方形边长为， ． ． ∵， ， ． ∴ ． ， ． 故答案为：10． 16．如图，在等腰中，，点F是直线上一个动点，作等腰，且，连接．若，则______． 【答案】或 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查勾股定理，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．在中，勾股定理求得，得，分情况得，进而得出答案． 【详解】解：在等腰直角中，， ，， ∴， 当在线段上时，如图1， ∵， ， ． ∵， ∴； ， ， ， ； ∵， ∴， ∴； 当在的延长线上时，如图2， 同理可证， ∴，， ， ， ∵， ∴， 故答案为：或． 三、解答题（共88分） 17．计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算，先计算平方根和绝对值，再计算加法即可得到答案． 【详解】解：原式 ． 18．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或； (2)． 【分析】（1）整理后，根据求一个数的平方根解方程即可； （2）整理后，根据求一个数的立方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 即或， 解得或； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了根据平方根和立方根的意义解方程，掌握求一个数的平方根和立方根是解题的关键． 19．已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)， (2)的算术平方根为6 【分析】本题考查了平方根的性质，算术平方根的计算，立方根的性质以及求代数式的值，准确计算是解题的关键． （1）根据一个正数的两个平方根互为相反数即可求得a的值；根据立方根的定义求得b的值； （2）先把a、b的值代入求解，再计算算术平方根即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不同的平方根为和， ∴， 解得， ∵的立方根为， ∴， 解得， ∴，； （2）∵，， ∴， ∵， ∴的算术平方根为6． 20．如图，三个顶点坐标分别是． (1)请画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)求出的面积； (3)在轴上找出一点，使点到，两点的距离之和最小，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) 即为所求： 由图可得，； (2) (3) 【分析】本题考查作图-轴对称变换、三角形的面积、轴对称-最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案， （2）利用割补法求三角形的面积即可， （3）取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则点P即为所求，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：的面积为：； （3）解：如图，取点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，连接， 此时，为最小值， 则点P即为所求， 由图可得，P点的坐标为． 21．如图四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】36 【分析】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求出，根据四边形的面积直角三角形的面积+直角三角形的面积，即可求出四边形的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴根据勾股定理得：， 又， ∴根据勾股定理得：， 则． 22．下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明． 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，，．求证：． 方法一证明：如图，延长到点，使，连接． 方法二证明：如图，在上截取，连接． 【答案】 方法一证明：如图，延长到点，使，连接，则， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 方法二证明：如图，在上截取，连接， 在中，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 【分析】本题主要考查等边三角形的判定和性质，等边对等角，掌握以上知识是关键． 方法一：证明是等边三角形，即可求解； 方法二：证明是等边三角形，，等量代换即可求解． 【详解】略 23．用个如图所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理． (1)图中大正方形的边长为 ，里面小正方形的边长为 ； (2)大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ； (3)对比这两种表示方法，可得出 ，整理，得 ． 【答案】(1)；； (2)；； (3)；． 【分析】本题主要考查了勾股定理的验证，熟练掌握通过图形面积关系验证勾股定理的方法是解题的关键． （1）通过观察图，确定大、小正方形的边长； （2）分别从整体和部分的角度表示大正方形的面积； （3）根据面积相等得出等式，进而验证勾股定理． 【详解】（1）解：图中大正方形的边长为，里面小正方形的边长为； 故答案为：，； （2）解：大正方形的面积可以表示为，也可以表示为； 故答案为：，； （3）解：对比这两种表示方法，可得出，整理，得． 故答案为：，． 24．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M，N分别是射线，上的点，且． (1)如图，当点M在线段上，点N在线段的延长线上时，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵点P为平分线上一点，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2) ，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴． 【分析】（1）由点P为平分线上一点，，，根据角平分线的性质，可得，又由，利用，即可判定，则可证得结论； （2）证明，得到，由（1）得到，即可证得结论． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】此题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用． 25．已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形．如图，已知线段a和h．求作：等腰三角形，使，高． 【答案】 如图，等腰三角形即为所求： 【分析】本题考查了尺规作图－作线段的垂直平分线以及作线段，线段垂直平分线的性质，解题的关键是熟练掌握尺规作图的步骤． 先作射线，在射线上截取，作线段的垂直平分线，交于点，在上方的垂直平分线上截取，则等腰三角形即为所求． 【详解】略 26．如图，点O是等边三角形内的一点，，将绕点C顺时针旋转得到，使旋转后的边与边重合，连接，． (1)用尺规作出，连接； (2)若，，求的长 【答案】(1) 如图所示： (2) 【分析】本题考查了作图，旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理等知识，掌握这些知识是关键； （1）根据旋转性质得，故以点为圆心，以的长为半径，画弧，以点C为圆心，以的长为半径，画弧，两弧交于一点，即为点D，连接，即可作答． （2）由旋转的性质、等边三角形的判定得是等边三角形，结合以及全等三角形的性质得；再由是等边三角形，得，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵三角形是等边三角形， ∴ ∵将绕点C顺时针旋转得到，使旋转后的边与边重合， ∴ 故以点为圆心，以的长为半径，画弧，以点C为圆心，以的长为半径，画弧，两弧交于一点，即为点D，连接， （2）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵绕点C顺时针旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴ ∴， ∵是等边三角形， ∴， 在中，． 27．【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证明，则，（即点为的中点）． (1)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得________． 【拓展延伸】 (2)如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (3)如图4，中，，，点D在线段BC上，，，垂足为E，与相交于点．线段与的数量关系为________．（直接写出） 【答案】(1) (2)解：，理由如下： 如图，延长与交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴； (3) 【分析】（1）延长交于点，由问题情境可知：，得到，再利用三角形外角的性质即可求解； （2）延长与交于点，利用证明，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，交于点，同理（2）中的方法可证，得到，由问题情境可知：，则有，即可得出结论． 【详解】（1）解：延长交于点， 由问题情境可知：， ∴， ∵ ∴； （2）略 （3）解：，理由如下， 如图，过点作，交的延长线于点，交于点， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理（2）中的方法可得， ∴， 由问题情境可知：， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市鼓楼区三校联考2026-2027学年八年级上学期期中数学模拟试卷 （卷面总分120分 考试用时120分钟） 班级：________ 学号：________ 姓名：____________ 得分：________ 一、单选题（每题 2 分，共12分） 1．七巧板是一种古老的中国传统智力玩具，可以拼成多种不同的图形．下列用七巧板拼成的动物图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B．C． D． 2．“已知7，24，是一组勾股数，求的值．”小苹的结果是无法确定，小安的结果是，乐乐的结果是或，则（    ） A．小苹对 B．小安对 C．乐乐对 D．三人都不对 3．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则的度数是（   ） A． B． C． D． 4．如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升至点D，则橡皮筋被拉长了（   ） A． B． C． D． 5．如图，在直线上作一点，使点在的内部，且点到射线和的距离相等，下列作图正确的是（    ） A．   B．     C．   D．   6．如图，在的正方形网格中，连接两格点（小正方形的顶点），线段与网格线的其中两个交点为，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（每题 2 分，共20分） 7．小学阶段学习的四边形中，对称轴最多的是______形． 8．在等腰三角形中，顶角，则___． 9．如图，点，在上，，，，要使，则还需要添加的一个条件是________（写出一个即可）． 10．如图，、分别是的高，为的中点，，，则的周长是_____．    11．如图，已知，以点A为圆心，以适当长为半径作弧，分别与相交于点B，C；分别以B，C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内部相交于点P，作射线．分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点D，E，作直线分别与相交于点F，Q．若，则F到的距离为 _______． 12．如图，在中，的垂直平分线分别交，于D，E两点，若，则的周长为_______． 13．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则的大小为______度． 14．如图1，是北京国际数学家大会的会标，由四个全等的直角三角形拼成，取材于我国古代数学家赵爽的“弦图”．若图1中大正方形的面积为40，小正方形的面积为8．现将这四个直角三角形拼成图2的形状，则图2中大正方形的面积为______． 15．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休．”将两个正方形纸片按照如图的方式摆放在一起，使三点在同一条直线上，连接．若阴影部分的面积之和是17，的面积为11，则线段BE的长度为_____． 16．如图，在等腰中，，点F是直线上一个动点，作等腰，且，连接．若，则______． 三、解答题（共88分） 17．计算： 18．求下列各式中的值： (1)； (2)． 19．已知某正数的两个不同的平方根为和，的立方根为． (1)求的值； (2)求的算术平方根． 20．如图，三个顶点坐标分别是． (1)请画出关于轴对称的，并写出的坐标； (2)求出的面积； (3)在轴上找出一点，使点到，两点的距离之和最小，请直接写出点的坐标． 21．如图四边形中，，，，，，求四边形的面积． 22．下面是证明在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半的两种添加辅助线的方法．选择其中一种，完成证明． 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在中，，．求证：． 方法一证明：如图，延长到点，使，连接． 方法二证明：如图，在上截取，连接． 23．用个如图所示的形状、大小完全一样的直角三角形拼一拼、摆一摆，可以摆成如图所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理． (1)图中大正方形的边长为 ，里面小正方形的边长为 ； (2)大正方形的面积可以表示为 ，也可以表示为 ； (3)对比这两种表示方法，可得出 ，整理，得 ． 24．已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M，N分别是射线，上的点，且． (1)如图，当点M在线段上，点N在线段的延长线上时，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系，并说明理由． 25．已知底边及底边上的高，用尺规作等腰三角形．如图，已知线段a和h．求作：等腰三角形，使，高． 26．如图，点O是等边三角形内的一点，，将绕点C顺时针旋转得到，使旋转后的边与边重合，连接，． (1)用尺规作出，连接； (2)若，，求的长 在中，． 27．【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，平分．点为上一点，过点作，垂足为，延长交于点，可证明，则，（即点为的中点）． (1)【类比解答】如图2，在中，平分，于E，若，，通过上述构造全等的办法，可求得________． 【拓展延伸】 (2)如图3，中，，，平分，，垂足E在的延长线上，试探究和的数量关系，并证明你的结论． (3)如图4，中，，，点D在线段BC上，，，垂足为E，与相交于点．线段与的数量关系为________．（直接写出） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $