精品解析：四川乐山乐外立志达高级中学2025-2026学年高一下学期期中教学质量联合检测数学试题

乐外立志达高中2028届高一下期半期教学质量联合检测 数学 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，且，夹角为，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 3. 在中，，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 5. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 正方体的棱长为2，M是线段上的一个动点（含端点），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为 10. 如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A. B. 平面 C. 平面 D. 平面 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为2 D. 若，则当B，O，P三点共线时， 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______． 13. 已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______． 14. 如图，在中，，，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则________． 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（i为虚数单位），求： （1）的模； （2）． 16. 在平行四边形中，， （1）若为上一点，且，用基底表示； （2）若，，且与平行，求实数的值. 17. 在中,角所对的边分别为 ,且满足 . （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值． 18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 19. 设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； （3）在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乐外立志达高中2028届高一下期半期教学质量联合检测 数学 时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的运算法则，可得z，根据虚部的定义，即可得答案. 【详解】因为， 所以的虚部为． 2. 已知，，且，夹角为，则（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，夹角为，且，， 所以，解得：. 3. 在中，，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在中，由余弦定理得： ， ， ． 4. 的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用余弦的二倍角公式可得答案. 【详解】. 故选：A. 5. 用斜二测画法画水平放置的，其直观图如图所示，其中．若原的周长为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则，由直观图画出原图，得到，，求得，进而得到的长. 【详解】如图所示，根据斜二测画法的规则，可由直观图画出原图， 因为，可得，， 易知且为的中点，所以，且， 又的周长为，所以，即， 则，则. 6. 已知一圆台的上底面半径为1，高为，体积为，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设圆台的下底面半径为r， 由题意知， 整理得，解得（负值舍去）， 设圆台的母线长为，则， 所以该圆台的侧面积为. 7. 已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设该圆柱高为，底面半径为，则可得、间关系，再表示出圆柱的侧面积后，利用二次函数性质可得取最大时的、，从而可求出此时该球的半径，即可得其体积. 【详解】设该圆柱高为，底面半径为，则，即有， 圆柱的侧面积， 故当且仅当、时，取最大， 此时圆柱的外接球半径为， 则该球的体积. 8. 正方体的棱长为2，M是线段上的一个动点（含端点），则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用展开平面和两点之间线段最短求解. 【详解】 因为平面，平面，所以，， 在正方形中，对角线平分直角，得， 将平面沿展开，与平面共面，此时，且， 当三点共线时最小，此时， 由余弦定理可得，  开方得：，即的最小值为. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则 C. 若，则 D. 在上的投影向量坐标为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面向量的模判断A，利用平面向量平行、垂直的坐标表示判断BC，利用投影向量公式可判断D． 【详解】，故A正确； ， 因为，则，解得，故B正确； 当时，可得，解得，故C错误； 在上的投影向量为，故D正确. 10. 如图，为矩形所在平面外一点，是的中点，是线段上的点，平面，则下列说法正确的是（　　） A. B. 平面 C. 平面 D. 平面 【答案】AB 【解析】 【分析】根据线面平行的性质可知，由此可得A正确；根据线面平行的判定定理可得B正确；对于C，运用反证法即可排除；对于D，根据条件从线面有公共点即可排除. 【详解】对于A，平面，平面平面，平面， ， 四边形为矩形，为中点，为中点， 为中点，即，A正确； 对于B，平面，平面，， 平面，B正确； 对于C，假设平面，因，则平面或平面， 平面，平面，平面且与平面不平行， 故假设错误，即不平行于平面，C错误； 对于D，因是的中点，平面，则点平面，故平面不成立，故D错误. 故选：AB. 11. 如图，为边长为2的等边三角形，以AC的中点O为圆心，1为半径作一个半圆，点P为此半圆弧上的一个动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的最小值为2 D. 若，则当B，O，P三点共线时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量的线性运算可判断A；由数量积的定义可判断B；以为坐标原点，建立平面直角坐标系，结合三角函数的性质可判断C；由共线向量定理求出可判断D. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，由A知，， ，故B错误； 对于C，以为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，， 设， 所以， 当时，的最小值为2，故C正确； 对于D，当三点共线时，， ，所以， 又因为，所以， 所以，所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 底面半径为1、母线长为3的圆锥的侧面展开图中扇形的中心角为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面展开图结合扇形的弧长公式运算求解. 【详解】设侧面展开图中扇形的中心角为， 由题意可得：，解得， 所以侧面展开图中扇形的中心角为. 13. 已知为定义在上的奇函数，且当时，，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为是奇函数，所以， 又为定义在上的奇函数，则，故. 14. 如图，在中，，，，E为AC中点，且BE与CD交于点F，若，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】设，利用共线，共线，求得后把用表示，然后由数量积的运算律求解. 【详解】由题可知，， 设，则，， 因为共线，共线， 所以，解得， 所以， ， 所以. 四、解答题：本题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，（i为虚数单位），求： （1）的模； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ，故.. 【小问2详解】 16. 在平行四边形中，， （1）若为上一点，且，用基底表示； （2）若，，且与平行，求实数的值. 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据三角形法则和共线定理即可求出结果； （2）首先根据坐标运算求出与的坐标表示，再根据平面向量平行的坐标运算公式，列出关于方程，即可求出结果. 【详解】解：（1） （2）因为， 所以 由于 则 所以. 【点睛】本题主要考查了平面向量的三角形法则、共线定理、以及平面向量坐标运算再向量平行中的应用，属于基础题. 17. 在中,角所对的边分别为 ,且满足 . （1）求角A的大小； （2）若的面积为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由正弦定理得， 又， 代入得. 由，得， 即，. 由，所以易得，故. 【小问2详解】 ，即，得. 由余弦定理，得，即. 联立，得，故. 18. 如图，在正方体中，点G，E，F，P分别为棱，，，的中点，点M是棱上的一点，且 （1）求证：D，B，F，E四点共面； （2）求证：平面； （3）棱上是否存在一点N使平面平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 连接，因为点E，F分别为棱，的中点，所以， 又在正方体中且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 所以，所以D，B，F，E四点共面； （2） 连接、分别交于点H、O，连接， 在正方体中，且， 所以，则， 同理可得， 所以，所以， 又平面，平面，所以平面； （3）存在， 【解析】 【分析】（1）连接，可证四边形为平行四边形，得到，进而可证即可证明； （2）连接、分别交于点H、O，连接，即可证明，从而得到，再根据线面平行判定证明即可； （3）根据题意，首先,则，再由时，根据面面平行的判定证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 存在，且，理由如下： 因为， 所以， ， 又， ， 平面，平面， 平面， 延长交于，延长交于，连接， 为中点，易得， ， 分别为的中点，易得， ，， ，又，即， 四边形为平行四边形， ， 又平面，平面， 所以平面， 又平面， 平面平面， 所以时，平面平面． 19. 设，是平面上的两条射线，其中，、分别是与、同向的单位向量，以射线、分别为轴、轴的正半轴，建立的平面坐标系称为仿射坐标系.在仿射坐标系中，若，则记. （1）在仿射坐标系中，若，求（用含，，的代数式表示）； （2）在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求的值； （3）在仿射坐标系中，如图所示，点、分别在轴、轴正半轴上运动，，，、分别为、中点，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，将其两边平方后利用向量数量积的运算律计算即得； （2）利用（1）得到的模长公式，求得和，再计算，再将条件代入公式，列出方程，即可求出的值. （3）设出点用表示出，利用正弦定理，经过三角恒等变换，化简成正弦型函数，求得其最大值. 【小问1详解】 由可得， 则， 所以； 【小问2详解】 依题意，将代入（1）得到的模长公式即得，，， ， 因为与的夹角为，则由， 可得，解得. 【小问3详解】 依题意，设， 因为是的中点，则， 因为是的中点，则， 故 因为，， 则， 在中，由余弦定理得，即，代入上式可得， ， 在中，由正弦定理可得， 设，则， 于是 ， 其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取最大值， 则，即的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $