精品解析：四川省南充市高坪中学2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷

高坪中学2025年春季高2024级期中考试 数学试卷 一、单选题（5分/题，共40分） 1. 化简（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数(为虚数单位)，则的共轭复数(　　) A. B. C. D. 3. 已知，，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 若满足，的有且只有一个，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则= （ ） A. B. C. D. 7. 在和中，B是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 中，已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（6分/题，共18分） 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 D. “”的充要条件是“且” 10. 已知函数（，）的部分图象所示，点，，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 的最小正周期为 D. 在区间上单调递增 11. 在锐角中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 的外接圆半径为5 B. 若，则的面积为 C. D. 的取值范围为 三、填空题（5分/题，共15分） 12. 已知i是虚数单位，是纯虚数，则实数_______． 13. 已知点在直线上，且，设，则实数__________． 14. 已知为的外心，且，，则实数的值为______． 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，，点. （1）求、两点的坐标和线段的中点的坐标； （2）若点满足，求与的值. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）若，求外接圆的半径， （2）若的面积为，求的大小及的周长． 17. 已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 18. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．过点B作BC的垂线l，D为l上一点． （1）若，，求线段AD的长； （2）若且D点在△ABC外部，求线段AD长的取值范围． 19. 设函数 （1）若，，求角； （2）若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件： （3）将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学2025年春季高2024级期中考试 数学试卷 一、单选题（5分/题，共40分） 1. 化简（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量运算的加法和减法法则即可. 【详解】根据题意， 故选：A 2. 已知复数(为虚数单位)，则的共轭复数(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算求出复数z，结合共轭复数的概念即可求解. 【详解】因为， . 故选：D. 3. 已知，，，则的形状是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 等边三角形 【答案】A 【解析】 【分析】 利用坐标表示，根据向量数量积坐标表示，可得结果. 【详解】，， ， ，， 为直角三角形. 故选：A 【点睛】本题考查通过向量数量积坐标表示，判断三角形形状 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用对数运算性质求出的值，再结合同角三角函数平方关系求出的表达式，最后代入对数运算得到结果. 【详解】由对数有意义的条件得，，因此. 已知，可得， 所以. 因为， 所以， 结合，得.  . 5. 若满足，的有且只有一个，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】已知满足题意的三角形有且仅有一个，则或，直接计算求解即可. 【详解】由题意得，或时满足题意的有且只有一个， 则或. 故选:B 6. 若，则= （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过角的变换将转化为，结合同角三角函数基本关系和正弦差角公式计算求解. 【详解】 已知，，所以 ， 已知，故，又，因此， . 所以 ， 代入数值计算： . 7. 在和中，B是的中点，，，，若，则与的夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，为方向的单位向量，进而表示相关向量，利用已知边长关系求出，代入求出，进而利用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】设，为方向的单位向量， B是的中点，，故， 由得， 解得， 又， 则， 故， 故． 8. 中，已知，则的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量数量积与余弦定理结合已知等式求出，利用余弦定理结合基本不等式求出的最小值，根据同角三角关系结合三角形内角的性质求出的最大值． 【详解】设的三边为， 则， ， ， 代入得， 化简整理得：， 由余弦定理： ， 当且仅当时取等号， 因为，，则， 故的最大值为． 二、多选题（6分/题，共18分） 9. 下列结论中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若A，B，C，D是不共线的四点，则“”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件 D. “”的充要条件是“且” 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面向量的性质、平行的性质与充分必要条件的定义逐个辨析即可. 【详解】对于A，两个向量的长度相等.但它们的方向不一定相同； 对于B，由平面向量相等可得B正确； 对于C，若A，B，C，D是不共线的四点，则当时，且，故四边形ABCD为平行四边形； 当四边形ABCD为平行四边形时，且，故且同向，故，故C正确； 对于D，当且方向相反时，即使，也不能得到，故D错误； 故选：BC 10. 已知函数（，）的部分图象所示，点，，则下列说法中正确的是（ ） A. 直线是图象的一条对称轴 B. 的图象可由的图象向左平移个单位长度得到 C. 的最小正周期为 D. 在区间上单调递增 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出，利用代入检验法判断A；利用三角函数图象的平移变换法则判断B；利用周期公式判断C；利用正弦函数的单调性判断D. 【详解】由得，∴. 又，∴，∴. 根据“五点法”可得，解得，故. 令，得，为最大值，故直线是图象的一条对称轴，故A正确； 把的图象向左平移个单位长度，可得的图象，故B不正确； 的最小正周期为，故C正确； 当时，，故此时单调递增，故D正确. 故选：ACD 11. 在锐角中，角A，B，C对边分别为a，b，c，且，，则（ ） A. 的外接圆半径为5 B. 若，则的面积为 C. D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件求得，，对A，由正弦定理运算可判断；对B，由可得，求得，利用三角形面积公式求解；对C，由正弦定理可得，，可得，代入运算可判断；对D，由余弦定理和数量积运算法则求出，换元后利用三角恒等变换得到，求出答案. 【详解】由，可得，因为为锐角，所以，所以，可得，. 对于A，由正弦定理，，，故A错误； 对于B，，，则， 所以.故B正确； 对于C，因为，，所以，，， 又， ，故C正确； 对于D，由余弦定理得，即， 又， 所以， 设，则， 由正弦定理 ， 其中锐角满足，由锐角三角形可得，所以， 又，所以，， 又，所以，从而， 而函数在上单调递减，又，， 所以的取值范围.故D正确. 故选：BCD. 三、填空题（5分/题，共15分） 12. 已知i是虚数单位，是纯虚数，则实数_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的除法运算化简复数，再利用纯虚数的概念，即可得答案； 【详解】∵， ∴解得． 故答案为：-2 13. 已知点在直线上，且，设，则实数__________． 【答案】或 【解析】 【详解】因为，所以当在线段AB上时，， 当当在线段BA的延长线上时，. 故答案为：或． 14. 已知为的外心，且，，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】取边的中点，利用向量加法的平行四边形法则可得，，，三点共线，由，，再由即可求解. 【详解】如图所示，取边的中点，则， 又，所以， 所以，，三点共线，， 因为为的外心，所以，， 所以，． 因为，所以， 即，所以． 故答案为： 【点睛】本题考查了向量的共线定理、向量加法的平行四边形法则，属于中档题. 四、解答题（共77分） 15. 已知向量，，点. （1）求、两点的坐标和线段的中点的坐标； （2）若点满足，求与的值. 【答案】（1）、、 （2）、 【解析】 【小问1详解】 由，，，则，， 则线段的中点的坐标为； 【小问2详解】 、，由， 则，解得. 16. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． （1）若，求外接圆的半径， （2）若的面积为，求的大小及的周长． 【答案】（1）； （2）的周长为；的周长为． 【解析】 【分析】（1）由题意，根据正弦定理可得，再次利用正弦定理计算即可求解； （2）根据三角形的面积公式可得或，利用余弦定理分别求出a，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以，即， 又，所以．又， 所以． 【小问2详解】 的面积， 则，因为，所以或． 当时，， 得的周长为． 当时，， 得的周长为． 综上，的周长为或 17. 已知，， （1）求的最小正周期及单调递减区间； （2）已知锐角的内角的对边分别为，且，，求边上的高的最大值． 【答案】（1）最小正周期为；单调递减区间为；（2）． 【解析】 【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及单调递减区间；（2）由，可得，设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值. 【详解】解：（1） ． 的最小正周期为：； 当时， 即当时，函数单调递减， 所以函数单调递减区间为：； （2）因为，所以 ，， ，． 设边上的高为，所以有， 由余弦定理可知：， ，， （当用仅当时，取等号），所以， 因此边上的高的最大值. 18. 已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．过点B作BC的垂线l，D为l上一点． （1）若，，求线段AD的长； （2）若且D点在△ABC外部，求线段AD长的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理求出角B,C，然后再由cosC求解CD,从而求得AD； （2）先利用正弦定理求出相关边，再通过三角函数的值域求出线段AD长的取值范围. 【小问1详解】 \ 由，，及正弦定理得， 所以 因为所以 ，因为，所以 所以, 因为，，所以三点共线， 直线 ,得， 在直角三角形中，，得， 所以，所以； 【小问2详解】 设 ，，, 则, 在中，由正弦定理, 所以， 在中, 由正弦定理, 所以 ， ，得，所以， 所以，所以线段AD长的取值范围是. 19. 设函数 （1）若，，求角； （2）若不等式对任意时恒成立，求实数应满足的条件： （3）将函数的图像向左平移个单位，然后保持图像上点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图像，若存在非零常数，对任意，有成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3）当时，（且）；当时，， 【解析】 【分析】（1）先化简，由可得或，，再结合的范围即可求解； （2）由余弦函数的单调性和参数分离、对勾函数的单调性, 可得所求范围; （3）由三角函数的图象变换可得 , 再由两角和的正弦公式和恒等式的性质, 解方程可得所求范围. 【小问1详解】 由题意可知 ∵， 或， ∵ ∴或 【小问2详解】 令， ∴，， ， 令， ∴， 解得：； 【小问3详解】 ∵， ∴的图象向左平移个单位，横坐标变为原来的， 可得 ∵，存在非零常数，对任意的， 成立，在上的值域为，在上的值域为 ∴ 当时，，1为的一个周期，即1为最小正周期的整数倍．所以，即（且） 当时， 由诱导公式可得， 即， 所以当时，（且）； 当时，， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $