精品解析：四川嘉祥教育集团2025-2026学年高一下学期期中质量监测数学试题

嘉祥教育集团2025-2026学年高一下学期质量监测试题 数 学 注意事项： 1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 3．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 复数（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知函数的图象为C,为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（ ）. A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 3. 在中，为边上一点，且，若，则等于（   ） A. B. C. D. 4. 已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 已知非零向量与满足且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 6. 在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（ ） A. B. C. D. 7. 若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 8. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 1 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. B. 若向量与共线，则存在唯一的实数使 C. 若非零向量与相等，则，重合 D. 若，则 10. （多选）已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为2 11. 已知函数，在中，角，，所对的边分别为，，，满足，．以下结论正确的有（ ） A. 在上的零点之和为 B. ，满足 C. D. 第Ⅱ卷（选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，当时，的值为______． 13. 如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，则________． 14. 在钝角中，，，，且C是最大角，则面积的取值范围为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，． （1）若，求与的夹角； （2）若，求的坐标． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． （1）若，求的值； （2）若，求的面积． 17. （1）证明：； （2）已知，．求，的值（用m表示）． 18. 某公园有一条笔直的观光道路，道路一侧有两个景观标志牌和（视为平面上的点）．经测量，标志牌到道路的垂直距离为5米，标志牌到道路的垂直距离为1米，且两标志牌在道路上的投影点之间的距离为4米（即若过、分别作道路的垂线，垂足为、，则米）．假设道路为一条直线，游客从道路上的点处观看两个标志牌，视线和的夹角为．所有点均在同一平面内，忽略高度影响． （1）以为原点，道路为轴（在原点，在x轴正半轴上），建立平面直角坐标系，画出示意图，写出、的坐标； （2）设的坐标为，试用表示，并化简； （3）在（2）的条件下，求的最大值及此时点的坐标． 19. 如图1所示，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）在仿射坐标系下，，，若，则是否一定成立？请说明理由； （2）在仿射坐标系下，若，，且与的夹角为，求； （3）如图2，在仿射坐标系中，点B，C分别在两条数轴正半轴上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 嘉祥教育集团2025-2026学年高一下学期质量监测试题 数 学 注意事项： 1．全卷满分150分，考试时间120分钟． 2．在作答前，考生务必将自己的姓名、考号涂写在试卷和答题卡规定的地方．考试结束，监考人员只将答题卡收回，试卷请考生自己妥善保存． 3．选择题部分必须用2B铅笔填涂；非选择题部分必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 4．请按照题号在答题卡上各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题均无效． 5．保持答题卡清洁，不得折叠、污染、破损等． 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求） 1. 复数（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算求解即可. 【详解】解： 故选：C 2. 已知函数的图象为C,为了得到函数的图象，只要把C上所有的点（ ）. A. 向右平行移动个单位长度 B. 向左平行移动个单位长度 C. 向右平行移动个单位长度 D. 向左平行移动个单位长度 【答案】C 【解析】 【分析】 根据三角函数的平移得到答案. 【详解】把的图像向右平移个单位长度， 得到的图像. 故选： 【点睛】本题考查了三角函数的平移，属于简单题. 3. 在中，为边上一点，且，若，则等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在中，由，得， 所以. 4. 已知单位向量在单位向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】先确定与的夹角，再求，进而可解出. 【详解】因为向量在向量上的投影向量为，所以确定与的夹角为，所以， 所以，所以. 故答案为：B. 5. 已知非零向量与满足且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将变形可得，从而可知的角平分线与垂直，故.再结合向量数量积的定义及可得，即可判断的形状. 【详解】∵和分别是与和同向的单位向量， ∴表示在的角平分线上的向量. ∵，∴， ∴的角平分线与垂直，∴. 又，∴， ∴为等边三角形. 故选：D. 6. 在复平面内，是原点，复数对应的向量分别为．若绕点按逆时针方向旋转所得的向量与绕点按顺时针方向旋转所得的向量相等，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得为相反向量，进而得到，再求解判断各选项即可. 【详解】由题意，为相反向量， 而，则，即，则， 所以，故A错误； 而，则，故B错误； 而，故C正确； 而，故D错误. 故选：C 7. 若函数满足，且在有唯一零点，则的最大值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简函数，再利用指定区间上有唯一零点及周期情况列式求解. 【详解】函数， 由得，是函数图象的一条对称轴， 则，，解得，； 当时，， 由函数在有唯一零点，得，解得， 所以当时，取得最大值． 8. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式及和差公式化简求值即可． 【详解】解：原式 ． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中有多项符合题目要求．全部选对的得全部分，部分选对的得部分分，有错选的得0分） 9. 下列说法错误的是（ ） A. B. 若向量与共线，则存在唯一的实数使 C. 若非零向量与相等，则，重合 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据向量共线定理可判断AB；根据向量的减法可判断C；根据垂直关系的向量表示可判断D. 【详解】对于A：与共线，与共线，而与不一定共线，所以等式不成立，A错误. 对于B：若，，则不存在实数使，B错误. 对于C：因为，所以，即，所以，重合，C正确. 对于D：由，得，则，不一定有，D错误. 10. （多选）已知复数z满足，则（ ） A. B. C. D. 的最大值为2 【答案】ABD 【解析】 【详解】设复数（a，），由可得，. 选项A：，正确； 选项B：，正确； 选项C：，只有当时才等于1，不是恒成立，错误； 选项D：， 因为，当时，的最大值为，正确. 11. 已知函数，在中，角，，所对的边分别为，，，满足，．以下结论正确的有（ ） A. 在上的零点之和为 B. ，满足 C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据零点的定义求出在上的零点，求和即可；对于B：根据三角恒等变换得到，结合余弦函数的值域及二次函数的性质求出最值与比较即可；对于C：结合B可得到，由及两角和正弦公式可得，进而得到或（舍去），利用诱导公式及向量数量积定义求解判断即可；对于D：结合二倍角公式求出，利用正弦定理求解即可. 【详解】对于A：令，则或， 因为，所以或或或， 零点之和为，A正确. 对于B： . 令，则，所以， 所以当时，，即的最大值为， 而，所以不存在，满足，B错误. 对于C：结合B可得，当时，. 由，得， 即，所以或. 又，为三角形内角，所以，则. ，C错误. 对于D：由C得，，，所以为锐角， 则. 由正弦定理得，，D正确. 第Ⅱ卷（选择题 共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知，，，当时，的值为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示，结合三角函数求解即可. 【详解】由，得，解得. 又，所以或. 13. 如下图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线于不同的两点M，N．设，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】通过代入后，根据三点共线计算即可. 【详解】因为点是的中点， 所以， 又三点共线， 所以，即. 故答案为：. 14. 在钝角中，，，，且C是最大角，则面积的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理结合三角形边的关系以及三角形面积公式求解即可. 【详解】∵是的三边，∴，∴． ∵是钝角三角形，且是最大角，∴． ∴，∴，∴． ∴.∴的取值范围是． 则，则， 则. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知，． （1）若，求与的夹角； （2）若，求的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量的模的坐标表示及向量夹角的求解公式求解即可. （2）设，根据向量的模及向量平行的坐标表示列方程组求解即可. 【小问1详解】 . 设与的夹角为，则， 又，所以，即与的夹角为． 【小问2详解】 设，则，解得或 因此或． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c且． （1）若，求的值； （2）若，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先对题设进行边化角处理，接着进行三角恒等变换，得到即可； （2）根据面积公式可求答案. 【小问1详解】 因为，则， 即． 又，所以， 即 所以，即． 【小问2详解】 因为，， 所以． 17. （1）证明：； （2）已知，．求，的值（用m表示）． 【答案】 （1）注意到，， 代入左边展开即可； ； （2）， ． 【解析】 【分析】（1）利用和差公式进行证明； （2）设，对进行平方，再相加结合和差化简，开方即可求出，两式相减即可求． 【详解】解：（1）略 （2）设，则两边平方，得，（*） 将已知式两边平方，得，（**） 将两式（*）（**）相加，得， 即，故． 将两式（*）（**）相减，得， 所以， ， ， ． 18. 某公园有一条笔直的观光道路，道路一侧有两个景观标志牌和（视为平面上的点）．经测量，标志牌到道路的垂直距离为5米，标志牌到道路的垂直距离为1米，且两标志牌在道路上的投影点之间的距离为4米（即若过、分别作道路的垂线，垂足为、，则米）．假设道路为一条直线，游客从道路上的点处观看两个标志牌，视线和的夹角为．所有点均在同一平面内，忽略高度影响． （1）以为原点，道路为轴（在原点，在x轴正半轴上），建立平面直角坐标系，画出示意图，写出、的坐标； （2）设的坐标为，试用表示，并化简； （3）在（2）的条件下，求的最大值及此时点的坐标． 【答案】（1） ， （2）， （3）最大值为，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）结合题意作图求解即可. （2）根据三角函数的定义、诱导公式即两角和的正切公式化简求解即可. （3）根据代换法结合基本不等式求解即可. 【小问1详解】 由题意，在正上方，距离5米，故； 在正上方，距离1米，且在x轴正半轴上，，故， 从而，示意图如图． 【小问2详解】 点，其中． 设，，则在直角三角形与中， 由三角函数的定义，得，， 由于，所以 ． 因为，则，且， 所以，． 【小问3详解】 令，则，， 则， 等号当且仅当时，即（米）时成立， 故的最大值为，此时点的坐标为． 19. 如图1所示，设是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量，则平面坐标系为仿射坐标系，若在仿射坐标系下，则把有序数对叫做向量的仿射坐标，记为． （1）在仿射坐标系下，，，若，则是否一定成立？请说明理由； （2）在仿射坐标系下，若，，且与的夹角为，求； （3）如图2，在仿射坐标系中，点B，C分别在两条数轴正半轴上（均与点O不重合），，，E，F分别为的中点，求的最大值． 【答案】（1）不一定成立，理由： 若，可得 ， 而不恒为零，因此不一定成立． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出的表达式，根据式子判断即可； （2）根据定义求出即，再结合进行求解； （3）以为原点建立平面直角坐标系，设，，，，再设，由正弦定理可得，，再计算，结合三角恒等变形求最值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由，，得，，且， 所以， ， 则， 故， 因为与的夹角为， 则，解得，则． 【小问3详解】 如图：在直角坐标系中，， 设， 即在中，由余弦定理得， ，分别为的中点， 则 . 在中，由正弦定理， 设，则， 所以， ， 其中为锐角，且， 因为，则， 故当时，取得最大值， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $