专题 第3章 与黄金分割有关的专项训练 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

与黄金分割有关的专项训练 1．（26-27九年级上·陕西渭南·期中）相同的瓶子里装入不同的水量，用木棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过不断尝试发现，如图所示的瓶子中，当水面高度与瓶高之比为黄金比（即，点在线段上）时，可以发出特定的音符．若，则水面高度是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·单元测试）黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级下·山东烟台·期末）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2026·江苏泰州·模拟预测）地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 6．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景（如图），也会产生最具美感的黄金分割比例，即．点B为的黄金分割点（），若，则的长为____．（结果保留根号） 7．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为________（结果保留根号）． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，将舞台的长看作线段，，是舞台的黄金分割点，为了增强视觉平衡和美感，需要演员从舞台处出发，最终站在该舞台的黄金分割点处．若，则演员最终位置到点的距离为__________（用含的代数式表示）． 9．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点（），则有．已知厘米，那么______厘米． 10．（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比（）的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是以为顶角的黄金三角形，且平分，，则的长为_________． 11．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形：①矩形；②矩形；③矩形；④矩形中，是黄金矩形的是________（填序号）． 12．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么的长度为______． 13．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）在设计人体雕塑时，为了增加视觉美感，雕塑师在雕刻时将雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比．美学家认为这个比值是黄金分割数，它能增加美感．据说一些名画和雕塑中的人体大体都符合这个比． (1)如图，，线段上有一点把线段分成两段，其中是较小的一段，且满足：：，求的值． (2)雷锋纪念馆雕像按照黄金分割比例雕刻（上部：下部下部：全身，上部比下部短），已知雕像下部高度为米，求这座雕像的总高度以及上部高度． 14．（2026·甘肃平凉·二模）黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 15．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，点是线段上一点（），如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图1，点是线段的黄金分割点，若，则___________； (2)如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点．请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 16．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比．如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点、，使，均为黄金三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)在第（1）小题的基础上，求的值． 17．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以点F为圆心，的长为半径作弧，交于点H；再以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点P． (1)由上述作图可知，图中相等的线段是______________________________________________ (2)求的长； (3)求证：P是线段的黄金分割点． 18．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）材料一：有教材对“黄金分割比”的定义如下： “如图，点C把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，叫做黄金比．”根据定义不难发现，在线段上另有一点D把线段分成两条线段和，满足，所以点D也是线段的黄金分割点． 材料二：对于实数，若满足，，则称为的黄金数，为的白银数． 请根据以上材料，回答下列问题： (1)如图，点D、C在线段上，若，点C和点D是线段的黄金分割点，则______，______． (2)实数，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求的值． (3)实数，，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值． 19．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）阅读与思考 下面是某同学笔记中的部分内容，请认真研读并完成相应的任务： 一元二次方程与黄金分割数概念：如果一个点把一条线段分成两部分，且其中较短一段与较长一段的比等于较长一段与整条线段的长度的比，那么这个比值叫做黄金分割数，这个点叫做黄金分割点．如图1，在线段上找一点C，它把线段分成不相等的两段和，若，且，则这个比值叫作黄金分割数．下面是求黄金分割数的解答过程． 解：设，，则，代入， …… (1)根据材料可知，一条线段有__________个黄金分割点 (2)补全材料中的解答过程． (3)在下图所示的正方形网格中，请你用无刻度的直尺和圆规作线段的一个黄金分割点．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 20．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读下面数学材料，并完成相应的任务： 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段、、之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程：设，，则． 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有______________个黄金分割点． (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程． (3)如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点．求证：点是线段的黄金分割点． 21．（25-26八年级下·福建南平·期中）阅读材料 黄金分割点：若线段上的点满足（其中），则称点为线段的黄金分割点，比值称为黄金比． 黄金矩形：宽与长的比值等于黄金比的矩形，称为黄金矩形． （1）验证黄金分割点 （2）构造并验证黄金矩形 已知线段，按以下步骤进行尺规作图（对应图1）： ①过点作，垂足为点，使得，连接； ②以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点（得到的点满足）． 沿用（1）中得到的线段及它的黄金分割点，继续完成以下操作（对应图2）： ①以为边，在的上方作正方形； ②连接正方形的对角线； ③过点作，垂足为点，线段分别交、于点、； ④过点作线段，分别交、于点、，得到四边形． 请结合上述材料，完成下列问题： (1)如图，已知线段，点是线段的两个黄金分割点（其中），点是线段的中点，求线段的长； (2)请结合上述作图步骤1，证明图1中的点是线段的黄金分割点； (3)请结合上述作图步骤2，证明图2中的四边形是黄金矩形． 22．（25-26八年级下·福建福州·期末）综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． (1)某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 (2)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 (3)有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 23．（2026·江苏宿迁·二模）综合与实践 黄金分割给人以美感，其魅力在于它横跨了数学与算法、工程建筑、艺术设计、绘画摄影、生态自然、股市分析有着极其重要的作用与应用．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则． 一、感知计算 (1)如图1，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则______．（填“”、“”或“”） 二、应用生活 (2)贝多芬《第五交响曲》全曲演奏时长约为33分钟，在整个乐曲达到高潮时，位置恰好落在全曲时长的黄金分割点处，则乐曲到达高潮的时间是______分钟（保留整数）． 三、动手操作 已知矩形纸片的宽，按如下步骤进行折叠操作： ①如图2，沿折痕对折，使点落在点处，展开后得到正方形； ②如图3，将与重合对折，折痕为，再展开； ③如图4，连接，过点对折，使得点落在点处，折痕为，再展开； ④如图5，过点对折纸片，折痕为，得到矩形； (3)四边形是______形． (4)证明：矩形是黄金矩形；（宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形） (5)我国国旗五星红旗上的五角星，其轮廓由正五边形绘制而成．请你用无刻度的直尺和圆规：以已知线段为正五边形的一条对角线，作正五边形．（不写作法，保留作图痕迹） 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 答案 A A C B 1．A 【分析】根据题干中给出的黄金比定义及的长度，列式计算 即可． 【详解】解：，， ． 2．A 【分析】由黄金分割的定义列式后，逐项验证即可． 【详解】解：由题意可知，则四个选项中只有正确． 3．C 【分析】根据黄金分割点的定义：较长线段是全线段与较短线段的比例中项，且较长线段与全线段的比值为，逐项判断即可． 【详解】解：点P为线段的黄金分割点，且，则： ，即，故①正确； 设，则， ∴， ∴，故②错误； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴, ∴,故④正确， 综上所述，正确的结论有①③④，共3个． 4．B 【分析】设正方形边长为，利用勾股定理求出，进而得到、、、的长度，根据黄金分割的定义逐一判断点、、、是否为所在某条线段的黄金分割点； 【详解】解：在正方形中，， 设， ∵是的中点， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵、、、在同一直线上， ∴， ∵，， ∴，满足黄金分割定义， ∴点是线段的黄金分割点； ∵是的中点， ∴不是的黄金分割点， ∵，，， ∴，， ∴， ∴不是的黄金分割点， 综上所述，点、、是黄金分割点，共3个． 5． 【分析】根据黄金分割率，用，可得结论． 【详解】解：由题意得，，， 黄金地带纬度的范围是：． 6．/ 【分析】根据黄金分割比例得到，据此求出的长，再由线段的和差关系求解即可． 【详解】解：∵点B为的黄金分割点（）， ∴， ∵， ∴， ∴． 7． 【分析】根据黄金分割的计算公式正确计算即可． 【详解】解：点C是线段的黄金分割点， ． 8．或 【分析】根据黄金分割点的定义：长线段的长度与全长之比等于，结合图形的特征求解即可． 【详解】解：∵，、是线段的黄金分割点， ∴若演员最终位置为点的位置，此时， ； 若演员最终位置为点的位置，此时， ， ， 演员最终位置到点的距离为或． 9． 【分析】根据对称性可得厘米，再根据黄金比值可得答案． 【详解】解：由题意得，厘米， ∵， ∴， ∴厘米． 10．/ 【分析】根据黄金三角形的定义得到，，，证明，根据等角对等边即可得到答案． 【详解】解：∵是以为顶角的黄金三角形，， ∴，， ， ∵平分， ∴， ∵ ∴， ∴． 11．①③/③① 【分析】设正方形的边长为，利用勾股定理求出的长，根据作图过程表示出、等线段的长，分别计算四个矩形宽与长的比值，符合的即为黄金矩形． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵、分别是、的中点， ∴，，， 在中，由勾股定理得， ∵以点为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点， ∴， ，， 对于矩形：宽，长，，是黄金矩形； 对于②矩形：宽，长，，不是黄金矩形； 对于③矩形：宽，长，，是黄金矩形； 对于④矩形：宽，长，，不是黄金矩形； 综上所述，是黄金矩形的是①③． 12． 【分析】作的中线，根据题目中“精准三角形”的定义可得，根据勾股定理得到可求解． 【详解】解：如图，作的中线， ∵是“精准三角形”， ∴， ∵， ∴， ∵是中点， ∴， 令，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 13．(1)的长为 (2)这座雕像的总高度为米，上部高度为米 【分析】（1）设为，则，根据列出方程，求解即可； （2）先根据上部：下部求出上部高度，再求这座雕像的总高度即可． 【详解】（1）解：设为，则， ∵， ∴， 即， 解得，， ∵， ∴， 答：的长为． （2）解：∵上部：下部，下部高度为米， ∴上部高度米， ∴这座雕像的总高度米． 14．如图所示，即为所求： 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴设，， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 所以点就是线段的黄金分割点． 15．(1) (2)如图，点H即为所求 【分析】（1）根据题意可得，解方程即可得到答案； （2）按题目步骤画图即可. 【详解】（1）解：∵点是线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）； （2）略 16．(1) (2) 【分析】（1）根据等边对等角可知，则分别以点B和点C为圆心，为半径画弧交于点D和点E，即可解答； （2）连接，，根据“黄金三角形”的定义得到，，，可知为黄金三角形，根据“黄金三角形”的性质作答即可． 【详解】（1）解：略； （2）解：如图，连接，． 由（1）知，，为黄金三角形， ∴，， ∴，，， ∴为黄金三角形，可得， 即， ∴． 17．(1)， (2) (3)证明：， ， ， ， ，即， 点是线段的黄金分割点． 【分析】（1）根据作图步骤，即可解答； （2）根据垂直定义可得，由已知得，在中，利用勾股定理求出的长，再根据作图可得：，，从而求出的长； （3）计算，，从而得到，，据此可得结论． 【详解】（1）解：根据以点F为圆心，的长为半径作弧，交于点H；得， 根据以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点P，得； （2）解：， ， ，， ， ， 由作图得：，， ； （3）略 18．(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据黄金分割的定义分别计算和的长，可得的长； （2）根据黄金数和白银数的定义分别列式，得关于a和b的一元二次方程，解出代入可得结论； （3）根据定义列两个等式，将代入分别解方程可得结论． 【详解】（1）解：∵，点C和点D是线段的黄金分割点， ∴， ∴； （2）解：∵b为0，1的黄金数，且实数， ∴， 整理得， 解得：（不符合题意，舍去）， ∵a为0，1的白银数，且实数， ∴， 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去）， ∴； （3）解：∵m，n分别为k，t的黄金数和白银数，实数， ∴， ∵， 由①得：，由②得：， ∴， 解得：， ∵， ∴， ∴． 19．(1)2 (2)解：， 化简得， 解得 ， ， 黄金分割数． (3) 【分析】（1）根据黄金分割点的定义直接作答． （2）根据黄金分割比的定义列出关于的方程，解一元二次方程并舍去负根即可． （3）根据黄金分割点的几何作法，利用勾股定理和圆规作图，在线段中作出的线段，从而确定点的位置． 【详解】（1）解：根据黄金分割点的定义，一条线段有2个黄金分割点，靠近线段左端点和右端点各一个． （2）略 （3）解：令点上方个单位的网格点为，连接， 以为圆心，长为半径画弧，交于， 以为圆心，长为半径画弧，交线段于点， 在正方形网格图中，设个正方形单元格边长为， ，， ， ， ， 点就是线段的一个黄金分割点．（同理）． 20．(1) (2)解：设，，则， ， ， 整理得：， 解得：， 线段的长度不能是负数， ， ， ； (3)证明：在中，，， 设，则， ， 以点为圆心，长为半径画弧交于点， 则，， 以点为圆心，长为半径画弧交于点， 则， ， ，， ， 点是线段的黄金分割点． 【分析】（1）根据黄金分割的定义可知一条线段有个黄金分割点； （2）根据黄金分割的定义可得方程：，解方程求出的值即为线段的长度，根据黄金分割的定义求出黄金分割数的值； （3）设，则，证明，即可证明点是线段的黄金分割点． 【详解】（1）解：如下图所示，点为线段上一点，点把线段分成和两段， 其中， 线段、、之间的关系满足， 则点是线段的一个黄金分割点； 如下图所示，点为线段上一点，点把线段分成和两段， 其中， 线段、、之间的关系满足， 则点是线段的一个黄金分割点； 综上所述，一条线段有个黄金分割点； （2）略 （3）略 21．(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据黄金分割点的意义得，由点是线段的中点得，根据可得结论； （2）设，则，由勾股定理得，求出，计算出即可得出点是线段的黄金分割点； （3）证明四边形和四边形是矩形，得，再证明得，从而得四边形是正方形，再证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵，点是线段的黄金分割点， ∴， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点是线段的黄金分割点； （3）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形和四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴ ∵由（2）知， ∴ ∴四边形是黄金矩形． 22．(1)米 (2)解：设正方形边长为， 由第一步折叠得是中点， ∴， 在中，， 由第二步折叠性质得， ∴， 设，则， 由折叠得，， 连接 ， 在中，， 在中，， ∴， 解得 ， ∴在矩形中，长边，短边， ∴ ， ∴四边形是黄金矩形． (3)①②或 【分析】（1）首先明确黄金矩形短边与长边的比值为，因为已知短边长度，所以根据比值关系列方程即可求长边，过程中用到分母有理化化简结果； （2）先设正方形边长为参数，由第一步折叠得是中点，用勾股定理求的长度；根据第二步折叠的性质得，进而求出的长度，再结合角度关系推导，得到的长度；最后计算矩形的短边与长边的比值，验证其等于即可； （3）先判断分割线是垂直于长还是垂直于宽，分情况讨论两种分割方式下两个小矩形均为黄金矩形的条件，根据黄金矩形的比例关系列关于的方程求解，再统计解的个数和时的解． 【详解】（1）解：设长边为米， ∵短边为米， ∴ ， 解得 ， 分母有理化得：， ∴该画报的长边长度为米． （2）略 （3）①若，， 第一种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， ∴在矩形中，， ∴， 第二种情况：若， ∵， ∴在矩形中，， 且， 同理，在矩形中，， ∴， ②若，， 第一种情况：若， ∵， ∴ ∴， 解得，， ∵， ∴， 即， 解得， 第二种情况：若， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， 综上所述，的值为或或或， ∴的不同取值共有个； ②由①可得，当时，的值为或． 23．(1) (2) (3)菱形 (4)证明：由折叠可知，正方形的边长为，即， ∵将与重合对折，折痕为， ∴是的中点， ∴， 在中，， 由折叠可知，， ∴， 在矩形中，宽为长为， ∴， ∵宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形， ∴矩形是黄金矩形； (5)    【小问5】+ 【分析】（1）根据黄金分割点的定义得到，分别求出和即可得到答案； （2）用总时长乘以即可得到答案； （3）证明，根据菱形的判定即可得到结论； （4）求出，，则，根据定义即可得到结论； （5）作出线段的两个黄金分割点，再分别以为圆心，为半径画弧，相交于点B，再分别在射线上截取，顺次连接即可． 【详解】（1）解：∵是线段的黄金分割点，且， ∴， ∴ ∴ （2）解：， 即乐曲到达高潮的时间是分钟； （3）解：由折叠可知， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴四边形是菱形． （4）略 （5）略 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 与黄金分割有关的专项训练 1．（26-27九年级上·陕西渭南·期中）相同的瓶子里装入不同的水量，用木棒敲击瓶子时，可发出不同音调．通过不断尝试发现，如图所示的瓶子中，当水面高度与瓶高之比为黄金比（即，点在线段上）时，可以发出特定的音符．若，则水面高度是（     ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·全国·单元测试）黄金分割是汉字结构基本的规律．借助如图所示的正方形习字格书写的汉字“彩”端庄稳重、舒展美观．已知点为习字格边框的黄金分割点（），则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）如图，点P为线段的黄金分割点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26九年级下·山东烟台·期末）在欧几里得的《几何原本》中给出一个找线段的黄金分割点的方法．如图所示，以线段为边作正方形，取的中点E，连结，在的延长线上取点F，使，以为边作正方形．则点A、点E、点H、点I四个点中分别是所在的一条线段的黄金分割点的有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 5．（2026·江苏泰州·模拟预测）地球表面的纬度范围是，对其进行黄金分割，黄金分割点之间的部分是地球的舒适黄金地带，世界古文明的金字塔、巴比伦王国、三星堆以及玛雅文化也都诞生于此，那么黄金地带纬度的范围是：______~______（黄金比为） 6．（26-27九年级上·四川德阳·阶段检测）大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景（如图），也会产生最具美感的黄金分割比例，即．点B为的黄金分割点（），若，则的长为____．（结果保留根号） 7．（26-27九年级上·陕西西安·阶段检测）在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙．如图，点是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为________（结果保留根号）． 8．（26-27九年级上·全国·单元复习）如图，将舞台的长看作线段，，是舞台的黄金分割点，为了增强视觉平衡和美感，需要演员从舞台处出发，最终站在该舞台的黄金分割点处．若，则演员最终位置到点的距离为__________（用含的代数式表示）． 9．（26-27九年级上·上海闵行·阶段检测）如图，正五角星中包含了许多黄金三角形，许多线段之间构成了黄金比，如点是线段的黄金分割点（），则有．已知厘米，那么______厘米． 10．（26-27九年级上·河南驻马店·阶段检测）已知顶角为，且底边与腰的比为黄金分割比（）的等腰三角形叫做黄金三角形．如图，是以为顶角的黄金三角形，且平分，，则的长为_________． 11．（26-27九年级上·吉林长春·阶段检测）宽与长的比是（约）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形蕴藏着丰富的美学价值，给我们以协调和匀称的美感．我们可以用这样的方法画出黄金矩形：作正方形，分别取的中点E、F，连接；以点E为圆心，以为半径画弧，交的延长线于点G；作，交的延长线于点H，则下列矩形：①矩形；②矩形；③矩形；④矩形中，是黄金矩形的是________（填序号）． 12．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数，那么称这个等腰三角形为“精准三角形”，如图，是“精准三角形”，，，垂足为点D，那么的长度为______． 13．（26-27九年级上·广东汕头·阶段检测）在设计人体雕塑时，为了增加视觉美感，雕塑师在雕刻时将雕塑的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比等于下部与全部（全身）的高度比．美学家认为这个比值是黄金分割数，它能增加美感．据说一些名画和雕塑中的人体大体都符合这个比． (1)如图，，线段上有一点把线段分成两段，其中是较小的一段，且满足：：，求的值． (2)雷锋纪念馆雕像按照黄金分割比例雕刻（上部：下部下部：全身，上部比下部短），已知雕像下部高度为米，求这座雕像的总高度以及上部高度． 14．（2026·甘肃平凉·二模）黄金分割起源于古希腊的毕达哥拉斯学派，公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了黄金分割比例这一问题，并建立起比例理论，后来欧几里得进一步系统论述了黄金分割，使《几何原本》（如图1）成为最早的有关黄金分割的论著．20世纪70年代，这种方法经过我国著名数学家华罗庚的倡导在我国得到大规模推广，取得了很大的成就．下面的作法是由《几何原本》中给出的： 如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 15．（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）如图，点是线段上一点（），如果满足，那么称线段被点黄金分割，点是线段的黄金分割点．完成下列问题： (1)填空：如图1，点是线段的黄金分割点，若，则___________； (2)如图2，已知正方形，求作边的黄金分割点． ①取的中点，连接； ②在的延长线上取点，使； ③以线段为边作正方形． 则点就是线段的黄金分割点．请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图2中作出线段的黄金分割点（保留作图痕迹，不写作法）． 16．（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）一般地，我们把顶角为的等腰三角形称为“黄金三角形”，在“黄金三角形”中，底与腰的比为黄金比．如图，在中，，． (1)请仅用圆规在边上作出点、，使，均为黄金三角形（要求保留作图痕迹，不写作法）； (2)在第（1）小题的基础上，求的值． 17．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如图，在中，的长为2，过点E作，且，连接；以点F为圆心，的长为半径作弧，交于点H；再以点O为圆心，的长为半径作弧，交于点P． (1)由上述作图可知，图中相等的线段是______________________________________________ (2)求的长； (3)求证：P是线段的黄金分割点． 18．（26-27九年级上·广东惠州·阶段检测）材料一：有教材对“黄金分割比”的定义如下： “如图，点C把线段分成两条线段和，如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点，叫做黄金比．”根据定义不难发现，在线段上另有一点D把线段分成两条线段和，满足，所以点D也是线段的黄金分割点． 材料二：对于实数，若满足，，则称为的黄金数，为的白银数． 请根据以上材料，回答下列问题： (1)如图，点D、C在线段上，若，点C和点D是线段的黄金分割点，则______，______． (2)实数，且b为0，1的黄金数，a为0，1的白银数，求的值． (3)实数，，m，n分别为k，t的黄金数和白银数，求的值． 19．（26-27九年级上·甘肃张掖·阶段检测）阅读与思考 下面是某同学笔记中的部分内容，请认真研读并完成相应的任务： 一元二次方程与黄金分割数概念：如果一个点把一条线段分成两部分，且其中较短一段与较长一段的比等于较长一段与整条线段的长度的比，那么这个比值叫做黄金分割数，这个点叫做黄金分割点．如图1，在线段上找一点C，它把线段分成不相等的两段和，若，且，则这个比值叫作黄金分割数．下面是求黄金分割数的解答过程． 解：设，，则，代入， …… (1)根据材料可知，一条线段有__________个黄金分割点 (2)补全材料中的解答过程． (3)在下图所示的正方形网格中，请你用无刻度的直尺和圆规作线段的一个黄金分割点．（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母） 20．（26-27九年级上·江苏泰州·阶段检测）阅读下面数学材料，并完成相应的任务： 黄金分割数一般地，若一条线段上的一点将这条线段分成不相等的两条线段，且较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比，则这个点称为原线段的黄金分割点，这个相等的比值称为黄金分割数． 例如，如图，点为线段上一点，点把线段分成和两段，其中．若线段、、之间的关系满足，则点是线段的一个黄金分割点，称为黄金分割数． 下面是求黄金分割数k的解答过程：设，，则． 任务： (1)概念理解：根据材料可知，一条线段有______________个黄金分割点． (2)补全材料中求黄金分割数k的解答过程． (3)如图，在中，，，以点为圆心，长为半径画弧交于点，以点为圆心，长为半径画弧交于点．求证：点是线段的黄金分割点． 21．（25-26八年级下·福建南平·期中）阅读材料 黄金分割点：若线段上的点满足（其中），则称点为线段的黄金分割点，比值称为黄金比． 黄金矩形：宽与长的比值等于黄金比的矩形，称为黄金矩形． （1）验证黄金分割点 （2）构造并验证黄金矩形 已知线段，按以下步骤进行尺规作图（对应图1）： ①过点作，垂足为点，使得，连接； ②以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点； ③以点为圆心，的长度为半径画弧，交于点（得到的点满足）． 沿用（1）中得到的线段及它的黄金分割点，继续完成以下操作（对应图2）： ①以为边，在的上方作正方形； ②连接正方形的对角线； ③过点作，垂足为点，线段分别交、于点、； ④过点作线段，分别交、于点、，得到四边形． 请结合上述材料，完成下列问题： (1)如图，已知线段，点是线段的两个黄金分割点（其中），点是线段的中点，求线段的长； (2)请结合上述作图步骤1，证明图1中的点是线段的黄金分割点； (3)请结合上述作图步骤2，证明图2中的四边形是黄金矩形． 22．（25-26八年级下·福建福州·期末）综合与实践：黄金矩形的探究与应用 阅读理解 定义：若矩形的短边与长边的比值为，则称该矩形为黄金矩形．黄金矩形具有协调、匀称的美学特征，在宣传设计、建筑艺术中应用广泛． 知识链接：分母有理化是二次根式运算的常用方法．对任意正数a和（），有： ，该方法可用于分母含二次根式和或差形式的化简，例如：． (1)某校设计制作主题宣传画报．画报采用视觉协调、符合经典美学比例的黄金矩形版式，若短边长度为1米，求该画报的长边长度（结果保留根号）． 操作发现 (2)为制作画报的黄金矩形画芯，兴趣小组利用正方形纸片通过折叠操作，巧妙构造出黄金矩形，步骤如下： 第一步：如图①，折叠正方形纸片，使边和重合，得到折痕（点E，F分别在边，上），然后将纸片展平． 第二步：如图②，再次折叠纸片，使边落在线段上，点C的对应点为，折痕为（点G在上），展平纸片． 第三步：如图③，沿过点G的直线折叠纸片，使点A，D的对应点，分别落在边，上，折痕为（点H在边上），展平后得到矩形． 求证：四边形是黄金矩形． 拓广探索 (3)有一张矩形画报，记为矩形，其中，．若在该画报内作一条垂直于其一组对边的分割线，将画报割为两个板块，且这两个板块均为黄金矩形，则： ①符合条件的m的不同取值共有_______个； ②当时，请直接写出所有满足条件的m值：____________． 23．（2026·江苏宿迁·二模）综合与实践 黄金分割给人以美感，其魅力在于它横跨了数学与算法、工程建筑、艺术设计、绘画摄影、生态自然、股市分析有着极其重要的作用与应用．已知线段，点是线段的黄金分割点，且，则． 一、感知计算 (1)如图1，是线段的黄金分割点，且，表示以为一边的正方形的面积，表示长为、宽为的矩形的面积，则______．（填“”、“”或“”） 二、应用生活 (2)贝多芬《第五交响曲》全曲演奏时长约为33分钟，在整个乐曲达到高潮时，位置恰好落在全曲时长的黄金分割点处，则乐曲到达高潮的时间是______分钟（保留整数）． 三、动手操作 已知矩形纸片的宽，按如下步骤进行折叠操作： ①如图2，沿折痕对折，使点落在点处，展开后得到正方形； ②如图3，将与重合对折，折痕为，再展开； ③如图4，连接，过点对折，使得点落在点处，折痕为，再展开； ④如图5，过点对折纸片，折痕为，得到矩形； (3)四边形是______形． (4)证明：矩形是黄金矩形；（宽与长的比等于的矩形称为黄金矩形） (5)我国国旗五星红旗上的五角星，其轮廓由正五边形绘制而成．请你用无刻度的直尺和圆规：以已知线段为正五边形的一条对角线，作正五边形．（不写作法，保留作图痕迹） 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 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