第三章 微专题3 相似三角形判定定理的证明6大题型-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

.'AB=7,..BC= 子AB， 2 ACAB+Bc=7+号=1.5， 9.()证明：EF∥CD5元 AF AE DE/c品瓷品品 (0解：品-是BD=名AD, :AB-AD+BD-AD+AD-15,:AD-10, 部-品5-是AF=Dr, AF+DF=10,.2DF+DF=10, DF=号. 10.解：AD是△ABC的高，EF⊥BC,.AD∥EF, E为AB的中点， .BF-DF-BD. :DC=号BD,∴FC=FD+CD=名BD, FC:BF=号BD:合BD=号 11.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .CD∥AB,AD∥BC, 器器 同理可得器-咒。 器腮 第8课时相似三角形判定定理的证明(2) 1.B2.C3.8 4.证明：四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,∠B=90°， .∠DAE=∠AEB, 又：DF⊥AE,∴∠B=∠DFA=90°， .△ABEC∽△DFA. 5.(1)证明：，四边形ABCD是正方形， .∠A=∠D=90°， .∠AEB+∠ABE=90°， .EF⊥BE, .∠AEB+∠DEF=90°， ∠ABE=∠DEF。 在△ABE和△DEF中，∠ABE=∠DEF,∠A=∠D, ∴.△ABEn△DEF。 (2)解：点E为AD的中点。理由： △ABE△DEF,是-8器。 :△ABEO△EBF,是-器. 能把：DE=AE点E为AD的中点， 参考咨索 6.解：能。设运动时间为ts, BP=2t cm,CP=(10-2t)cm,CQ=t cm, :∠PCQ=∠ACB=90°， ∴.当△CPQ和△CAB相似时， ∠CPQ=∠B或∠CPQ=∠A, 当∠CPQ∠B时8器器9。=青解得器 10 ,C-810.24=0解得1一8 当∠CPQ=∠A时·CM-CB, 0 6 综上所述，：的值为鹘或碧。 7.C8.D9.4或7 10.证明：(1)：△ABC与△DCE都是等边三角形， .AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°， ∴·∠ACB+∠ACE=∠ACE+∠DCE, 即∠BCE=∠ACD BC=AC 在△BCE和△ACD中， ∠BCE=∠ACD, CE-CD ∴.△BCE≌△ACD(SAS),∴.BE=AD. (2)由(1)知：△BCE≌△ACD, .∠CBE=∠CAD, 又.'∠BMC=∠AMF, ∴.∠AFB=∠ACB=60°=∠ABD, 又∠BAF=∠DAB, .△ABF∽△ADB。 11.证明：(1)AB=AC, .∠B=∠C, CF=BE,∴CE=BF, 在△ACE和△ABF中， (AC=AB, ∠C=∠B, CE=BF, △ACE≌△ABF(SAS),∴AE=AF。 (2),AE=AQ·AB,由(1)知AE=AF, AF=AQ:AB心怎0， ∠FAQ=∠BAF,.△AFQ∽△ABF, .∠AQF=∠AFB,.∠BQF=∠AFE, ,∠B=∠C,∴.△CAFp△BFQ。 微专题3相似三角形判定定理的证明6大题型 1.C2.D3D49 5.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.∠D=∠A=90°， ∴.∠PCD+∠DPC=90°， 又.∠CPE=90°， ∠EPA+∠DPC=90°， ∠PCD=∠EPA, ∴.△AEPn△DPC; 17 数学九年级上册(BS) (2)解：在Rt△PCD中，∠DPC=30°，CD=AB=2√3， .CP=2CD=43, .PD=√PC-CD=√(43)2-(23)2=6， ,AD=10, .AP=10-6=4, ∠CPE=90°， ∠APE=60°， :在Rt△APE中，∠AEP=30°， .PE=2AP=8。 6.(1)解：如答图，点D即为所作。 (2)证明：AB=BC,∠B=36°， ∴.∠BAC=∠C, .180°=∠BAC+∠C+∠B=2∠BAC+36°， ∴.∠BAC=∠C=72°， .'BD=AD, ∴.∠DAB=∠B=36°， .∠ADC=∠B+∠DAB=36°+36°=72°， .∠ADC=∠BAC, 又，∠C=∠C, .△DAC∽△ABC。 答图 7589或3 5 91①证明：瓷S, ∠A=∠A, ,.△ACDp△ABC. (2)解：.△ACD∽△ABC,∠ACB=90°， .∠ADC=∠ACB=90°， ∠A=60°， .∠ACD=90°-60°=30°，∠B=90°-60°=30°， 又AD=2, .AC=2AD=4, .AB=2AC=8。 10.号或911.6 第9课时相似三角形的性质(1)】 1.D2A3.B4A5126号 7.解：AB=15cm,A'B'=10cm,心A=2, AB 3 ,AD与A'D'分别是△ABC和△A'B'C的中线， △ABC△ABC,品=常=是， 又.AD+A'D'=18cm, .AD=10.8cm,A'D'=7.2cm 8.A9.1.210.9.6 11.解：BC=AC·DC, 瓷C. 又∠C=∠C, ∴·△ABC∽△BDC, 且AC与BC是对应边， 又E,F分别是AC,BC的中点， .BE,DF分别是△ABC和△BDC的中线， 8器-瓷即吗=2∴BE=9。 12.(1)证明：，四边形EFGH为矩形， ∴.EF∥GH, ∴∠AHG=∠ABC, 又∠HAG=∠BAC, ∴.△AHG∽△ABC, :AD⊥BC,HG∥BC,.AM⊥HG, .AM_HG AD BC (8解：由a8密积， 设HE=xcm,则HG=2xcm,MD=HE=xcm, .AD=30 cm,..AM=(30-x)cm 00- 30 解得x=12,故HG=2x=24, ,∴.矩形EFGH的周长为2×(12+24)=72(cm)。 答：矩形EFGH的周长为72cm. 第10课时相似三角形的性质(2) 1.C2.A3.D4.1:21:4 5.解：两个相似三角形的面积之比为4：9， 这两个三角形的周长之比为2：3， 设两个三角形的周长分别为2k,3(k≠0)， 又，这两个三角形的周长的和是100cm, ∴.2k十3k=100,解得k=20, 故较小的三角形的周长为2×20=40(cm)。 6.D7.24m,54m28.号 9.解：(1)根据三角形中位线定理得 DE-a.EF-4.DF-. .'DE=DF=EF, .△DEF是等边三角形， ∴△DEF与△ABC相似，相似比为2。 (2)连接AE,如答图。 :△ABC是等边三角形，且E为BC 的中点， .AE⊥BC △ABC的面积为AB·AE= 答图 xa-(o-F 同理△DEF的面积为2 18数学·九年级·上册（北师大版） 微专题3相似三角形判 题型一判断与相似三角形有关结论的正误 1.如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=36°。分 别以点A,C为圆心，大于2AC的长为半径画 弧，两弧相交于点D,E,作直线DE分别交 AC,BC于点F,G。以G为圆心，GC长为半 径画弧，交BC于点H,连接AG,AH。则下 列说法错误的是 ) A.AG-CG B.∠B=2∠HAB C.△CAH≌△BAG D.△ACGp△BCA 2.如图，在△ABC中，AD是角平分线，BE是中线， AD=BE,且AD⊥BE,垂足为F,G为DC的中 点，连接DE,EG。下列结论错误的是 ( A.△AFB≌△AFE B.∠ADB=∠ADE C.FD-BE D.△CEG∽△CBE 3.如图，在Rt△ABC中，AB=AC,D,E是斜边 BC上两点，将△ACD绕点A顺时针旋转 90°，得到△ABF,若△AED≌△AEF,下列结 论：①∠DAE=45°；②△ABD∽△EAF; ③BE+CD=DE;④BE2+CD2=DE。其 中正确的是 A.①②③ B.②③④ C.①② D.①②④ 题型二三角尺与相似三角形的综合运用 4.一副三角尺按如图1放置，图2为简图，D为 AB中点，E、F分别是一个三角尺与另一个三 角尺直角边AC,BC的交点，已知AE=2,CE =5,M为BC上一点，且满足∠CME=2 ∠ADE,EM= 9 ●>66 定定理的证明6大题型 图1 图2 5.如图，在矩形ABCD中，AB=2√3，AD=10, 直角三角板的直角顶点P在AD上滑动，（点 P与A,D不重合)，一直角边经过点C,另一 直角边与射线AB交于点E。 B (1)求证：△AEP∽△DPC; (2)当∠CPD=30°时，求PE的长。 o 第三章图形的相似 题型三尺规作图与相似三角形的综合运用 题型五相似三角形的判定与性质的综合运用 6.如图，在△ABC中，∠B=36°，AB=BC。 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边 (1)尺规作图：在BC上取一个点D,使得BD AB上-底，且是S =AD(保留作图痕迹，不写作法)； (2)求证：△DAC∽△ABC。 (1)求证：△ACDp△ABC; (2)若∠A=60°，AD=2,求AB的长。 题型四折叠与相似三角形的综合运用 题型六相似三角形与动点运动问题 7.如图，在矩形ABCD中，AB=3,点E在边AB 10.在△ABC中，AB=9,BC=7,点D在边AB 上，AE=2,连接DE,将△ADE沿着DE翻 上，且BD=2,点E在边BC上，当BE= 折，点A的对应点为P,连接EP,DP,分别交 时，以B,D,E为顶点的三角形 边BC于点F,G,如果BF-}BC,那么CG的 与△ABC相似。 长是 D 11.如图，已知AB⊥BC于点B,CD LBC于点 8.如图，已知∠ABC=135°，AB=3√2，BC=6, C,AB=4,CD=6,BC=14,P为直线BC上 点P是边AC上任意一点，连接BP,将 一点，若以A,B,P为顶点的三角形与以P, △CPB沿PB翻折，得到△CPB。当CP⊥ C,D为顶点的三角形相似，则这样的P点有 AC时，AP的长为 个。 ●>67●