专题01 比例的性质、黄金分割、平行线分线段成比例（专项训练）数学新教材北师大版九年级上册

**基本信息** 聚焦比例性质、黄金分割及平行线分线段成比例，以题型分类构建知识逻辑链，通过分层训练提升抽象能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |常考题型·精准突破|6类18题|覆盖基础计算（比例性质）、实际应用（黄金分割）、图形推理（平行线分线段）|从性质推导到几何应用，形成“概念-计算-推理”递进链条| |综合攻坚·知能拔高|3类16题|综合比例变换、动态几何及跨知识融合（如黄金矩形）|强化知识迁移，体现从数学眼光观察到数学思维推理的素养落地|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01比例的性质、黄金分割、平行线分线段成比例 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用比例的性质进行求解（重） 题型2利用比例中的等比性质进行求解（重） 题型3黄金分割（重） 题型4由平行判断成比例的线段（高频） 题型5由平行截线求相关线段的长（难） 题型6由平行截线求相关线段的比值（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用比例的性质进行求解 1 1. 2.4 3.6 ◆题型2利用比例中的等比性质进行求解 4. 【答案】0号 (2)36 【详解】(1)解：，a:b:c=2:3:4, 设a=2k,b=3k,c=4, ,a+b2k+3k5 ·6+c3k+4k7 (2)解：a:b:c=2:3:4, 1/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设a=2k,b=3k,c=4k, .2b-c=8, .6k-4k=8, 解得k=4 ∴a+b+c=2k+3k+4k=9k=36 5. 【答案】(1)9 (2) a=8,b=12,c=16 【详1)解：设号-号-片=，则0=2达=站= 2k+3k+4k_9水=9， ∴原式2k+3k-4kk 6②解：设号号异，则a=246=64 .2a-b+c=20, .2×2k-3k+4k=20, 解得：k=4, .a=8,b=12,c=16 6. 15 【答案】(1)16：（2）a=16,b=22,c=28 【详解】解：(1)设2x=3y=5z=30k,则x=15k,y=10k,z=6k, 小：- ,a-1_b-2c-3 （2)设3=4=5=大，则a=3张+1”b=4+2”c=5张+3” .a+b+c=66, 3k+1+4k+2+5k+3=66. 解得k=5, .a=3×5+1=16,b=4×5+2=22,c=5×5+3=28. 2/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型3黄金分割 7.2+V5 8. AC BC 【答案】（①BCAB (②)该雕像的下半身设计高度为(-1+V5)m。 AC BC 【详解】(1)解：BC=AB（或AC:BC=BC:AB）· (2)解：设BC=m,则AC=(2-x)m, 2-x x 依题意得： x=2,整理得：x+2x-4=0? 解得：x=-1+5,名=-1-V5(不合题意，舍去). 答：该雕像的下半身设计高度为(-1+V⑤)m。 9. 【答案】(1)2 (2) 证明：根据折叠的性质，得四边形ABFE是正方形， ∴.AB=AE=EF=BF=2, .DE=AD-AE=V5+1-2=V5-1. .DE_5-1 :EF 29 .四边形CDEF是黄金矩形， 【详解】(1)解：，黄金矩形纸片ABCD,AD=V5+1, :B5-1 AD 2 AB5-1 5+12 解得AB人5-5+刊-2 (2)略 3/13 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型4由平行判断成比例的线段 10.A 11.A 12.C ◆题型5由平行截线求相关线段的长 13.15 14.12 15. 0 【答案】()3 .12 (2)5 【详解】(1)解：：a∥b∥c, .AB DE 34 BCEF,即5EF· ..EF= 20 3 (2)解：a∥b∥c, .AB DE AC DF AB2 BC 3' .AB 2 AC 5' DE 2 65, .DE=12 ◆题型6由平行截线求相关线段的比值 16.2 4/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.3:2 18. 【答案】 2k 【详解】解：①过点D作DG∥CF交AB于点G, G B D BG BD AF AE 则GF=DC'FGED' AD是△ABC的中线， .BD=CD, BG-L,即BG=FG .∴FG :E为AD的中点， .AE=DE, AF =1,即AF=FG ..FG :AF=BG, AF 1 .BF2' 故答案为：2： AE 1 AFAE .DE k'FG ED' AF 1 :FGk,即FG=kMF ..BG=FG .BG=FG=kAF, 5/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AF AF AF 1 BF KAF+kAF2kAF2k 1 故答案为：2k· 综合攻坚知能拔高 一、单选题 1.D 2.C 3.B 4.A 5.D 二、填空题 6.7 7 1.5 8.10W5-10 10.2N5或2W4+2√2 三、解答题 11. 【答案10 (2)2√6 详解】C)解：设；？k,则0=3，b=2k a-b 3k-2k 1 a+b3k+2k5: (2)解：由(1)得a=3k,b=2k, .a+b=10, 6/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .3k+2k=10, ∴k=2,a=6,b=4, 线段x是线段a,b的比例中项， .x2=ab=24, x=2W6(负值已舍去). 12. 【答案】(1)3：5 (2)AF=2 【详解】(1)解：因为DE=3,EF=2, 所以DE:EF=3:2, 又因为FH∥AB, 所以DB:BH=DE:EF=3:2, 所以DBDH=35: (2)解：因为BD=BC,DB:BH=3:2 所以BCBH=32 因为FH∥AB, 所以ACAF=BCBH=32, 又因为AC=3 所以AF=2, 13. 【答案】(1)△ABC的面积为6： (2)k的值为1或-2. 【详1山解设生- -=m ∴.a+4=3m,b+3=2m,c+8=4m, .a=3m-4,b=2m-3,c=4m-8, .a+b+c=12, .3m-4+2m-3+4m-8=12, .m=3, .a=5,b=3,c=4, .b2+c2=a2, 7/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△ABC是直角三角形， 1 六△1ABC的面积为2×3×4=6： (2)解：， atb-c_a-b+c=-a+b+c-k. a ∴.a+b-c=ck①，a-b+c=bk②，-a+b+c=ak③， ①+②+③得(a+b+C)k=a+b+c 当a+b+c≠0时，k=1, 当a+b+c=0时，a+b=-C, :k=c-c=-2, 综上可得：k的值为1或-2. 14. AM1 【答案】()AB3 (2)证明：过点D作DE∥PM交AB于E, M B D AM AP AE AD' 又：PM∥AC, .DEIl AC. AE CD AB BC' AM_AM、AE_APCD ·AB=AEX AB AD*BC, AN AP BD 同理可得：AC AD BC’ 8/13 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AM AN AP 即 AB AC AD 【详解】(I)解：过点D作DE∥PM交AB于E, M B AM AP .AE AD' .AP:PD=2:1, AM AP 2 ·AEAD3' .PM∥AC, .DEI‖AC, AE CD BE BD' 点D为BC中点， 点E是AB中点， AM AM 1 2 1 ·AB2AE2X33 (2)略 15. 【管101：号 (2)3 (3)60 【详解】(I)解：DF∥BE,BD=DC, CF CD ∴FE=B =1, ∴.CF=FE, .EC=2FE AE-IEC, 2 9/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .EC=2AE, .AE=FE. AG =AE=1, ∴.GDEF .AG=GD, AGAG 1 ·ADAG+GD2: (2)解：：D是BC的中点，F是EC的中点， ∴.DF是△BEC的中位线， .DFE 又G是AD的中点，E是AF的中点， .GE是△ADF的中位线， BE=BG+GE, .BG-BE-IBE-3BE 4 3 BE BG= 因此GE1BE =3 41 (3)解：延长AD交BF延长线于H, H 平行四边形ABCD中，AD‖BC, .∠CBF=∠H, ∠BFC=∠HFD,CF=DF, 10/13 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .△BCF≌aHDF(AAS), .BC=DH, .AD=BC, .AD=DH. 取HM的中点N,连接DN, 则AM=2DN,DNI AM, ∴.∠NDF=∠MCF .CF=DF,∠CFM=∠DFN, .aCFM≌aDFN(ASA). ..CM=DN, .AM =2CM, 延长AC到点P,使MP=AM, 则MP=2CM, ..CP=CM, 在BF上取点T,Q,使GT=BG,M0=GM,连接CT,PO, .·∠AMG=∠PMQ .△AGM≌aPQM(SAS). .AG=PQ,∠GAM=∠P .AG∥Pg E是BC中点， BE =CE, .CT=2EG.CTII EG CT∥Pg, MT _MC-1, …T0CP :.MT=TO, .PO=2CT=4EG .'.AG=4EG. .AE=AG+EG=5EG. ,△ABE的边AE上的高和△BEG的边EG上的高相同， 11/13 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.ABE=5S.BEG SBEG=3, .SABCD=2S。ABc=4S。ABE=20SBEG=60 16. 【答案】05-1 2 (2)设MN的长为2， 如图1：由折叠的性质可得：BC=NC=NB=MN=2. 如图2：由折桑的性质可得：4C=号NC=1, 如图3：由勾股定理可得：AB=√AC2+BC2=√V5 由折叠的性质可得：AD=AB=V! .CD=AD-AC=5-1, 如图4： CD 5-1 BC 2 所以矩形BCDE为黄金矩形. (3)四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长的比值总是定值，这个定值是2，理由如下： 如图，连接GE,设正方形的边长为1，设EB=n,则AE=1-n, E B K D 设DG=x,则AG=1-x, 根据折叠，可得GH=GD=x,CH=CD=1, 在RtABEC中，EC=VEB2+BC2=Vn2+1, ∴.EH=V1+n2-1, 在Rt△AEG,RtAGHE中，AG2+AE2=GE2,GH2+EH2=GE2, ∴.AG+AE2=GH2+EH2. 12/13 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.-x+-m-(+m-+,整理得：x=+1-n ∴.四边形AGHE的周长为1-x+x+√1+n2-1+1-n=V1+n2-n+1=x+1 矩形GDCK的周长为2(GD+DC)=2(x+1), ∴.四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长比值总是定值2. 【详解】)解：将代入2 二可得： 22+1-1_5-1 2” 2 2 (2)解：略 (3)解：四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长的比值总是定值，这个定值是2，理由略. 13/13可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题01比例的性质、黄金分割、平行线分线段成比例 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用比例的性质进行求解（重） 题型2利用比例中的等比性质进行求解（重） 题型3黄金分割（重） 题型4由平行判断成比例的线段（高频） 题型5由平行截线求相关线段的长（难） 题型6由平行截线求相关线段的比值（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 一·考点一物质的分类● ◆题型1利用比例的性质进行求解 a I 1(2026宁夏银川三模)已知62，那么Q4 atb 4x+z 2526八年级下山东烟台期末)若，340，则的推 a ce 5 a-c+2e 3.(25-26九年级上河南平顶山期末)若6ā了6，（仍-d+2f≠0），则b-d+2f ◆题型2利用比例中的等比性质进行求解 4.(25-26九年级上安徽安庆期末)已知a:b:c=2:3:4. a+b (①)求6+c的值： (2)当2b-c=8时，求a+b+C的值. a bc 5.(25-26九年级上：浙江衢州：期中)已知：234，且a+b-c≠0· 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+b+c ()求代数式a+b-c的值： (2)当2a-b+c=20时，求a,b,C的值 6.(25-26九年级上四川成都期中)（1)若z≠0：且2x=3y=5z’求+2的值. a-1_b-2_c-3 （2)若3=4=5，且满足a+b+c=66求a、b、c的值. ◆题型3黄金分割 7.(2026福建南平·二模)黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依 据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧.借助边长为α的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端 庄舒展、比例协调.己知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边MN、PO上，且AB∥NP且AB=a, 点C是线段的黄金分割点，满足B24C<BC），右C-AC=1'则止力形习字格边长a 的长为 M B 8.(25-26九年级上江西赣州期中)在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以 下)的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感.如图，按此比例设计了一座高度为2 的雷锋雕像。 (I)将雕像抽象成线段AB如图，雕像的上半身为AC,直接写出AC,BC,AB的数量关系：一 (2)求该雕像的下半身设计高度。 2/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 V5-1 9. (25-26九年级上云南昆明期中)宽与长的比是 2 (约为0.618)的矩形叫做黄金矩形.如图，现 有一张黄金矩形纸片ABCD,长AD=V5+1,折叠纸片ABCD,点B落在AD上的点E处，折痕为AF, 连接EF.然后将纸片展开. F (I)求AB的长； (2)求证：四边形CDEF是黄金矩形. ◆题型4由平行判断成比例的线段 10.(25-26九年级上安徽安庆期末)如图，直线马∥1∥1，直线AC和DF与4,2,1分别相交于点 A,B,C和点D,E,F,则下列结论正确的是() D B E F AB DE B. AB DE BC DE EF BC A.BCEF AC EF C.AB EF D.ED AC 11.(25-26九年级上河南周口期末)如图，已知AB∥CD∥EF,那么下列结论中，正确的是() CXD E AD BC BC DF AB AD CD AD A.DF-CE B. CEAD C.CDBC D.1 FAF 12.(25-26九年级上黑龙江哈尔滨期末)如图，{I,AC、DF交于点O,则下列比例中成立的是 ( 3/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB DE A. BC DE B. BC DF ABDE OB OF AC DE D.OC OE ◆题型5由平行截线求相关线段的长 13.(2026四川眉山中考真题)如图，4I,‖，AB=3,DE=5,BC=6,则DF的长度是 A/D E C F 14.(2026江苏盐城三模)如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上 的三个点A、B、C都在竖格线上.若线段AB=6cm,则线段BC的长为cm B C 15.(2026安徽安庆模拟预测)如图，直线a∥b∥c,分别交直线m于点A,B,C,交直线n于点D, E,F. m n D a E b F c (1)若AB=3,BC=5,DE=4,求EF的长： AB 2 (②若BC3,DF=6,求DE的长. 4/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ◆题型6由平行截线求相关线段的比值 16.(2026:河北保定·二模)如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD的中点，连接BF并延长 AE 交AC于点E,则EC的值为一· B D 17.(25-26八年级下·上海期中)如图，△ABC中，∠A=90°，AB=6,BC=10,∠ABC的平分线交AC于点 D,与BC的垂线CE相交于点E,过点D作DF⊥BC于点F,则BD:DE为 18.(25-26九年级上：河北：单元复习)如图，AD是△ABC的中线. B AF ①若E为AD的中点，射线CE交AB于点F'则BF的值为 AE 1 AF ②若E为AD上的一点，且DEk,射线CE交AB于点F,则BF的值为 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1,(2627九年级上全国误后作业)老君台c0皮立，则下列等式不成立的是（) 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a+c a A. b_d B.1 atb_c+d a_b a c b+d b C. b d D. 2.(25-26九年级上甘肃兰州期中)如图所示，△ABC中若DE∥BC,EFI‖AB,则下列比例式正确的 是() D F AD DE BF EF AE BF EF DE A. BD BC B. BC AD C.ECCF D.ADBC a-c-e-4 3.(25-26九年级上宁夏银川期中)已知6a了3，若a+c+e=20'b+d+f≠0，则b+d+f= A.12 B.15 C.16 D.18 4.(2026广东清远·二模)如图，矩形ABCD的四个顶点分别在直线，14,1，（上.若直线 AG 4∥h∥∥1，且间距相等，4D交直线，于点G,AB=4'BC=3,则CD的值为() D G C A 13 B 3 A. D.5 2 15 V5-1 5.(25-26八年级下辽宁大连期末)宽与长的比是2 的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视 觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形ABCD截掉正方形AEFB后，剩余的矩形 CDEF仍是黄金矩形，AD是30.86m,求CD的长度，设CD的长度是xm,根据题意，下列的方程中正确 的是() 6/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B V5-1 30.86-xV5-1 x30.86-x 30.86V5+1 ① :② 2:③ ④- 30.862 30.86 x 2 A.① B.①③ C.①②④ D.①②③④ 二、填空题 a 6(25.26九年级上安徽安庆期末)若65，则6+0的值为 ace 7 7.(25-26九年级上湖南郴州：阶段检测)若6=a=了=5，则b+2d-3f a+2c-3e(b+2d-3f≠0)的值为 V5-1 8.(25-26八年级下广东东莞期中)我们将宽与长之比为 2的矩形称为黄金矩形.如图是意大利著 名画家达·芬奇(daVinci,1452~1519年)的名画《蒙娜丽莎》，画面中脸部被围在矩形ABCD内( AB>AD),图中四边形BCEF为正方形，矩形ADEF为黄金矩形.若AB=2OCm,则CE=cm, D E 9.(25-26九年级上·上海青浦期中)如图，在△ABC中，D为BC边上的中点，点E为AC边上一点， 、AE1 AG BE交AD于点G,当AC时，则AD B 10.(2026九年级黑龙江齐齐哈尔·专题练习)在矩形ABCD中，M为对角线BD的中点，点N在边AD上， 且AN=AB=2.当以D,M,N,为顶点的三角形是直角三角形时，则对角线BD的长为 三、解答题 a b 1.(25-26九年级上浙江温州期末)已知a,b满足32， 7/10 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0求a-6 a+6的值： (2)若a+b=I0且线段x是长为a,b的线段的比例中项，求线段x的长。 12.(26-27九年级浙江暑假作业)如图，在△ABC中，延长CB至点D,使BD=BC，,在AC上取一点 F,连接DF交AB于点E,过F点作FH∥AB交CD于点H,己知AC=DE=3,EF=2. E D B (I)DB:DH=」 (2)求AF的长. 13.(25-26九年级上四川达州阶段检测)计算： a+4_b+3_c+8 (已知a'b:c为。MBC的三边，3=2=4，且a+h+c=12:求△ABC的面积. a+b-c_a-b+c-a+b+c=k,求的值. (2)如果 b a 14.(26-27九年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，点D为BC上一点，点P在AD上，过点P作 PM∥AC交AB于点M,作PN‖AB交AC于点N M B D (I)若点D是BC的中点，且AP:PD=2:1,求AM:AB的值 AM AN AP (②)若点D是BC上任意一点，试证明：AB+AC=AD: 15.(25-26八年级下·吉林长春·期末)综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用. 8/10 的学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 步探究】在AMBC中，DE分别为BC、4C的动点，若BD=DC,AE=2EC,连接D' 交于点G如图1，若过D作DF∥BE,交AC于F,则CF与FE的比值为， -;AG与AD的比 值为 (2)在(1)的条件下，求出BG与GE的比值： (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，点F为CD上一点，BF与AE、AC 分别交于点G、M,若CF=DF,△BEG的面积为3，则ABCD的面积为， 16.(2026贵州安顺二模)综合与实践 定义：将宽与长的比值为 2+1-」（为正整数)的矩形称为n阶奇妙矩形. 2” E D 图5 (I)概念理解：当=1时，这个矩形为1阶奇妙矩形，这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽与长的比值是 (2)操作验证：黄金矩形可通过下面的折纸方法得到. M B ①在一张矩形纸片的一端，按图1的方法折出一 C 个正方形，然后把纸片展平. 图1 M B ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形， 再把纸片展平 图2 9110 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③折出内侧矩形的对角线AB,并把AB折到图3 中所示的AD处. 图3 MB E ④展平纸片，按照所得到的点D折出DE. 图4 请说明为什么矩形BCDE为黄金矩形.（提示：设MN的长为2） (3)探究发现： 小明在操作时发现：如图5，点E为正方形ABCD边AB上任意一点（点E不与端点重合），连接CE,先 折叠纸片使CD落在CE上，点D的对应点为点H,展开，折痕为CG;再过点G折叠纸片，使得点A,B 分别落在边AD,BC上，展开，折痕为GK,则四边形AGHE的周长与矩形GDCK的周长的比值总是定 值.请写出这个定值，并说明理由 10/10 专题01 比例的性质、黄金分割、平行线分线段成比例 常考题型·精准突破 题型1 利用比例的性质进行求解（重） 题型2 利用比例中的等比性质进行求解（重） 题型3 黄金分割（重） 题型4 由平行判断成比例的线段（高频） 题型5 由平行截线求相关线段的长（难） 题型6 由平行截线求相关线段的比值（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 物质的分类 ◆题型1利用比例的性质进行求解 1．（2026·宁夏银川·二模）已知，那么_________． 【答案】 【详解】解： 将代入得：． 2．（25-26八年级下·山东烟台·期末）若，则的值是________ ． 【答案】4 【详解】解：设， ∴， ∴． 3．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）若，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质． 利用比例的性质，设公共比值为，得到，，，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴可设公共比值为， 则，，， ∴． 故答案为：． ◆题型2 利用比例中的等比性质进行求解 4．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）已知． (1)求的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了比的基本性质，熟练掌握设未知数法表示比值是解题的关键． （1）设，代入化简计算即可； （2）由，得，解得，代入化简计算即可． 【详解】（1）解：∵， 设， ∴； （2）解：∵， 设， ∵， ∴， 解得， ∴． 5．（25-26九年级上·浙江衢州·期中）已知：，且． (1)求代数式的值； (2)当时，求的值． 【答案】(1) (2) ，， 【分析】本题考查了比的基本性质，熟练掌握设未知数法表示比值是解题的关键； （1）设，则，代入求值即可； （2）将上一问中的代入所给方程求值即可． 【详解】（1）解：设，则， ∴原式； （2）解：设，则， ∵， ∴， 解得：， ∴． 6．（25-26九年级上·四川成都·期中）（）若，且，求的值． （）若，且满足，求、、的值． 【答案】（）；（） 【分析】本题考查了比例的基本性质，分式的化简求值，掌握比例的基本性质是解题的关键． （）设，则，，，再代入分式计算即可； （）设，则，，，再代入中求出的值即可求解； 【详解】解：（）设，则，，， ∴； （）设，则，，， ∵， ∴， 解得， ∴，，． ◆题型3 黄金分割 7．（2026·福建南平·二模）黄金分割是汉字结构美学的核心规律，也是建阳雕版印刷中汉字排版的重要依据，尽显建阳雕版工匠的设计智慧．借助边长为a的正方形习字格书写建阳刻本常用汉字“潭”，字体端庄舒展、比例协调．已知一条分割线的端点A、B分别在习字格的边、上，且且，点C是线段的黄金分割点，满足（），若．则正方形习字格边长a的长为________． 【答案】 【分析】根据题意可得，结合，得出，则，结合，列出方程，即可求解． 【详解】解：∵点在线段上，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 8．（25-26九年级上·江西赣州·期中）在设计人体雕像时，使雕像上半身（腰部以上）与下半身（腰部以下）的高度比，等于下半身与全部的高度比，可以增加视觉美感．如图，按此比例设计了一座高度为的雷锋雕像． (1)将雕像抽象成线段如图，雕像的上半身为，直接写出，，的数量关系：______； (2)求该雕像的下半身设计高度． 【答案】(1)； (2)该雕像的下半身设计高度为． 【分析】本题考查黄金分割，分式方程的应用，正确列出方程是解题关键． （1）根据雕像上部(腰部以上)与下部(腰部以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即可得出答案；． （2）设，则，根据（1）的结论，列出分式方程，解方程即可． 【详解】（1）解：（或）． （2）解：设，则， 依题意得：，整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：该雕像的下半身设计高度为． 9．（25-26九年级上·云南昆明·期中）宽与长的比是（约为）的矩形叫做黄金矩形．如图，现有一张黄金矩形纸片，长，折叠纸片，点落在上的点处，折痕为，连接．然后将纸片展开． (1)求的长； (2)求证：四边形是黄金矩形． 【答案】(1)2 (2) 证明：根据折叠的性质，得四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是黄金矩形． 【分析】（1）根据题意，，结合，解答即可； （2）根据定义证明即可． 本题考查的是矩形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的运算，理解黄金矩形的定义是关键． 【详解】（1）解：∵黄金矩形纸片，， ∴， ∴， 解得． （2）略 ◆题型4由平行判断成比例的线段 10．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）如图，直线，直线和与，，分别相交于点A，B，C和点D，E，F，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理，逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故A正确，符合题意； ，故B错误，不符合题意； 故C错误，不符合题意； ，故D错误，不符合题意． 故选：A． 11．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，已知，那么下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴，， 故选项B，C，D错误， 故选：A． 12．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，，、交于点，则下列比例中成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理，得到对应的线段成比例，判断出正确的选项． 【详解】解：∵， ∴，，，， 观察四个选项，选项C符合题意， 故选：C． ◆题型5 由平行截线求相关线段的长 13．（2026·四川眉山·中考真题）如图，，，，，则的长度是_______． 【答案】 15 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，求出的长，再根据即可求解.． 【详解】解： ，， ． 14．（2026·江苏盐城·三模）如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线平行且间距相等，同一条直线上的三个点、、都在竖格线上．若线段，则线段的长为_____． 【答案】 【分析】过点作于点，交于点，根据平行线分线段成比例可得，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ∵练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等， ∴， ∵， ∴． 15．（2026·安徽安庆·模拟预测）如图，直线，分别交直线于点，，，交直线于点，，． (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得到，然后代数求解； （2）由得到，然后结合得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ，即， ； （2）解：∵， ， ， ， ， ． ◆题型6 由平行截线求相关线段的比值 16．（2026·河北保定·二模）如图，在中，是边上的中线，F是的中点，连接并延长交于点E，则的值为______． 【答案】 【分析】过点D作的平行线，得到中点G，再用平行线分线段成比例定理得到，然后求出的值． 【详解】解：如图，过点D作交于点G， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26八年级下·上海·期中）如图，中，的平分线交于点D，与的垂线相交于点，过点作于点，则为___________． 【答案】 【分析】由勾股定理得，再由角平分线的性质得，进而由面积法求出，则，然后由勾股定理得，则，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 18．（25-26九年级上·河北·单元复习）如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为____________： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为____________ 【答案】 【分析】本题考查了三角形的中线性质、平行线分线段成比例定理，解题的关键是通过作平行线构造比例关系，利用中线和线段比例求出的值． ①通过作，利用平行线分线段成比例定理和中线性质，结合是中点的条件，推出与的比例关系． ②依据平行线分线段成比例定理和已知的，推导出与的比例关系． 【详解】解：①过点作交于点， 则， 是的中线， ， ，即， 为的中点， ， ，即， ， ， ， 故答案为：； ， ，即， ， ， ， 故答案为：。 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）若成立，则下列等式不成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将各选项的比例式转化为等积式，与已知推导的对比，判断等式是否成立； 【详解】解：∵， ∴，且均不为0. ∵， ∴ ，与已知一致， ∴ A成立； 设，则，， 当时， ∴， ∴ B成立； ∵，，， ∴， ∴C成立； ∵， ∴，与不一定相等， ∴ D不成立； 2．（25-26九年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，中若，，则下列比例式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理的理解及运用，平行四边形的判定和性质，解题的关键是掌握以上性质． 用平行线分线段成比例定理以及比例的性质进行变形即可得到答案． 【详解】解：A.∵， ∴，， 该选项错误，不符合题意； B.∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 即， 该选项错误，不符合题意； C. ∵， ∴， 该选项正确，符合题意； D.∵， ∴， 该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3．（25-26九年级上·宁夏银川·期中）已知，若，，则（　　） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【详解】本题考查了比例的性质，由题意得即可求解． 【分析】解：∵， ∴，，， ∴， 又 ∵ ， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 4．（2026·广东清远·二模）如图，矩形的四个顶点分别在直线，，，上．若直线且间距相等，交直线于点，，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由矩形的性质得出，，根据平行线分线段成比例定理，可得 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点， ∵四边形是矩形， ∴，． ∵， ， ∴． ． 5．（25-26八年级下·辽宁大连·期末）宽与长的比是的矩形叫作黄金矩形，帕特农神庙正面轮廓视觉上非常接近黄金矩形，嵌套多层近似黄金矩形，如图，矩形截掉正方形后，剩余的矩形仍是黄金矩形，是，求的长度，设的长度是，根据题意，下列的方程中正确的是（     ） ①；②；③；④． A．① B．①③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】D 【详解】解：设的长度是， 矩形是黄金矩形，是， ，即，故①正确； ，即，故④正确； 四边形是正方形， ， ， 矩形是黄金矩形， ，即，故②正确； ， ，故③正确； 故选：D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·安徽安庆·期末）若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意得到，再把代入所求式子中约分，即可得到答案． 【详解】解：， ， ． 7．（25-26九年级上·湖南郴州·阶段检测）若，则的值为______． 【答案】 【分析】设，则，，，据此代入所求式子求值即可． 【详解】解：设，则，，． 将，，代入中，得： ∵， ∴分子分母可约去，结果为． 又∵， ∴． 8．（25-26八年级下·广东东莞·期中）我们将宽与长之比为的矩形称为黄金矩形．如图是意大利著名画家达•芬奇（，1452～1519年）的名画《蒙娜丽莎》．画面中脸部被围在矩形内（），图中四边形为正方形，矩形为黄金矩形．若．则_____． 【答案】 【分析】、是矩形，是正方形，设的边长为，矩形为黄金矩形，根据宽与长之比为，列出分式方程，解方程即可求解答案． 【详解】解：设正方形的边长为， ∴， ∵四边形，是矩形， ∴， 而， ∴， ∵矩形为黄金矩形， ∴， 即， 解得， 检验，当时，，有意义， ∴是原方程的解，且符合题意， ∴． 9．（25-26九年级上·上海青浦·期中）如图，在中，D为边上的中点，点E为边上一点，交于点G，当时，则_____． 【答案】 【分析】取的中点F，连接，根据三角形中位线定理可得，从而得到，再结合，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点F，连接， ∵D为边上的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）在矩形中，M为对角线的中点，点N在边上，且．当以D，M，N，为顶点的三角形是直角三角形时，则对角线的长为________． 【答案】或 【分析】本题考查矩形的性质、勾股定理、平行线分线段成比例定理与分类讨论思想，需分两种情况讨论直角顶点的位置，分别求出的长度，再利用勾股定理计算对角线的长． 【详解】解：分两种情况讨论： ①如图，当时，则， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 由平行线分线段成比例得， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 由勾股定理得：； ②如图，当时，则， ∵为的中点， ∴垂直平分， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，， 由勾股定理得：； 为对角线与边的夹角，不可能为直角，故此种情况不存在。 综上所述，的长为或. 三、解答题 11．（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知，满足， (1)求的值； (2)若且线段是长为，的线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）设 ，则，，然后代入即可求解； （）由（）得，，则，所以，，，又线段是线段，的比例中项，所以， 然后求出的值即可． 【详解】（1）解：设，则，， ∴； （2）解：由（）得，， ∵， ∴， ∴，，， ∵线段是线段，的比例中项， ∴， ∴（负值已舍去）． 12．（26-27九年级·浙江·暑假作业）如图，在中，延长至点D，使，在上取一点F，连接交于点E，过F点作交于点H，已知， 2． (1)________； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行线分线段成比例得到即可求解； （2）由（1）得，再根据平行线分线段成比例得到，进而可求解． 【详解】（1）解：因为 所以， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以 因为， 所以， 又因为 所以． 13．（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）计算： (1)已知，，为的三边，，且，求的面积． (2)如果，求的值． 【答案】(1)的面积为； (2)的值为或． 【分析】本题主要考查了比例的性质，勾股定理逆定理，直角三角形面积的计算，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设，可得，，，又，代入求得，则有，，，然后通过勾股定理逆定理可得是直角三角形，最后由直角三角形面积公式即可求解； （）由，则，，，所以得，然后分当时和当时两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：设， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴的面积为； （2）解：∵， ∴，，， 得， 当时，， 当时，， ∴， 综上可得：的值为或． 14．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，在中，点D为上一点，点P在上，过点P作交于点M，作交于点N． (1)若点D是的中点，且，求的值； (2)若点D是上任意一点，试证明：． 【答案】(1) (2)证明：过点作交于， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴． 即． 【分析】（1）先过点作交于，从而可得出，于是可列出比例式，再根据点是中点，结合得出结论； （2）先过点作交于，从而可得出，再得出，从而可得，这样就可得到，然后同理可得：，于是可得出结论． 【详解】（1）解：过点作交于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为中点， ∴点是中点， ∴； （2）略 15．（25-26八年级下·吉林长春·期末）综合与探究：某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用． (1)【初步探究】在中，、分别为、的动点，若，，连接，交于点．如图1，若过作，交于，则与的比值为__________；与的比值为__________； (2)在（1）的条件下，求出与的比值； (3)【拓展提高】如图2，在平行四边形中，点为的中点，点为上一点，与、分别交于点、，若，的面积为3，则的面积为__________ 【答案】(1)1； (2)3 (3)60 【分析】（1）因为，，所以用平行线分线段成比例定理可得是中点，得到与的比值；再结合与的比例关系，用平行线分线段成比例定理可求与的比值； （2）可利用（1）中得到的线段比例关系，结合，推导与的比值； （3）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合是中点、的条件，用全等三角形，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理得到线段与，与的比例，再根据同高三角形面积比等于底边长的比，逐步推导各部分面积与面积的关系，最终求出平行四边形的面积． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）解：∵D是的中点，是的中点， 是的中位线， ∴． 又是的中点，E是的中点， ∴是的中位线， ∴． ， ， 因此． （3）解：延长交延长线于， ∵平行四边形中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 取的中点N，连接， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 延长到点P，使， 则， ∴， 在上取点T，Q，使，，连接，， ∵， ∴， ∴， ∴    ， ∵E是中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边上的高和的边上的高相同， ∴， ∵， ∴． 16．（2026·贵州安顺·二模）综合与实践 定义：将宽与长的比值为（为正整数）的矩形称为阶奇妙矩形． (1)概念理解：当时，这个矩形为1阶奇妙矩形，这就是我们学习过的黄金矩形，它的宽与长的比值是________． (2)操作验证：黄金矩形可通过下面的折纸方法得到． ①在一张矩形纸片的一端，按图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平． ②如图2，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平． ③折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中所示的处．            ④展平纸片，按照所得到的点折出． 请说明为什么矩形为黄金矩形．（提示：设的长为2） (3)探究发现： 小明在操作时发现：如图5，点为正方形边上任意一点（点不与端点重合），连接，先折叠纸片使落在上，点的对应点为点，展开，折痕为；再过点折叠纸片，使得点，分别落在边，上，展开，折痕为，则四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值．请写出这个定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)设的长为2， 如图1：由折叠的性质可得：． 如图2：由折叠的性质可得：； 如图3：由勾股定理可得： 由折叠的性质可得：， ∴， 如图4：， 所以矩形为黄金矩形． (3)四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值，这个定值是，理由如下： 如图，连接，设正方形的边长为1，设，则， 设，则， 根据折叠，可得，， 在中，， ∴， 在中，， ∴． ∴，整理得：， ∴四边形的周长为 矩形的周长为， ∴四边形的周长与矩形的周长比值总是定值． 【分析】（1）将代入计算、化简即可； （2）利用折叠的性质可得、、，勾股定理可得，再利用线段的和差以及黄金矩形的定义即可解答； （3）如图，连接，设正方形的边长为1，设，则，设，则，利用折叠的性质、勾股定理可得，进而得到四边形的周长为，矩形的周长为，最后求比例即可． 【详解】（1）解：将代入可得：． （2）解：略 （3）解：四边形的周长与矩形的周长的比值总是定值，这个定值是，理由略． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $