第3-5章 阶段测试卷 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 2026-2027学年九年级第3~5章阶段测试题 满分：120分 建议时间：120分钟 测试范围：北师大版九年级上册第3-5章全部内容 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知、、、四条线段成比例，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．夜晚路灯下行人的影子属于（     ） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影 3．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图所示几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 6．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为的直线．则抛物线与x轴的另一个交点是（     ） A． B． C． D． 7．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 9．对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，有最大值 C．当时，随的增大而减小 D．图象的对称轴是直线 10．如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知点，在抛物线上，且，则______． 12．如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 14．如图是抛物线形拱桥的示意图，桥拱在水面的跨度约为20米，以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线解析式是，则桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为______米． 15．在正方形中，点M、N分别是、边上的中点，连接，交于点O，连接．若，则的长为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在中，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求长. 17．（8分）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． (1)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ (2)若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价多少元？ 18．（7分）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 19．（8分）已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线_________； (2)直接写出下表中，的值：_________，_________． … … … … (3)在下面的坐标系中描点，并画出抛物线； (4)由图象可知，当满足______时，随的增大而增大；当满足______时，随的增大而减小． 20．（9分）项目学习项目背景：某数学兴趣小组在太原市湿地公园围绕“利用相似三角形测高”开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告． 项目主题 利用相似三角形测高 活动过程 1．设计说明： ①是简易工具房前的一面围墙； ②是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ③是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ④为窗高．为窗户到地面的高度，点在同一条直线上，且 ． 2．数据测量：米，米，米，米． 3．计算…… 反思交流 ．．．．．． 请根据表中提供的信息，求围墙的高度． 21．（10分）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 22．（12分）综合与实践  中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． (1)如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式； 任务二 (2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时点S、点H的坐标． 23．（13分）综合与探究 【问题情境】 综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动 【实践操作】 如图1，将等腰绕正方形的顶点逆时针方向旋转，其中，，连接，点为的中点，连接，，，得到 【应用探究】 (1)勤奋组：如图2，当点E恰好落在正方形的对角线上时，判断的形状，并说明理由； (2)善思组：如图3，当点恰好落在正方形的边上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 【深入探究】 (3)创新小组发现：若连接，在旋转的过程中为定值，请你直接写出的值__________． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A D C A A B D D B 1．D 【分析】按成比例线段的给定顺序列比例式，代入已知长度计算的值． 【详解】解：∵、、、四条线段成比例， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 2．A 【分析】从路灯光源类型入手，结合投影的分类定义判断. 【详解】解：∵路灯属于点光源，点光源形成的投影为中心投影. ∴夜晚路灯下行人的影子属于中心投影. 3．D 【详解】解：抛物线的顶点坐标为． 4．C 【分析】根据几何体三视图的判断方法，确定出俯视图即可． 【详解】 解：俯视图为：． 5．A 【分析】根据相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边之比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边之比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似，逐一判断选项即可． 【详解】解：， ， 选项，添加，无法判定，故符合题意； 选项，添加，可用两边及其夹角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意； 选项，添加，可用两角法判定，故不符合题意． 6．A 【分析】根据抛物线的对称性，抛物线与轴的两个交点关于对称轴对称，利用中点坐标公式求解即可． 【详解】解：设抛物线与轴的另一个交点坐标为， ∵抛物线的对称轴为直线，且经过点， ∴， ∴， ∴抛物线与轴的另一个交点坐标为． 7．B 【详解】解：A、二次函数开口向上，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、二、三象限，则，；b矛盾，故选项A不符合题意； B、二次函数开口向上，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、三、四象限，则，；故选项B符合题意； C、二次函数开口向下，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、二、三象限，则，；a矛盾，故选项C不符合题意； D、二次函数开口向下，则，对称轴在y轴的右侧，即，则；一次函数过一、三、四象限，则，；a矛盾，故选项D不符合题意． 8．D 【分析】由平行线判定三角形相似，利用周长比得出相似比，进而判断对应边比例及面积比． 【详解】 解：， ， ，故B正确； ，即周长比等于 相似比为， ，即，故A正确； ，即， ， ，故C正确； 相似三角形面积比等于相似比的平方， ，故D错误． 9．D 【详解】解：由得，图象开口向上，A错误， 对称轴为直线，D正确， ∵， ∴函数有最小值，当时，的最小值为，B错误， ∵开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故时随的增大而减小的说法错误，C错误． 10．B 【分析】设矩形花圃的宽为米，长为米，根据篱笆总长与墙长的关系列出与的等量关系，构建面积关于的二次函数，结合确定自变量取值范围，利用二次函数性质求最大值． 【详解】解：设米，米， ∵篱笆总长为米，墙米，且其余部分用篱笆围成， ∴， ∴，即， ∵，即， ∴， 解得， 又， ∴， 设矩形花圃面积为平方米， ， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时， ∴， 即矩形花圃面积的最大值是平方米． 11． 【分析】根据二次函数的图象与性质可得当时，随着的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为轴， ∴当时，随着的增大而减小， ∵， ∴． 12． 【详解】解：∵点的坐标为，且以原点为位似中心，相似比为，把缩小， ∴点在第一象限的对应点的坐标为，即为． 13． 【分析】先证明四边形是矩形，求出的长，再根据黄金分割的定义，可得，代入即可求解． 【详解】解：四边形是正方形， ， 又 ， ， ， 四边形是矩形， ． 又 ， ， 则的长为． 14．20 【分析】先读出顶点坐标，根据水面倒影是关于轴对称求出倒影点坐标，再计算两点距离． 【详解】解：由抛物线解析式，可得顶点的坐标为． 水面为轴，点在水中的倒影是点关于轴的对称点， 坐标为． 与之间的距离为（米）． 15． 【分析】先由正方形性质和中点条件，通过证，推得；再作辅助线，用证，结合求出相关线段长，最终在中由勾股定理计算的长度． 【详解】解：在正方形中，，， ∵、分别为、中点， ∴，． 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴． ∴， ∴， 过点作于点，如图： ∴， ． 又∵， ， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，， ，， ， ∴， ∵，，， ∴ 解得，， ∴，． ∴， 在中，． 16．(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）先得出，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）设，则，再根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）略． （2）解：设， ∵， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， 即． 17．(1) 当每双鞋子降价元时，每天可获得最大利润，最大利润为元． (2) 每双鞋子应降价元． 【分析】（1）设降价金额为自变量，根据总利润的等量关系列出二次函数，利用二次函数顶点性质求最值； （2）根据给定利润列一元二次方程，结合“让顾客尽可能多得实惠”的条件选取较大的解． 【详解】（1）解：设每双鞋子降价元，每天获得的总利润为元， 由题意得，每双鞋子的利润为元，每天的销售量为双， 总利润 （）， 整理得 ， ∵ ， ∴ 当时，取得最大值， 将代入得 （元）； 答：当每双鞋子降价元时，每天可获得最大利润，最大利润为元． （2）解：令，则 ， 整理得 ， 解得 ，， ∵ 要让顾客尽可能多得实惠， ∴ 选择较大的降价幅度，即． 答：每双鞋子应降价元． 18．(1) (2)，8 【分析】（1）设二次函数表达式为，再将点C代入，求出a值即可； （2）连接，设点P坐标为，，利用得出S关于m的表达式，再求最值即可． 【详解】（1）解：∵、，， ∴设抛物线表达式为， 将C代入得， 解得， ∴该抛物线的解析式为； （2）解：连接，设点P坐标为，且， ∵、，， 可得，，， ∴ ， ∴当时，面积最大值为8， ∴四边形的面积最大值为8． 19．(1)直线 ． (2)，． (3)描点并画出抛物线如图． (4)当 时， 随 的增大而增大；当 时， 随 的增大而减小． 【分析】（1）由顶点式 直接读出对称轴； （2）把 、 分别代入解析式求出、； （3）在坐标系中描出表中五个点，并用光滑曲线顺次连接； （4）由图象（开口向下、顶点在对称轴上）判断随增大而增大、减小的范围． 【详解】（1）解：抛物线的解析式为 ，其中 ， ∴ 对称轴为直线． （2）解：当 时， ． 当 时， ． （3）解：在坐标系中描出点、、、、， 并用光滑曲线把它们顺次连接起来，即得抛物线（见答案处图形）． （4）解：由图象可知，抛物线的顶点为，对称轴为直线，且开口向下． 在对称轴左侧，抛物线上升；在对称轴右侧，抛物线下降， ∴ 当 时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 20．围墙的高为米 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的性质和判定是解答的关键． 证明，，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴围墙的高为米． 21．(1)平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例） (2)答案不唯一， 如答图1，点即为所求. (3) 【分析】（1）根据题中证明过程填写依据即可； （2）根据题意，作角平分线即可； （3）过点作，交于点，则，进而证明，即可得出． 【详解】（1）解：平行线分线段成比例的推论（或平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）； （2）略 （3）如答图2，过点作，交于点.     ，，.     平分， .             . .             . 22．(1)； (2)，． 【分析】（1）根据平面直角坐标系的建立方法设函数的解析式，求出点的坐标，利用待定系数法求解； （2）根据题意，则，由此求出点坐标，待定系数法确定的解析式，联立二次函数解析式求交点坐标即可． 【详解】（1）解：，， ， ， 碗体DEC的抛物线解析式可设为， 轴，， ， ， ， ， 解得， 碗体DEC的抛物线解析式为； （2）解：根据题意可知， ， ， ， ， 设直线的关系式为 则解得 ， 解得，， 当时，，即点，舍去； 当时，，即点； 故，． 23．(1)是等腰直角三角形．理由见解析 (2)是等腰直角三角形．理由见解析 (3) 【分析】（1）结论：是等腰直角三角形．利用直角三角形斜边的中线的性质解决问题即可． （2）连接，过点H作于G．想办法证明，可得结论． （3）利用相似三角形的判定和性质解决问题即可． 【详解】（1）解：结论：是等腰直角三角形．理由如下： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵点H是的中点， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 同理：， ∵， ∴，， ∴是等腰直角三角形． （2）解：结论成立．理由如下： 如图3：连接，过点H作于G． ∵四边形是正方形，是等腰三角形，， ∴， ∴A，F，C共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． （3）解：如图1中，连接． ∵四边形是正方形，是等腰三角形，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 2026-2027学年九年级第3~5章阶段测试题 满分：120分 建议时间：120分钟 测试范围：北师大版九年级上册第3-5章全部内容 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．已知、、、四条线段成比例，其中、、，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．夜晚路灯下行人的影子属于（     ） A．中心投影 B．平行投影 C．正投影 D．既是中心投影也是平行投影 3．抛物线的顶点坐标为（     ） A． B． C． D． 4．如图所示几何体的俯视图是（     ） A． B． C． D． 5．如图，已知，则添加下列一个条件后，仍无法判定的是（     ） A． B． C． D． 6．二次函数的部分图象如图所示，图象过点，对称轴为的直线．则抛物线与x轴的另一个交点是（     ） A． B． C． D． 7．一次函数与二次函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．如图与交于点O，且，若，则下列说法不正确的是（     ） A． B． C． D． 9．对于二次函数，下列说法正确的是（     ） A．图象的开口向下 B．当时，有最大值 C．当时，随的增大而减小 D．图象的对称轴是直线 10．如图，植物园里要建一个矩形花圃，建造该花圃需要利用一堵墙，其余部分用长为28米的篱笆围成，且．若米，则矩形花圃面积的最大值是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知点，在抛物线上，且，则______． 12．如图，每个小正方形的边长均为1，三个顶点均在格点上，以原点为位似中心，相似比为，把缩小，则点在第一象限的对应点的坐标为______． 13．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边，上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 14．如图是抛物线形拱桥的示意图，桥拱在水面的跨度约为20米，以O为原点，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则桥拱所在抛物线解析式是，则桥拱最高点P与其在水中倒影点之间的距离为______米． 15．在正方形中，点M、N分别是、边上的中点，连接，交于点O，连接．若，则的长为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（8分）如图，在中，，，垂足为． (1)求证：； (2)若，，求长. 17．（8分）某商场销售一批鞋子，平均每天可售出双，每双盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取降价措施，调查发现，每双鞋子每降价元，商场平均每天可多售出双． (1)当每双鞋子降价多少元时，每天可以获得最大利润？最大利润为多少元？ (2)若商场每天要盈利元，且让顾客尽可能多得实惠，则每双鞋子应降价多少元？ 18．（7分）如图，开口向下的抛物线与x轴交于点、，与轴交于点，点P是第一象限内抛物线上的一点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设点P的横坐标为m，求四边形的面积，并求其最大值． 19．（8分）已知抛物线． (1)抛物线的对称轴为直线_________； (2)直接写出下表中，的值：_________，_________． … … … … (3)在下面的坐标系中描点，并画出抛物线； (4)由图象可知，当满足______时，随的增大而增大；当满足______时，随的增大而减小． 20．（9分）项目学习项目背景：某数学兴趣小组在太原市湿地公园围绕“利用相似三角形测高”开展项目性综合实践活动，形成了如下活动报告． 项目主题 利用相似三角形测高 活动过程 1．设计说明： ①是简易工具房前的一面围墙； ②是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ③是阳光恰好从围墙最高点经过窗户点处射到地面的光线； ④为窗高．为窗户到地面的高度，点在同一条直线上，且 ． 2．数据测量：米，米，米，米． 3．计算…… 反思交流 ．．．．．． 请根据表中提供的信息，求围墙的高度． 21．（10分）阅读与思考 下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务． 年月日  星期六 利用平行线探究角平分线分线段成比例 今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例． 我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在中，平分交于点，求证： 【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）： 证明：过点作，交的延长线于点． （依据），，． 平分，． ．． ，即． 【拓展探究】我有如下思考：如图2，在中，外角的平分线与的延长线交于点，那么能不能参照上述方法求出线段，，，之间的比例关系呢？ …… 任务： (1)【自主探究】的证明过程中的“依据”是指__________． (2)如图3，在中，，请你作出边的一个三等分点（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． (3)求出【拓展探究】中，线段，，，之间的比例关系． 22．（12分）综合与实践  中国瓷器是世界上最早最精美的陶瓷之一，也是中国文化的重要组成部分，九年级的同学在进行历史和数学跨学科项目式学习时，进行了方案探究和任务型学习： 【设计方案求倾斜状态下碗里水面的宽度】 问题情境 图1是一个竖直放置在水平桌面MN上的瓷碗，图2是其截面图，瓷碗高度，碗口宽，，碗体DEC呈抛物线状（碗体厚度不计），当碗中盛满水时的最大深度． (1)如图2，以碗底AB的中点F为原点O，以MN为x轴，AB的中垂线FG为y轴，建立平面直角坐标系，求碗体DEC的抛物线解析式； 任务二 (2)如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜，倒出碗中的部分水，当水面CH与碗口的夹角为时停止倾斜．求此时点S、点H的坐标． 23．（13分）综合与探究 【问题情境】 综合与实践课上，同学们开展了以“图形的旋转”为主题的数学活动 【实践操作】 如图1，将等腰绕正方形的顶点逆时针方向旋转，其中，，连接，点为的中点，连接，，，得到 【应用探究】 (1)勤奋组：如图2，当点E恰好落在正方形的对角线上时，判断的形状，并说明理由； (2)善思组：如图3，当点恰好落在正方形的边上时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； 【深入探究】 (3)创新小组发现：若连接，在旋转的过程中为定值，请你直接写出的值__________． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $