第五章 二次函数 易错疑难集训-【宝典训练】2026-2027学年九年级上册数学高效课堂（北师大版·新教材）

数学·九年级·上册（北师大版） 第五章《二次函数》 易错疑难集训 【易错点1】利用二次函数的定义求待定系数时 【易错点5】二次函数中线段、周长、面积最值问题 忽略“a≠0” 5.如图，抛物线y=ax2十bx-3(a≠0)与x轴交 1.函数y=(m-2)xm-2-2mx十1的图象是抛 于点A(-1,0),点B(3,0),与y轴交于点C。 物线，则m= (1)抛物线的表达式为 【易错点2】利用二次函数的增减性求待定系数 (2)在对称轴上找一点Q,使△ACQ的周长最 时忽略分类讨论 小，求点Q的坐标； 2.对于二次函数y=x2一2x十1，当a一1≤x≤a (3)P是第四象限内抛物线上的动点，求△BPC 时，函数y=x2-2x十1的最小值为1，则a的 面积S的最大值及此时P点的坐标。 值为 【易错点3】二次函数的图象与系数的关系 3.二次函数y=ax2十bx十c的图象如图所示，有 如下结论：①abc>0;②2a+b=0;③3b-2c< 0;④am2+bm≥a十b(m为任意实数)；⑤方程 ax2十bx+c=1的两根之和为1.其中正确结 论的个数是 A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【易错点4】利用二次函数解决实际问题中最值问题 4.某超市购进甲、乙两种商品，全部售完后，甲商 品共盈利900元，乙商品共盈利400元，甲商 品比乙商品每箱多盈利5元，甲商品箱数是乙 商品箱数的倍。 (1)甲、乙两种商品每箱各盈利多少元？ (2)甲、乙两种商品全部售完后，该超市又购进 批甲商品，在原来每箱盈利额不变的前 提下，平均每天可售出100箱。若调整价 格，每降价1元，平均每天可多售出20箱， 那么当降价 元时，该超市获得的利润 最大。最大利润是 元。 ●>1260 第五章二次函数 【易错点6】二次函数中存在性问题 【易错点7】二次函数中的新定义型综合问题 6.如图，将抛物线y=x2向右平移a(a>0)个单 7.新定义：我们把抛物线y=ax2十bx十c(其中 位得到新抛物线，新抛物线的顶点为A,与y ab≠0)与抛物线y=bx2十ax十c称为“关联抛 轴交于点B,且△AOB为等腰直角三角形。 物线”.例如：抛物线y=2x2十3x十1的“关联 抛物线”为：y=3x2十2x十1.已知抛物线C1: y=2ax2十ax十a-3(a≠0)的“关联抛物线” 为C2。 (1)C2的表达式（用含a的式子表示）为： ,顶点坐标为： (1)a= (2)若a>0,过x轴上一点P,作x轴的垂线 (2)在新抛物线上是否存在一点C,使△ABC 分别交抛物线C1,C2于点M,N。 为等腰直角三角形？若存在，请求出点C ①当MN=6a时，求点P的坐标； 的坐标；若不存在，请说明理由。 ②当a一3≤x≤a一1时，C2的最大值与最 小值的差为2a,求a的值。 ●>127,△=(-30)2-4×1×250=900-1000=-100<0， .原方程没有实数根， .矩形花园ABCD的面积不能达到500m。 12.解：(1)设与墙垂直的边的长度为xm,则与墙平行的边的 长度为(60-2x)m, 根据题意得x(60-2x)=450, 解得x1=x2=15。 答：与墙垂直的边的长度为15米； (2)设与墙平行的边的长度为tm,花圃的面积为Sm2, 根据题意得S=号4(66-0=-子+2， 5=-号-3)r+363. -g<0, ∴.当t=33时，S有最大值363。 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大。 微专题6二次函数的图象与系数的关系 1.D2.D3.B4.C5.①②④ 6.(1)<(2)>(3)>(4)>(5)=(6)<(7)< 7.B8.B9.B10.D11.<12.③④13.C14.A 15.解：(1)，抛物线C:y=ax2-2ax十3与y轴交于点A, .点A的坐标为(0,3)。 (2)当a=一1时，抛物线C为y=一x2十2x+3。 ,抛物线C与x轴交于点B,且点B在x轴的正半轴上， .点B的坐标为(3,0)。 直线l:y=kx十b过A,B两点， b=3,解得 k=-1, 3k+b=0, b=3。 ∴直线L的解析式为y=一x+3。 (2)如答图，当a>0时，当a=3时，抛物线C过点B(1,0), 此时k=一3。结合函数图象可得a>3.当a<0时，当a= 一1时，抛物线C过点B(3,0),此时k=一1.结合函数图象 可得a<-1。 综上所述，a的取值范围是a<-1或a>3。 4320 4 答图 微专题7二次函数综合实践探究 1.解：(1)一次y=-10x+1800 (2)根据题意知，月销售利润w=(x一80)y=(一10x+1 800)(x-80)=-10x2+2600x-144000, 月销售利润达到24000元， 3 参考咨案 .-10x2+2600x-144000=24000, 解得x1=120,x2=140, 当x=120时，销售成本为80×(-10×120+1800)=48000 (元)>40000元，不符合题意舍去； 当x=140时，销售成本为80×（一10×140+1800）=32000 (元)<40000元，符合题意。 故销售单价应定为140元。 (3)由(2)知w=-10x2+2600x-144000=-10(x-130)2 +25000, ,一10<0，.抛物线开口向下，函数有最大值，即当x=130 时，w0大=25000， 即黄花的最优销售单价为130元/千克，最大利润为 25000元。 2.解：(1)如答图1,2。 ↑vl(cm/s) ↑ylcm 1 10000 4 40 ---- 30 ------ 20- 1 10 O123456789101112x/3 ōf123456789101112x/5 答图1 答图2 (c=10, (2)设0=x+c,代人(0,10)，(2,9)，得 (2k+c=9, （k=一2' 1 解得 (c=10, u与x的函数表达式为0=一 2x+10; 14a+2b=19, 设y=ax2+bx,代入(2,19)，(4,36)，得 (16a+4b=36, a=- 解得 4 (b=10, y与x的函数表达式为y=-号r+10z. (3)100cm(4)n>64 第五章《二次函数》易错疑难集训 1.-22.0或33.C 4.解：(1)设乙商品每箱盈利x元，甲商品每箱盈利(x+5)元， -49×号，解得x=10,经检验，x=10是原方程的根， x+5x1 .x+5=10+5=15。 答：甲商品每箱盈利15元，乙商品每箱盈利10元。 (2)52000 5.解：(1)y=x2-2x-3 (2)如答图1，连接CB交对称轴于点Q, ,y=x2一2x-3=(x-1)2-4, ∴.抛物线的对称轴为直线x=1, A、B关于对称轴x=1对称， ..AQ=BQ, 数学九年级上册(BS) 答图1 答图2 ∴.AC+AQ+CQ=AC+CQ+BQ≥AC+BC, 当C、B、Q三点共线时，△ACQ的周长最小， y=x2-2x-3,.C(0,-3), 设直线BC的解析式为y=kx十m,把B(3,0)和C(0,一3)代 (0=3k+m (k=1 人得，一3=m ,解得{ m=-31 直线BC的解析式为y=x-3, 把x=1代入y=x-3,得y=1-3=-2, .Q(1,-2); (3)如答图2，过点P作PG∥y轴，交BC于点G,连接PC, PB,设点P(t,t-2t-3),则G(t,t-3), .PG=t-3-(-2t-3)=-2+3t, s-=×ax(-+30='+g, 当：=号时，S的最大值为铝， 此时，P点的坐标为（号，-只. 6.解：(1)1 (2)存在，理由如下： 如答图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C,连接BC,交 抛物线的对称轴于点D,则∠BDA=∠CDA=90°，∠OAD= 90°，∠BAD=∠CAD, 答图 :△AOB为等腰直角三角形， ∠OAB=45°， .∠BAD=∠CAD=45°， .△ACD、△ABD为等腰直角三角形， ∴.∠ABC=∠ACB=45°， .∠BAC=90°， ∴.△ABC是等腰直角三角形， 由(1)得点B的坐标为(0,1)，对称轴为直线x=1, .点C的坐标为(2,1)， 故在图中的抛物线上存在点C,使△ABC为等腰直角三角 形，点C的坐标为(2,1)。 7.解：(1)y=a(x+1)2-3(-1,-3) (2)①设点P的横坐标为m, 3 过点P作x轴的垂线分别交抛物线C1,C2于点M,N, .M(m,2am2+am+a-3),N(m,am2+2am+a-3), :.MN=|2am+am+a-3-(am+2am+a-3)|=lam-aml, MN=6a,:.am2-am|=6a, 解得m=一2或m=3,.P(-2,0)或(3,0). ②C2的解析式为：y=a(x+1)2-3, ∴.当x=一1时，y=-3, 当x=a-3时，y=a(a-3+1)2-3=a(a-2)2-3, 当x=a-1时，y=a(a-1+1)2-3=a3-3, 根据题意可知，需要分三种情况讨论， I、当a-3≤-1≤a-1且-1-(a-3)>a-1-(-1)时， 即0<a<1, 函数的最大值为a(a一2)2一3；函数的最小值为一3， .a(a-2)2-3-(-3)=2a, 解得a=2-√2或a=2十√2（舍）； Ⅱ、当a-3≤-1≤a-1且-1-(a-3)<a-1-(-1)时， 即1<a≤2， 函数的最大值为a3一3；函数的最小值为一3， a3-3-(-3)=2a, 解得a=√2或a=-√2（舍）： Ⅲ、当-1≤a-3<a-1时，a≥2， 函数的最大值为a-3,函数的最小值为a(a一2)2-3； d-3-[a(a-2)2-3]=2a,解得a=是（舍： 综上，a的值为2-√2或√2。 第13课时《二次函数》单元复习 1.D2.C3.C 4.y=(x+1)2+10(-1,10) 5.166.(2,-3) 7.解：(1)由表格中数据可知，y与x之间的函数表达式为一次 函数关系，设y=kx十b(k≠0)， 10k+b=40, 1k=-5, 则{ 解得{ 12k+b=30, b=90, .y与x的函数表达式为y=一5x+90。 (2)设该产品的销售利润为万元，由题意，得w=y(x一8) =(-5x+90)(x-8)=-5x2+130x-720=-5(x-13)2 +125, -5<0,当x=13时，w最大，最大值为125。 即当销售单价为13万元时，有最大利润，最大利润为125 万元。 8.C9.A 10.解：(1)描点、连线如答图.易知抛物线过点O,故设抛物线 的表达式为y=a.x2十bx, 14a+2b=1, 将(2,1)，(3,2.25)代人上式得 9a+3b=2.25, 1 解得 a4' (b=0,