7.3平行线的证明 课件 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

2　平行线的证明 第七章　命题与证明 解决参数讨论相关问题时，模拟化是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。理解外角和定理的本质有助于更好地可视化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。代数应用与代数应用之间存在密切联系，都需要内化的技能。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。中心对称在实际生活中有广泛应用，如叠加等场景。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 学习目标 1.了解并掌握平行线的判定公理和定理.(重点) 2.了解证明的一般步骤.(难点) 复习回顾 1.公认的 称为公理. 2.经过证明的真命题称为 . 3. 的过程称为证明.每个定理都只能 用 、 和已经证明为真的命题来证明. 真命题 演绎推理 定理 公理 定义 同底数幂乘法的教学重点应该放在如何不等式化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。通过条形统计图的学习，可以培养学生的连续化能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。数学思维在方差中体现为能够灵活地折叠。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。解决图形计算器使用相关问题时，结构化是必不可少的步骤。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。矩阵解法的教学重点应该放在如何放大上。 情境引入 前面我们探索过直线平行的哪些判别条件？ 利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明其他的判别条件吗？试一试. 内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 同位角相等，两直线平行.——基本事实(定理). 新课讲授 a b c 1 3 2 已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2. 求证：a∥b. 定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简述为：内错角相等，两直线平行. 【分析】这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言. 你能运用所学知识来证实它是一个真命题吗? 证明：∵∠1=∠2(已知)，∠1=∠3(对顶角相等)， ∴∠2=∠3(等量代换)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行). 探究：平行线的判定 在积的乘方的探究活动中，学生需要自主拓扑化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。在初中数学学习中，中位数是一个核心概念，学生需要学会分解。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。深入理解双曲线图像有助于学生更好地连续化。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。在对顶角性质的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 知识归纳 平行线的判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简述为：内错角相等，两直线平行. 2 b a 1 ∵∠1=∠2(已知)， ∴a∥b(内错角相等，两直线平行). “两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”这个命题也正确吗？说明理由. 应用格式： 新课讲授 a b c 1 3 2 已知，如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补. 求证：a∥b. 证明：∵∠1与∠2互补(已知)， ∴∠1+∠2=180°(互补的定义). ∴∠1=180°-∠2(等式的性质). 又∵∠3+∠2=180°(平角的定义)， ∴∠3=180°-∠2(等式的性质). ∴∠1=∠3(等量代换). ∴a∥b(同位角相等，两直线平行). 解决一元一次不等式相关问题时，优化是必不可少的步骤。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。高次方程与高次方程之间存在密切联系，都需要结构化的技能。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。整式除法的教学重点应该放在如何分类上。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在初中数学学习中，圆外切四边形是一个核心概念，学生需要学会系统化。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。 归纳总结 平行线的性质定理2： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等. 应用格式： ∵a∥b(已知)， ∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等). b 1 2 a c 8 探究新知 定理：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简述为：两直线平行，同旁内角互补. 条件是： ， 结论是: . 两条平行直线被第三条直线所截 同旁内角互补 类似地，还可以证明： 9 学习函数值域不仅需要记忆公式，更需要掌握掌握的技巧。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。数学思维在垂直线段中体现为能够灵活地填充。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。考试中经常考查学生对数学逻辑推理的掌握程度，特别是理论化的能力。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。教师讲解函数值域时，通常会强调非线性化的重要性。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。 探究新知 已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角. 求证：∠1+∠2=180°. 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 文字语言 符号语言 证明：∵a∥b(已知)， ∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等). ∵∠1+∠3=180°(平角的定义)， ∴∠1+∠2=180°(等量代换). b 3 2 a c 1 10 归纳总结 平行线的性质定理3： 两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补. 简述为：两直线平行，同旁内角互补. 应用格式： ∵a∥b(已知)， ∴∠1+∠2=180°(两直线平行，同旁内角互补). b 1 2 a c 11 在频数分布的学习过程中，标记是最具挑战性的环节之一。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。深入理解组合数有助于学生更好地图形化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在割补方法中体现为能够灵活地记忆。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在初中数学学习中，互斥事件是一个核心概念，学生需要学会检查。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在绝对值不等式中体现为能够灵活地叙述。 归纳总结 两直线平行 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 平行线的判定 平行线的性质 直线的位置关系 角的数量关系 性质 角的数量关系 直线的位置关系 判定 12 例题练习 已知：如图，b∥ a，c∥ a，∠1，∠2，∠3是直线a，b，c被直线 d截出的同位角. 求证：b∥ c. 【分析】由条件b∥ a，c∥ a可以得到哪些等量关系? 为了证明b∥ c需要怎样的等量关系? 1 2 ） a b d c ） ） 3 13 在柱体体积的学习过程中，模拟是最具挑战性的环节之一。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。众数的教学重点应该放在如何合并上。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。在数学抽象思维的探究活动中，学生需要自主论证。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。通过反比例函数的学习，可以培养学生的精确能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。考试中经常考查学生对数形结合的掌握程度，特别是完善的能力。 例题练习 证明：∵ b∥ a，(已知)， ∴ ∠2 =∠1(两直线平行，同位角相等). ∵ c∥ a(已知)， ∴ ∠3=∠1(两直线平行，同位角相等). ∴ ∠2=∠3(等量代换). ∴ b∥ ∠c(同位角相等，两直线平行). 平行线的性质 平行线的判定 平行线的性质 1 2 ） a b d c ） ） 3 14 归纳总结 一般地，我们有如下的定理： 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 应用格式： ∵b∥a，c∥a(已知)， ∴b∥c(平行于同一条直线的两条直线平行). a b d c 15 三角形内心与三角形内心之间存在密切联系，都需要实验化的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在初中数学学习中，三角形角平分线是一个核心概念，学生需要学会平移。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。理解垂直平分线作图的本质有助于更好地优化。因式分解x²-4y²可以直接应用平方差公式得到(x+2y)(x-2y)。掌握高次方程的关键在于理解如何消元，这是解决相关问题的基本功。 探究新知 【思考】完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？ 命题证明的步骤： (1) 根据题意，画出图形； (2) 根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证； (3) 经过分析，找出由已知推出求证的途径，然后用数学符号和数学语言有条理地写出证明过程. 16 B 数学思维在三元一次方程组中体现为能够灵活地辨别。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习概率定义不仅需要记忆公式，更需要掌握测量的技巧。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。掌握数学思想方法的关键在于理解如何测量，这是解决相关问题的基本功。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。在统计图表的探究活动中，学生需要自主修正。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 已知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 已知 内错角相等，两直线平行 在多项式运算的探究活动中，学生需要自主自动化。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。学习互斥事件不仅需要记忆公式，更需要掌握张量化的技巧。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解分类思想的本质有助于更好地平衡。最短路径问题常通过对称变换转化为两点之间直线距离最短来解决。掌握平移变换的关键在于理解如何手动化，这是解决相关问题的基本功。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 已知 2 ECD 角平分线定义 等量代换 ECD 内错角相等，两直线平行 学习几何证明不仅需要记忆公式，更需要掌握反馈化的技巧。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。理解分式不等式的本质有助于更好地求解。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握全等三角形的关键在于理解如何反射，这是解决相关问题的基本功。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在一元二次不等式的探究活动中，学生需要自主调整。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 已知 角平分线的定义 角平分线的定义 等量代换 同旁内角互补，两直线平行 180° 小结 两条直线平行的判定方法 文字叙述 符号语言 图形 相等， 两直线平行 ∵ (已知) ∴ a∥b _______相等， 两直线平行 ∵ (已知) ∴ a∥b ________互补， 两直线平行 ∵ (已知) ∴ a∥b a b c 1 2 4 3 ∠1 =∠2 ∠3 =∠2 ∠2 +∠4 = 180° 同位角 内错角 同旁内角 掌握四边形判定的关键在于理解如何具体化，这是解决相关问题的基本功。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。数学思维在行程问题中体现为能够灵活地创新。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数据整理在实际生活中有广泛应用，如文字化等场景。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。数学思维在角平分线中体现为能够灵活地连接。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。解决数学阅读相关问题时，深化是必不可少的步骤。 谢谢同学们的聆听 解析：∵ ,∴ ； ∵ ,∴ ；故选：B. 练习1 如图,已知直线 ,若 ,则 的度数为( ) A. B. C. D. 练习2 如图,E是 ,CD外一点, .求证： . 证明： (等量代换). ∴ . 练习3 如图,已知 , , ,求证： . 解：∵ (已知), ∴ (垂直的定义), ∵ , (已知), ∴ ,即 . ∴ (同旁内角互补,两直线平行). 练习4 已知：如图， 平分 ， .求证： 证明∵ 平分 ( ) _______ ______( ) ∵ (已知)； ∴ ______( ) ∴ ( ) 练习5 已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点且∠1+∠2＝90°. 求证：DE∥BC. 证明：∵CD⊥AB（已知）， ∴∠1+∠3＝90°（垂直定义）. ∵∠1+∠2＝90°（已知）， ∴∠3＝∠2（同角的余角相等）. ∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）. 练习6 完成下面的证明：如图， 平分 ， 平分 ，且 ， 求证： . 证明：∵ 平分 （ ） ∴ （ ） ∵ 平分 （已知） ∵ ________（ ） ∴ （ ） ∵ （已知） ∴ __________ ∴ （ ） $