7.3平行线的证明 课件 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

7.3平行线的证明 前面我们探索过直线平行的哪些判别条件？ 利用“同位角相等，两直线平行”这个基本事实，你能证明其他的判别条件吗？试一试. 内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行. 定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线. 同位角相等，两直线平行.——基本事实(定理). a b c 1 3 2 已知：如图，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2. 求证：a∥b. 定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简述为：内错角相等，两直线平行. 【分析】这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言. 你能运用所学知识来证实它是一个真命题吗? 证明：∵∠1=∠2(已知)，∠1=∠3(对顶角相等)， ∴∠2=∠3(等量代换)， ∴a∥b(同位角相等，两直线平行). 探究：平行线的判定 平行线的判定定理1：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 简述为：内错角相等，两直线平行. 2 b a 1 ∵∠1=∠2(已知)， ∴a∥b(内错角相等，两直线平行). “两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行”这个命题也正确吗？说明理由. 应用格式： 探究新知 定理：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 简述为：同旁内角互补，两直线平行. 条件是： ， 结论是: _________________. 两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 这两条直线平行 这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言. 7 探究新知 已知，如图，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补.求证：a∥b. a b c 1 3 2 证明：∵∠1与∠2互补(已知)， ∴∠1+∠2=180°(互补的定义). ∴∠1=180°-∠2(等式的性质). 又∵∠3+∠2=180°(平角的定义)， ∴∠3=180°-∠2(等式的性质). ∴∠1=∠3(等量代换). ∴a∥b(同位角相等，两直线平行). 基本事实 8 课堂练习 下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是( ) B 【课堂练习】 探究新知 已知：如图，直线l1∥ l2，∠1和∠2是直线l1，l2被直线l截出的内错角. 求证：∠1=∠2. 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 文字语言 符号语言 l2 1 2 l1 l 3 分析：由条件l1∥ l2可以得到哪些角的等量关系，这些等量关系中的角与∠1，∠2有什么联系? 证明：∵ l1∥ l2(已知)， ∴ ∠1=∠3(两直线平行，同位角相等). 又∵ ∠2=∠3(对顶角相等)，∴ ∠1=∠2(等量代换). 10 归纳总结 平行线的性质定理2： 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等. 简述为：两直线平行，内错角相等. 应用格式： ∵a∥b(已知)， ∴∠1=∠2(两直线平行，内错角相等). b 1 2 a c 11 课堂练习 解: ∠A =∠D.理由： ∵ AB∥DE( 　) ∴∠A=_______ ( ) ∵AC∥DF( ) ∴∠D=______ ( ) ∴∠A=∠D ( ) 2.如图,若AB∥DE ,　AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由. P F C E B A D 已知 ∠CPE 两直线平行,同位角相等 已知 ∠CPE 两直线平行,同位角相等 等量代换 【课堂练习】 平行线的判定和性质的区别和联系 联系：平行线的判定和性质反映了角的数量关系和直线的位置关系之间的相互转换. 区别：平行线的判定以两直线平行为结论，即由两角相等或互补得到两直线平行，是由数量关系得到位置关系；平行线的性质以两直线平行为条件，即由两直线平行得到两角相等或互补， 是由位置关系得到数量关系. 1.如图，CD//AB，点 O 在 AB 上，OE 平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=110°，则∠AOF 的度数是( ) A.20° B.25° C.30° D.35° 解析：∵ CD//AB，∴∠BOD =∠D. ∵ ∠D =110°，∴ ∠BOD=110°. ∵ OE 平分∠BOD，∴ ∠BOE =∠BOD =55°. ∵ OF⊥OE，∴ ∠FOE=90°. ∴∠AOF =180°-∠FOE-∠BOE=180°-90°-55°=35°. D 随堂练习 归纳总结 一般地，我们有如下的定理： 定理：平行于同一条直线的两条直线平行. 应用格式： ∵b∥a，c∥a(已知)， ∴b∥c(平行于同一条直线的两条直线平行). a b d c 17 探究新知 【思考】完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？ 命题证明的步骤： (1) 根据题意，画出图形； (2) 根据条件、结论，结合图形，写出已知、求证； (3) 经过分析，找出由已知推出求证的途径，然后用数学符号和数学语言有条理地写出证明过程. 18 做一做 同位角相等，两直线平行. 内错角相等，两直线平行. 同旁内角互补，两直线平行. 1. 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到 a∥b 的是 ( ) A.∠1 = ∠2 B.∠2 = ∠4 C.∠3 = ∠4 D.∠1 +∠4 = 180° 【解析】∠1 的对顶角与∠4 是同旁内角，若∠1 +∠4 = 180°，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到 a∥b. D (3)从∠ =∠ ，可以推出AD∥BC， 理由是 . (4)从∠5=∠ ，可以推出AB∥CD， 理由是 . 2 3 内错角相等，两直线平行 ABC 同位角相等,两直线平行 A B C D 1 2 3 4 5 21 理由： ∵ AC平分∠DAB（已知） ∴ ∠1=∠2（角平分线定义） 又∵ ∠1= ∠3（已知） ∴ ∠2=∠3（等量代换） ∴ AB∥CD(内错角相等，两直线平行) 如图，已知∠1= ∠3，AC平分∠DAB，你能判断 那两条直线平行？请说明理由？ 2 3 A B C D ） ） 1 （ 解： AB∥CD. 22 已知 两直线平行，内错角相等 等量代换 两直线平行，同位角相等 内错角相等，两直线平行 练习5 如图， ， ，求证： .完成下面的推理过程. 证明： （ ）， （ ） （ ）， （已知）， （ ）（ ）， （ ）（ ）， （ ）. 练习6 已知：如图， ， (1)求证： ； (2)若 平分 ， 平分 ，且 ，求 的度数. 解：(1)∵ ，∴ ， 又∵ ，∴ ， ∴ ； $