精品解析：甘肃定西市渭源县会川中学等校2026-2027学年第一学期第一次阶段检测九年级数学

2026年度秋季学期第一阶段练习卷 九年级数学 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以一元二次方程的三个判定要点为依据：只含一个未知数、未知数最高次数为、二次项系数不为，逐一排查选项． 【详解】解：A选项：未说明，当时无二次项，不是一元二次方程； B选项：未知数最高次数为，是一元一次方程，不是一元二次方程； C选项：整理得，是一元二次方程； D选项：含有、两个未知数，不是一元二次方程． 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】需将原方程化为一元二次方程的一般形式，再对应确定各项系数． 【详解】解：， ， ， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 3. 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解，将代入方程求出m值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根为2， ∴， 解得． 故选：B． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程有两个相等的实数根，得到根的判别式，求出a的值即可． 【详解】解：∵ 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， ∴ ， ∴ ， 故选：B． 5. 关于二次函数的下列结论，正确的是（ ） A. 它的开口方向是向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 它的顶点坐标是 D. 当时，有最小值是3 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵二次函数，， ∴该函数图象开口向下，故选项A错误，不符合题意； 当时，y随x的增大而增大，故选项B正确，符合题意； 它的顶点坐标为，故选项C错误，不符合题意； 当时，y有最大值3，故选项D错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 6. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 7. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移变换规律，熟练掌握二次函数图象平移变换规律是解题的关键．根据左加右减，上加下减的平移变换规律求解即可． 【详解】解：将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位后，所得的抛物线表达式为， 故选：C． 8. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵函数的解析式是，如图， ∴抛物线的对称轴是，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴点A关于对称轴的点A′是， 那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边随的增大而减小， ∴于是， 故选A． 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题的核心是利用参数的符号同时约束二次函数和一次函数的图象特征，对各选项逐一判断即可． 【详解】A选项：二次函数图象开口向上，说明，但与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； B选项：二次函数图象开口向上，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为负，对应，矛盾，不符合要求； C选项：二次函数图象开口向下，说明，一次函数图象经过第二、三、四象限，与轴交点纵坐标为负，对应，符合要求； D选项：二次函数图象开口向下，说明，但一次函数图象与轴交点纵坐标为正，对应，不符合要求； 故选：C． 10. 已知关于x的一元二次函数如图所示，该函数与x轴交于与两点，下列叙述正确的有（ ）个 ① ② ③ ④ ⑤对于任意实数m，都有 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知函数图象开口向下，对称轴，与轴交于正半轴，据此可得，，，则，，故①错误，②正确；由函数与x轴的交点坐标及个数可判断③④；作差，再把代入，结合配方法即可判断⑤． 【详解】解：由图可知二次函数图象开口向下，， 又函数与x轴交于与两点， 所以对称轴，即，则，，故②正确； 图象与轴交于正半轴，则时，， ，故①错误； ∵抛物线过点， ∴当时，，故③错误； ∵图象与轴有2个交点， ，则，故④正确； ∵， ， 又， ， 即，故⑤正确； 则叙述正确的有个． 二、填空题（每空3分，共18分） 11. 已知是二次函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的定义列出关于的方程求解，注意二次项系数不为零的要求． 【详解】解：由二次函数的定义可得，，解得，故． 12. 若m是方程的根，则的值为__________ 【答案】2020 【解析】 【分析】根据m是方程的根，得，代入求值． 【详解】解：∵m是方程的根， ∴，即， 原式． 故答案是：2020． 【点睛】本题考查一元二次方程的根，解题的关键是掌握一元二次方程根的定义． 13. 某地区中学要进行篮球比赛，规定每两个中学之间只比一场，最终比赛场次为55场，则该地区共有________个中学． 【答案】 【解析】 【分析】设该地区共有个中学，根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设该地区共有个中学， 由题意可得， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴该地区共有个中学． 14. 已知抛物线与轴的交点坐标分别是，则关于的一元二次方程的根是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的解，据此可得答案． 【详解】解；∵抛物线与轴的交点坐标分别是， ∴关于的一元二次方程的根是， 故答案为：． 15. 在一元二次方程中，若满足关系式，则这个方程必有一个根为___． 【答案】 【解析】 【分析】先证明推出方程有实数根，设方程的实数根为，根据一元二次方程根与系数的关系得到即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴方程有实数根， 设方程的实数根为， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴这个方程必有一个根为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，正确得到是解题的关键． 16. 如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则__________秒后，的面积等于4． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据图形正确列出一元二次方程成为解题的关键 设t秒后 的面积等于4，然后根据三角形面积公式列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设t秒后的面积等于4， 由题意得：，则， ∵， ∴，整理得：， 解得：，， ∵点从点C到点A的时间为， ∴，不合题意，舍去， ∴1秒后，的面积等于4． 故答案为：1． 三、解答题（11大题，共72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1）， （2）， （3）， 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可； （3）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴ ∴，． 18. 已知关于的方程．若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 【答案】；另一根为． 【解析】 【分析】将代入方程得到的值，再根据根与系数的关系可求出另一根． 【详解】解：将代入方程， 解得，； ∴方程为 设方程的另一根为，则． 解得：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根以及根与系数的关系．熟记相关结论即可． 19. 已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，掌握待定系数法是解题关键．根据抛物线的顶点设解析式，再将点代入求出，即可得解． 【详解】解：抛物线的顶点为， 设抛物线的解析式为， 抛物线与y轴的交点为， ， 解得， 抛物线的解析式为． 20. 已知关于x的方程．求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】证明：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∴不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【解析】 【分析】根据一元二次方程的根的判别式进行分析判断即可． 【详解】略 21. 已知抛物线二次函数． （1）该抛物线的开口方向 ，该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）画出该抛物线的图象； （3）若点A、B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点，则B点的坐标为 ． 【答案】（1）向下，直线， （2）图象如下： （3） 【解析】 【分析】（1）先化为顶点式，根据二次函数的性质求解即可； （2）列表、描点、连线可得函数图象； （3）根据二次函数的对称性和坐标与图形性质求解即可． 【小问1详解】 解：由，， ∴该抛物线的开口方向向下，对称轴是直线，顶点坐标是； 【小问2详解】 解：列表： x … 0 1 2 3 … y … 2 3 2 … 描点、连线，图略； 【小问3详解】 解：∵该抛物线的对称轴是直线，点A、B均在抛物线上，且与x轴平行， ∴点A、B关于直线对称， ∵点， ∴点B的坐标为． 22. 从某幢建筑物高的窗口处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点离墙，离地面．求水的落地点与点的距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用；由题意可知顶点，用待定系数法就可以求出抛物线的解析式，当时就可以求出的值，这样就可以求出的值． 【详解】解：依题意，顶点， 设抛物线的解析式为，将点代入，得 ， ， 抛物线的解析式为：， 当时，， 解得：舍去，， ∴，即水的落地点与点的距离为． 23. 先阅读，再回答问题： 如果是关于的一元二次方程的两个根，那么与系数的关系是：．例如：若是方程的两个根，则． （1）若是方程的两个根，则___________，___________； （2）若是方程的两个根，求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意进行求解即可； （2）将变形为，再结合题意求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，，，， ∴，； 【小问2详解】 解：由题意得，在中，，，， ∴，， ∴ ． 24. 如图，在一面墙（墙的长度不限）边，怎样用长的篱笆围成一个面积为的矩形菜园？ 【答案】与墙垂直的篱笆长为，则与墙平行的篱笆长为，或与墙垂直的篱笆长为，与墙平行的篱笆长为． 【解析】 【分析】设与墙垂直的篱笆长为，则与墙平行的篱笆长为，根据矩形的面积公式即可列方程进行求解． 【详解】解：设与墙垂直的篱笆长为，与墙平行的篱笆长为， 根据题意列方程得， 解得或， 当时，； 当时，； 答：与墙垂直的篱笆长为，则与墙平行的篱笆长为，或与墙垂直的篱笆长为，与墙平行的篱笆长为． 25. 已知二次函数的图象经过点，，． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） 最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）将三个已知点的坐标代入二次函数一般式，列方程组求解待定系数，，，再回代即可； （2）先确定抛物线的开口方向与对称轴，结合的取值范围，比较顶点和取值范围两端点的函数值，得到最值． 【小问1详解】 解：把点，，代入解析式，得 ， 解得， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）得该二次函数的解析式为， ∴，抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，函数取得最大值，最大值为； 当时，； 当时，； ∵， ∴函数的最小值为； 综上所述，当时，函数的最大值为，最小值为． 26. 年世运会在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件. （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，售价降低多少元时，每天的收入最大？最大收入是多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为. （2）售价降低元时，每天的收入最大，最大收入为元. 【解析】 【小问1详解】 解：设月平均增长率是，根据题意得： ，解得：，（舍）， ∴月平均增长率为. 【小问2详解】 解：设售价降低元，收入为，则根据题意得：， 化简得：， 配方得：， ∵， ∴此二次函数开口向下，对称轴是直线，有最大值，当时，（元）， ∴售价降低元时，每天的收入最大，最大收入为元. 27. 已知二次函数与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C． （1）求出点A、B、C的坐标． （2）求 （3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得 ， 若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）、 （2）6 （3）或或 【解析】 【分析】（1）在解析式中，由，求得的对应值可得点C的坐标；由，求得对应的的值可得点A、B的坐标； （2）根据（1）中所求点A、B、C坐标可求得的面积； （3）设点N的纵坐标为，则由可知或，由点N在抛物线上，可得或，解方程即可求得点N的横坐标，从而得到点N的坐标． 本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，结合坐标得出线段的长，求三角形的面积，二次函数与一元二次方程的关系等，应用坐标的差表示线段的长是解题的关键. 【小问1详解】 在中，当时，， ∴点C的坐标为． 当时，，解得：， ∴点A的坐标为，点B的坐标为； 【小问2详解】 ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴． ∵点C的坐标为， ∴， ∴； 【小问3详解】 存在点N，使， 设点N的纵坐标为， ∵，， ∴或， ∴或， 解得或，． ∵点N不与点C重合， ∴点N的坐标为或或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年度秋季学期第一阶段练习卷 九年级数学 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列属于一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项依次是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 已知关于x的一元二次方程的一个根为2，则m的值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. 4 B. 1 C. D. 5. 关于二次函数的下列结论，正确的是（ ） A. 它的开口方向是向上 B. 当时，随的增大而增大 C. 它的顶点坐标是 D. 当时，有最小值是3 6. 用配方法解一元二次方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，所得抛物线表达式是（ ） A. B. C. D. 8. 设A，B，C是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数与一次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 已知关于x的一元二次函数如图所示，该函数与x轴交于与两点，下列叙述正确的有（ ）个 ① ② ③ ④ ⑤对于任意实数m，都有 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每空3分，共18分） 11. 已知是二次函数，则________． 12. 若m是方程的根，则的值为__________ 13. 某地区中学要进行篮球比赛，规定每两个中学之间只比一场，最终比赛场次为55场，则该地区共有________个中学． 14. 已知抛物线与轴的交点坐标分别是，则关于的一元二次方程的根是_______． 15. 在一元二次方程中，若满足关系式，则这个方程必有一个根为___． 16. 如图，中，，点P从点B出发向终点C以1个单位长度/s移动，点Q从点C出发向终点A以2个单位长度/s移动，P、Q两点同时出发，一点先到达终点时P、Q两点同时停止，则__________秒后，的面积等于4． 三、解答题（11大题，共72分） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）． 18. 已知关于的方程．若该方程的一个根为1，求的值及该方程的另一根． 19. 已知抛物线的顶点为，与y轴的交点为，求抛物线的解析式． 20. 已知关于x的方程．求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 21. 已知抛物线二次函数． （1）该抛物线的开口方向 ，该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ； （2）画出该抛物线的图象； （3）若点A、B均在抛物线上，且与x轴平行，其中点，则B点的坐标为 ． 22. 从某幢建筑物高的窗口处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与地面垂直）．抛物线的最高点离墙，离地面．求水的落地点与点的距离． 23. 先阅读，再回答问题： 如果是关于的一元二次方程的两个根，那么与系数的关系是：．例如：若是方程的两个根，则． （1）若是方程的两个根，则___________，___________； （2）若是方程的两个根，求的值． 24. 如图，在一面墙（墙的长度不限）边，怎样用长的篱笆围成一个面积为的矩形菜园？ 25. 已知二次函数的图象经过点，，． （1）求该二次函数的解析式； （2）当时，求函数的最大值和最小值． 26. 年世运会在成都召开，世运会吉祥物“蜀宝”公仔爆红，据统计“蜀宝”公仔在某电商平台1月份的销售量是5万件，3月份的销售量是万件. （1）若该平台1月份到3月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“蜀宝”的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，售价降低多少元时，每天的收入最大？最大收入是多少元？ 27. 已知二次函数与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点C． （1）求出点A、B、C的坐标． （2）求 （3）在抛物线上（除点C外），是否存在点N，使得 ， 若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $