精品解析：甘肃省定西市渭源县北寨中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

2025-2026学年九年级（上）12月月考数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列说法正确的个数有（ ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 B. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形其内角和是 D. 早上的太阳从西方升起 3. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 4. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 中国漂浮式海上风电大会在温州举行.我国能源领域唯一的国家级技术创新中心浙江中心正式宣布启动建设．如图，风车叶片至少旋转多少度才能与图形重合（ ） A. B. C. D. 6. 下列关于x的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，分别与相切于A、B两点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，D，E分别是的边AB，AC上的动点（与点A，B，C均不重合），添加下列一个条件，不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图5，在矩形中，点P从点B出发，点P沿匀速运动到点B，设点P运动的路程为x，的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象是( ) A. B. C. D. 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. 请写出一个根为，另一个根为0的一元二次方程_______． 12. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和8个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率为0.2，则估计口袋中大约有红球 _______个． 13. 若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 14. 已知点，都在反比例函数的图象上，则___________（填“>”、“<”或“=”）． 15. 如图，已知，且，若，则___________． 16. 在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值为______． 三．解答题（共6小题，满分32分） 17. 解一元二次方程：． 18. 已知抛物线的顶点为，且经过点，求抛物线的解析式． 19. 如图，在四边形中，．将边绕点D按逆时针方向旋转得到，连接．求的面积． 20. 如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 21. 数学活动让数学学习更加有趣，在一次数学课上老师设计了一个“配紫色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动） （1）若转动一次A盘，则转出红色的概率是________； （2）若同时将A盘和B盘转动一次，请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 22. 已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． （1）该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； （2）当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； （3）若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 四．解答题（共5小题，满分40分） 23. 如图，圆锥的母线与高的夹角为，母线长为，求它的表面积． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，直线与轴，轴分别相交于点，． （1）求的值，并根据图象直接写出当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围． （2）求证：． 25. 如图，内接于，是的直径，过点的切线交的延长线于点，是上一点，平分，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 26. 等腰三角形中，，点D为底边上一点，作，使，连接，请解答下列问题． 【问题发现】（1）如图1，若，通过证明，可得出与的数量关系是_______；与的数量关系是_______． 【类比探究】（2）如图2，若，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若点A到的距离为2，请直接写出点A到直线的距离． 27. 如图，已知抛物线经过二点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标，并求出此时的周长； （3）平行于的直线交抛物线于M，N两点，点M在点N的上方，连接，交于点P，在图二中根据题意补全图形并求点P的横坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级（上）12月月考数学试卷 一．选择题（每小题3分，满分30分） 1. 下列说法正确的个数有（ ） ①所有正方形都相似； ②所有的矩形都相似； ③所有的菱形都相似；④所有的等腰三角形都相似． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似图形的定义，对应边成比例，对应角相等的两个图形相似，根据相似图形的定义，对各小题分析判断后利用排除法求解即可得出答案． 【详解】解：①所有正方形对应角相等，对应边一定成比例，所以一定都相似，故①符合题意， ②矩形的每个角都等于，即对应角相等，但对应边不一定成比例，故②不符合题意， ③菱形的四条边相等，即对应边成比例，但对应角不一定相等，故③不符合题意， ④等腰三角形的对应角不一定相等，故④不符合题意， 综上所述，符合题意的只有一个， 故选：． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 车辆随机到达一个路口遇到红灯 B. 投掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 任意画一个三角形其内角和是 D. 早上的太阳从西方升起 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，熟知必然事件是指在一定条件下一定会发生的事件是解答的关键． 根据初中数学知识，三角形的内角和定理保证任意三角形的内角和均为，因此选项C是必然事件；其他选项均不是一定发生的事件． 【详解】解：选项A中车辆随机到达一个路口可能遇到红灯，也可能遇到绿灯，不是必然事件，不符合题意； 选项B中投掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，不是必然事件，不符合题意； 选项C中三角形的内角和定理：任意三角形的内角和等于，是必然事件，符合题意； 选项D中早上的太阳从东方升起，从西方升起是不可能事件，故不是必然事件，不符合题意． 故选：C． 3. 二次函数的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．根据二次函数的解析式是顶点式，即可得到结论． 【详解】解：由二次函数， ∴二次函数的最小值是； 故选D 4. 若点都在反比例函数的图象上，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据反比例函数图象上点的坐标特征，直接代入函数关系式计算各点的横坐标，再比较大小． 【详解】解：∵点，，都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴， 即， 故选：A． 5. 中国漂浮式海上风电大会在温州举行.我国能源领域唯一的国家级技术创新中心浙江中心正式宣布启动建设．如图，风车叶片至少旋转多少度才能与图形重合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转对称图形，正确求出两个叶片之间的夹角度数是解题关键． 根据风车有三个完全相同的叶片，求出每两个叶片之间的夹角为，即可得答案． 【详解】解：∵风车有三个完全相同的叶片，整个周角为， ∴每两个叶片之间的夹角为， ∴风车叶片至少旋转才能与图形重合． 故选：C． 6. 下列关于x的方程中一定有实数解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程（a，b，c为常数，且）的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式进行计算即可求解． 【详解】解：A、，即， ∵ ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意； B、， ∵ ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意； C、， ∵， ∴方程没有实数根，故该选项不符合题意； D.、， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根，故该选项符合题意． 故选：D． 7. 如图，直线 与双曲线 交于，两点，则不等式 的解为 （ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题的应用，找出一次函数图象位于反比例函数图象下方时的范围，根据交点的横坐标结合图象得出答案即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：直线关于原点对称的直线的解析式为即， ∵直线与双曲线交于，两点， ∴直线与双曲线交于点，两点， 观察图象可知， 当或时，直线在反比例函数图象的下方， ∴不等式的解为是或， 故选：． 8. 如图，分别与相切于A、B两点，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由切线的性质及四边形内角和即可求解． 【详解】解：∵分别与相切于A、B两点， ∴； ∵，， ∴； 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质、四边形内角和，掌握这两个知识是关键． 9. 如图，D，E分别是的边AB，AC上的动点（与点A，B，C均不重合），添加下列一个条件，不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：A、由两角对应相等的两三角形相似，判定与相似，故A不符合题意； B、由，判定与相似，故B不符合题意； C、两三角形两边对应成比例，但夹角不一定相等，不能判定与相似，故C符合题意； D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定与相似，故D不符合题意； 故选：C． 10. 如图5，在矩形中，点P从点B出发，点P沿匀速运动到点B，设点P运动的路程为x，的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，分，和时，分别计算三角形的面积，据此对图象进行判断，即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理可得： 当点P在线段上运动时，的面积不变， 当时，， 当点P在线段上运动时， 此时，， 当时，点P在上，， 这时； 综上可知，符合要求的图像为D； 故选D． 【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，理解题意，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键，属于中考常考题型． 二．填空题（每小题3分，满分18分） 11. 请写出一个根为，另一个根为0的一元二次方程_______． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题根据一元二次方程的根的定义，一个根为，另一个根为，则方程是的形式，即可得出答案． 【详解】解：根据一个根为，另一个根为， 得出的一元二次方程是， 展开得, 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和8个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率为0.2，则估计口袋中大约有红球 _______个． 【答案】32 【解析】 【分析】本题主要考查了利用频率估计概率、概率公式、解分式方程，正确运用概率公式是解题关键．根据题意，设口袋里面大约有个红球，根据摸到黄球的频率是，则，解出分式方程，即可． 【详解】解：设口袋中大约有个红球， ∵口袋里面有个黄球，摸到黄球的频率是 ∴ 解得：． 经检验，是方程的解． 故答案为：． 13. 若点到上的点的最小距离是4，最大距离是6，则的半径为________ ． 【答案】5或1 【解析】 【分析】本题考查的是点与圆的位置关系，利用分类讨论的思想求解是解题的关键，根据点与圆的位置关系解答即可． 【详解】解：点到上的点的最小距离是4，最大距离是6， 当点在圆内时，的半径； 当点在圆外时，的半径， 综上所述，的半径为5或1． 故答案为：5或1． 14. 已知点，都在反比例函数的图象上，则___________（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为，， ∴反比例函数的图象经过第一、三象限, ∵点，都在反比例函数的图象上，， ∴点在第一象限，点在第三象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了比较反比例函数的函数值大小，解题的关键在于根据反比例比例系数的符合判断出反比例函数结果的象限． 15. 如图，已知，且，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的面积之比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 16. 在“探索函数的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点，，，．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据根据图象可知，A、B、C组成的二次函数的图象开口向上，则，A、B、D组成的二次函数的图象开口向上，则，B、C、D组成的二次函数的图象开口向下，则，A、D、C组成的二次函数的图象开口向下，则，即只需要比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可，运用待定系数法进行计算，比较即可得． 【详解】解：根据图象可知，A、B、C组成的二次函数的图象开口向上，则， A、B、D组成的二次函数的图象开口向上，则， B、C、D组成的二次函数的图象开口向下，则， A、D、C组成的二次函数的图象开口向下，则， 即只需要比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可， 设A、B、C组成的二次函数解析式为， 把点，，代入，得 ， 解得， 设A、B、D组成的二次函数为， 把点，，代入，得 解得，， ∵， ∴a的最大值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是理解题意，掌握二次函数的性质． 三．解答题（共6小题，满分32分） 17. 解一元二次方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．利用解一元二次方程-因式分解法，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， ， 或， ，． 18. 已知抛物线的顶点为，且经过点，求抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的顶点式．根据题意选择合适的解析式的形式是解题的关键． 由顶点设抛物线的顶点式，然后将代入求解，进而可得抛物线解析式． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 将代入得，， 解得，， ∴抛物线的解析式为． 19. 如图，在四边形中，．将边绕点D按逆时针方向旋转得到，连接．求的面积． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，旋转变换的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 过点D作于G，延长，过E作，垂足为F，由矩形的性质得到,求出．证明．则，根据三角形面积公式即可求出答案． 【详解】解：如图，过点D作于G，延长，过E作，垂足为F， 则． ∵． ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，, ∴． 由旋转知，，， ∴， ∵． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 20. 如图，四边形是平行四边形，以为直径的圆交于点． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出圆心（保留作图痕迹，不写作法）． （2）若点是的中点，连接．求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1）如图所示， （2）证明：如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点分别是的中点， ∴，，即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题主要考查圆的基本性质，尺规作垂线，平行四边形的判定和性质，掌握以上知识是关键． （1）运用尺规作直径的垂直平分线即可； （2）根据平行四边形的性质结合题意得到，，即，由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求证． 【小问1详解】 解：∵是直径， ∴运用尺规作直径的垂直平分线交于点， ∴点即为所求点的位置； 【小问2详解】 略 21. 数学活动让数学学习更加有趣，在一次数学课上老师设计了一个“配紫色”游戏，如图所示的是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么转出的两种颜色就可以配成紫色．（若指针指向扇形的分界线，则需要重新转动） （1）若转动一次A盘，则转出红色的概率是________； （2）若同时将A盘和B盘转动一次，请通过列表或画树状图的方法，求出配成紫色的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接由概率公式求解即可； （2）根据题意列表，共有9种等可能的结果，其中配成紫色的情况有3种，再由概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，转动一次A盘，则转出红色的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意列表如下： 红 红 蓝 红 （红，红） （红，红） （红，蓝） 黄 （黄，红） （黄，红） （黄，蓝） 蓝 （蓝，红） （蓝，红） （蓝，蓝） 由表可知，共有9种等可能的结果，其中配成紫色的情况有3种， 配成紫色的概率是． 22. 已知某电路的电源电压，电流（A），电阻三者之间有如下的关系式：，且该电路的电源电压为恒值． （1）该电路中，电流I与电阻R成_______关系（填“反比例函数”或“正比例函数”）； （2）当该电路的电阻为时，测得该电路中的电流为A，写出该电路中电流I关于电阻R的函数表达式； （3）若（2）中的电路如图所示，调节滑动变阻器，使通过灯泡的电流比（2）中测得的值减少A，那么连入电路的阻值将会发生怎样的变化？（提示：设定灯泡电阻恒定） 【答案】（1）反比例函数 （2） （3）串入的滑动电阻需增加欧姆 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是： （1）根据反比例函数的定义判断即可； （2）利用待定系数法即可求出函数表达式； （3）利用（2）中求得的函数表达式，求出电流比（2）中测得的值减少A时的电阻，再减去即可． 【小问1详解】 解：，且该电路的电源电压为恒值， ， 即该电路中，电流与电阻成反比例函数关系， 故答案为：反比例函数； 【小问2详解】 ， ， ； 【小问3详解】 A， ， 解得， ， 答：滑动电阻需增加10． 四．解答题（共5小题，满分40分） 23. 如图，圆锥的母线与高的夹角为，母线长为，求它的表面积． 【答案】圆锥的表面积为 【解析】 【分析】本题考查的是圆锥的计算，熟记圆锥的侧面展开图是扇形、扇形面积公式是解题的关键．根据含角的直角三角形的性质求出，再根据圆的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，在中，，， 则， 圆锥的底面周长为， 圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 圆锥的表面积为：， 答：圆锥的表面积为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，点，都在反比例函数的图象上，直线与轴，轴分别相交于点，． （1）求的值，并根据图象直接写出当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围． （2）求证：． 【答案】（1）， （2） 解：设直线的解析式为， 将，代入， 得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，得：， ∴， 令，得：， 解得：， ∴， ∵点，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数与一次函数的交点问题，直角坐标系中的两点距离公式，熟练掌握反比例函数与一次函数的交点问题是解题的关键． （1）将代入，即可求出的值，根据图象便可以直接写出当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围； （2）利用，可求出直线的解析式，再分别求出和，结合，，可求出和，则可得，即可证明． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将代入， 得：， 解得：， 根据图象可得当直线在反比例函数图象上方时，的取值范围为； 【小问2详解】 略 25. 如图，内接于，是的直径，过点的切线交的延长线于点，是上一点，平分，连接交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：是的直径，与相切于点， ，， ， ， 平分， ， ， ， ； （2）的长是 【解析】 【分析】本题考查切线的性质、圆周角定理、同角的余角相等、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． （1）由是的直径，与相切于点，得，则，因为，，所以，则． （2）作于点，由，，得，由，求得，则，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：作于点， ，， ， ，， ， ， ， ， 的长是． 26. 等腰三角形中，，点D为底边上一点，作，使，连接，请解答下列问题． 【问题发现】（1）如图1，若，通过证明，可得出与的数量关系是_______；与的数量关系是_______． 【类比探究】（2）如图2，若，请问（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【拓展延伸】（3）在（2）的条件下，若点A到的距离为2，请直接写出点A到直线的距离． 【答案】（1），； （2）成立，理由： ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，； （3）2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）根据全等三角形的性质即可求解； （2）根据证明，进而根据全等三角形的性质即可得证； （3）过点分别作的垂线，则，根据，得出，进而证明，即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，； （2）略 （3）如图所示， 过点分别作的垂线， ∴， 依题意，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即点A到直线的距离为． 27. 如图，已知抛物线经过二点，直线l是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P是直线l上的一个动点，当的周长最小时，求点P的坐标，并求出此时的周长； （3）平行于的直线交抛物线于M，N两点，点M在点N的上方，连接，交于点P，在图二中根据题意补全图形并求点P的横坐标． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法将代入求解即可确定函数解析式； （2）根据（1）中结果得出对称轴为直线，设点P为，根据题意得出的周长为：，确定当B，P和C三点共线时，存在最小值，然后利用勾股定理求解即可； （3）设，同（2）中方法一致确定直线：，直线：，得出，再由直线与抛物线的交点即为方程的根确定，代入即可得出结果． 【小问1详解】 解：根据图象得：， 将代入抛物线解析式中， 得，解得， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 的对称轴为直线， 设点P为， ∵对称轴垂直平分， ∴． ∴的周长为：， 其中， 当B，P和C三点共线时（如图所示）， 则存在最小值，的最小值为， ∴周长的最小值为 设直线的解析式为，将点带入得：， ∴， ∵点P在直线上， ∴， ∴点P的坐标为； 【小问3详解】 如图所示： 由得， 由（2）得直线： 设， 同理得直线：，直线： ∴ 解得： ① ∵， ∴设直线： 则， ∴m,n为方程的两个根， ∴即② ②代入①得， ∴点P的横坐标为． 【点睛】题目主要考查待定系数法确定函数解析式，周长问题及与一次函数交点问题，勾股定理等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $