精品解析：上海市新中初级中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次阶段练习

新中初级中学2027届九年级数学第一次阶段练习 （时间：100分钟 满分：150分） 【未特别说明，需要写二次函数表达式的时候都写为一般式！】 一、选择题（本大题共5题，每题5分，满分25分） 1. 下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线与y轴交点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数有最大值为 4. 如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ） A. 4 B. C. D. 5 5. 某同学在利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … －3 0 －1 0 3 … 接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10题，每题5分，满分50分） 6. 二次函数的图像开口方向是_______（填“向上”或“向下”）． 7. 点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝8，那么AP＝_____． 8. 已知线段，线段，线段是线段，的比例中项，则线段的长为_____． 9. 将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是_______________． 10. 在比例尺为的地图上，某地区的图上面积为20平方厘米，则实际面积为__________平方千米． 11. 一条有最高点的抛物线与轴交于点和点，并且两交点与抛物线顶点构成的三角形面积为，这条抛物线的函数表达式为_______________． 12. 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为______． 13. 如图，在中，F在的延长线上，，那么________________． 14. 如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么______． 15. 已知抛物线经过和两点，且，则m的取值范围是________． 三、解答题（本大题共7题，满分75分） 16. 已知． （1）求的值； （2）对于二次函数而言，________的坐标不随a、b、c的具体值的变化而变化，并说明理由（填写符合要求的序号）． ①顶点；②与x轴的交点；③与y轴的交点 17. 已知关于的二次函数为． （1）若此二次函数的图像过点，求该函数的表达式； （2）若点、为抛物线上两个不同的点，且当时，，求的值． 18. 如图，直线分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且，与交于点O，已知． （1）求的长； （2）当时，求的长． 19. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查反映，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米． （1）设利润为，求利润与售价的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）大米售价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 20. 画图 （1）如图1，给定线段，使用尺规在线段上找点，使得； （2）如图2，已知在方格纸内有线段，只使用无刻度直尺在线段上找点，使得； （3）如图3，已知在方格纸内有线段，只使用无刻度直尺在线段上找点，使得． 21. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 22. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若抛物线经过点． ①求这条抛物线的表达式； ②将抛物线向右平移（）个单位得到抛物线，当时，抛物线对应的函数值的最大值为16，求的值； ③过点的直线与抛物线交于不同的两点，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； （2）已知点，，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 新中初级中学2027届九年级数学第一次阶段练习 （时间：100分钟 满分：150分） 【未特别说明，需要写二次函数表达式的时候都写为一般式！】 一、选择题（本大题共5题，每题5分，满分25分） 1. 下列y关于x的函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：未限定，当时不是二次函数； 选项B：不是整式函数，不是二次函数； 选项C：是整式且二次项系数不为0，是二次函数； 选项D：是一次函数，不是二次函数． 2. 抛物线与y轴交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点，掌握交点坐标的特征是解题关键． 求抛物线与y轴的交点，即令，代入解析式计算y值． 【详解】解：当时， ∴交点坐标为． 故选：B． 3. 已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的顶点坐标是 C. 当时，随的增大而减小 D. 函数有最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质． 将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值． 【详解】解：，， ∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，当 时，随的增大而增大，函数最大值为 ； 故D正确． 故选：D． 4. 如图，在矩形ABCD中，E，F，G分别在AB，BC，CD上，DE⊥EF，EF⊥FG，BE＝3，BF＝2，FC＝6，则DG的长是（ ） A. 4 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先运用勾股定理可求得EF, 过G作GH⊥DE垂足为H，则四边形EFGH是矩形可得HG=EF,再说明△EBF∽△DAE、△DAE∽△GHD，进一步可得△EBF∽△GHD，最后运用相似三角形的性质解答即可. 【详解】解：∵在Rt△BEF中，BF=2,BE=3 ∴EF= 如图：过G作GH⊥DE垂足为H， ∵DE⊥EF，EF⊥FG ∴四边形EFGH是矩形 ∴HG=EF= ∵矩形ABCD ∴∠A=∠B=90° ∴∠AED+∠ADE=90° ∵DE⊥EF ∴∠AED+∠BEF=90° ∴∠BEF=∠ADE 又∵∠A=∠B=90° ∴△EBF∽△DAE 同理：△DAE∽△GHD ∴△EBF∽△GHD ∴,即,解得DG=. 故选B. 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、运用勾股定理解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相似三角形的判定与性质是解答本题的关键. 5. 某同学在利用描点法画二次函数的图象时，先取自变量x的一些值，计算出相应的函数值y，如下表所示： x … 0 1 2 3 4 … y … －3 0 －1 0 3 … 接着，他在描点时发现，表格中有一组数据计算错误，他计算错误的一组数据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用表中数据和二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线x＝2，则顶点坐标为（2，−1），于是可判断抛物线的开口向上，则x＝0和x＝4的函数值相等且大于0，然后可判断A选项错误． 【详解】解：∵x＝1和x＝3时，y＝0； ∴抛物线的对称轴为直线x＝2， ∴顶点坐标为（2，−1）， ∴抛物线的开口向上， ∴x＝0和x＝4的函数值相等且大于0， ∴错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，掌握二次函数图像的轴对称性，是解题的关键． 二、填空题（本大题共10题，每题5分，满分50分） 6. 二次函数的图像开口方向是_______（填“向上”或“向下”）． 【答案】向上 【解析】 【分析】根据二次函数解析式二次项系数的正负性，即可判断函数图像的开口方向． 【详解】解：∵二次函数，a=1＞0， ∴二次函数的图象开口方向向上， 故答案是：向上． 【点睛】本题主要考查二次函数图像，掌握二次函数的图像的开口方向与二次项系数的关系，是解题的关键． 7. 点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP，AB＝8，那么AP＝_____． 【答案】## 【解析】 【分析】由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于 ，代入求值即可． 【详解】解：∵点P是线段AB的黄金分割点，AP＞BP， ∴， 故本题答案为： ． 【点睛】本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 8. 已知线段，线段，线段是线段，的比例中项，则线段的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，即可求解． 【详解】解：∵线段是线段，的比例中项，线段，线段， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了成比例线段，掌握比例的性质是解题的关键． 9. 将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移规则“左加右减，上加下减”计算即可． 【详解】解：将二次函数图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得图象的函数表达式是． 10. 在比例尺为的地图上，某地区的图上面积为20平方厘米，则实际面积为__________平方千米． 【答案】5 【解析】 【分析】根据比例尺即可求出图上面积与实际面积之比，从而求出实际面积． 【详解】解：∵比例尺为 ∴图上面积与实际面积的比为= ∴实际面积为20÷=（平方厘米） 平方厘米=5平方千米 故答案为：5． 【点睛】此题考查的是比例尺，掌握图上面积与实际面积之比等于比例尺的平方是解题关键． 11. 一条有最高点的抛物线与轴交于点和点，并且两交点与抛物线顶点构成的三角形面积为，这条抛物线的函数表达式为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线与轴的交点得到长度和对称轴位置，再利用三角形面积求出顶点纵坐标，最后利用交点式求出抛物线表达式． 【详解】解：∵抛物线与轴交于和， ∴，对称轴为直线， 设抛物线顶点纵坐标为， ∵抛物线有最高点，且，，顶点构成的三角形面积为， ∴， 代入得， 解得， ∴顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 将顶点坐标代入得， 整理得， 解得， 展开得． 12. 小林在练习投掷实心球，其示意图如图，第一次练习时，球从点A处被抛出，其路线是抛物线．点A距离地面，当球到OA的水平距离为时，达到最大高度为．那么投掷距离为______． 【答案】4 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的实际应用，建立直角坐标系，由题意得：抛物线的顶点坐标为，设抛物线的解析式为，过点，利用待定系数法求出解析式，当时求出x的值即可得到． 【详解】解：建立如图所示的直角坐标系， 由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为，过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 得（舍去）， ∴投掷距离为； 故答案为：4． 13. 如图，在中，F在的延长线上，，那么________________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作的平行线，交于点，证明，得到；证明，得到，则，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点作的平行线，交于点， ∵与平行， ∴， ∴； ∵，在中，对角线交于点， ∴； ∵与平行， ∴， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么______． 【答案】##1:2 【解析】 【分析】根据题意先过D作BF的平行线，交AC边于G，得出DG∥BF，再根据D为BC中点可得出△CDG∽△CBF，即，CG=FC=FG；同理得出△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，从而得出AF=FG=GC，即可得出的值． 【详解】解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示： ∵D为BC中点，DG∥BF， ∴∠CGD=∠CFB， 又∵∠C=∠C， ∴△CDG∽△CBF， ∴，即：CG=CF=FG， 又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF， 同理可得：△AEF∽△ADG， ∴，即：AF=AG=FG， ∴AF=FG=GC， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解． 15. 已知抛物线经过和两点，且，则m的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．通过求抛物线的对称轴和开口方向，结合开口向上，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：抛物线的二次项系数为正， 故开口向上，对称轴直线为，越靠近对称轴的自变量所对应的函数值越小， ∵抛物线经过和两点，且， ∴， ∴， ∴或， 解得 或 ． 故答案为：或． 三、解答题（本大题共7题，满分75分） 16. 已知． （1）求的值； （2）对于二次函数而言，________的坐标不随a、b、c的具体值的变化而变化，并说明理由（填写符合要求的序号）． ①顶点；②与x轴的交点；③与y轴的交点 【答案】（1） （2）②．理由： 由得，， 代入二次函数解析式得． 可知顶点为，与y轴的交点为，均随a的具体值的变化而变化， 令， ， ， 解得，， 即二次函数与轴的交点为和，其坐标与的取值无关，故不随的具体值变化而变化． 【解析】 【分析】（1）设连等式的比值为非零参数，将用参数表示，代入分式约去参数即可求值； （2）将用含的式子表示后代入二次函数解析式，分析各选项对应点的坐标是否与相关． 【小问1详解】 解：设， ，，， ； 【小问2详解】 略． 17. 已知关于的二次函数为． （1）若此二次函数的图像过点，求该函数的表达式； （2）若点、为抛物线上两个不同的点，且当时，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将点代入到二次函数表达式中求解即可； （2）根据抛物线的对称性，当两点的纵坐标相等时，横坐标关于对称轴对称求解． 【小问1详解】 解：将点代入中， 得， 解得， 将代入中， 得． 【小问2详解】 解：∵， ∴点、关于对称轴对称， ∴对称轴为， 又∵二次函数中，，对称轴为， ∴． 18. 如图，直线分别交直线于点A，B，C，交直线于点D，E，F，且，与交于点O，已知． （1）求的长； （2）当时，求的长． 【答案】（1）9 （2）4 【解析】 【分析】(1)利用平行线分线段成比例定理求得，可求得的长，进一步可求得的长． (2) 利用平行线可证，，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴． 19. 某品牌大米远近闻名，深受广大消费者喜爱，某超市每天购进一批成本价为每千克4元的大米，以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售，当每千克售价为5元时，每天售出大米950千克，市场调查反映，每千克大米价格每上涨1元，每天要少卖出50千克大米． （1）设利润为，求利润与售价的函数关系式，并写出x的取值范围； （2）大米售价定为多少元时利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1），的取值范围是． （2）大米售价定为7元时利润最大，最大利润为2550元． 【解析】 【分析】（1）根据题意将每千克利润与数量用含的代数式表示出来，再根据“总利润每千克利润数量”列式即可； （2）将二次函数化为顶点式，再利用函数的增减性求解． 【小问1详解】 解：由题意知每千克利润为元，数量为千克， ∴总利润， ∵以不低于成本价且不超过每千克7元的价格销售， ∴， ∴利润与售价的函数关系式为，的取值范围是． 【小问2详解】 解：， ∴二次函数的对称轴为， ∵二次函数图象开口向下，， ∴在时，随的增大而增大， 则在处取得最大值，此时（元）． ∴当大米售价定为7元时利润最大，最大利润为2550元． 20. 画图 （1）如图1，给定线段，使用尺规在线段上找点，使得； （2）如图2，已知在方格纸内有线段，只使用无刻度直尺在线段上找点，使得； （3）如图3，已知在方格纸内有线段，只使用无刻度直尺在线段上找点，使得． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，点即为所求． 【解析】 【分析】（1）先过点作射线，接着在射线上顺次取点，使得，连接，最后过点作，交于点，则点即为所求； （2）取格点、，连接交于点，则点即为所求； （3）取格点、、、、、、，连接、，交于点，连接、，交于点，作直线交于点连接交于点，则点即为所求． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴; 【小问2详解】 解：由题意可得，，， ∴， ∴; 【小问3详解】 解：由格线图可得四边形是矩形，四边形是矩形，，， ， ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 21. 【基础巩固】 （1）如图1，在△ABC中，D为AB上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 （2）如图2，在▱ABCD中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点，∠BFE＝∠A．若BF＝4，BE＝3，求AD的长． 【拓展提高】 （3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是△ABC内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF＝∠BAD，AE＝2，DF＝5，求菱形ABCD的边长． 【答案】（1）证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴， ∴AC2＝AD•AB； （2）AD＝； （3）5﹣2 【解析】 【分析】（1）根据题意证明△ADC∽△ACB，即可得到结论； （2）根据现有条件推出△BFE∽△BCF，再根据相似三角形的性质推断，即可得到答案； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G，先证明四边形AEGC为平行四边形，再证△EDF∽△EGD，可得，根据EG＝AC＝2EF，可得DE＝EF，再根据，可推出DG＝DF=5，即可求出答案． 【详解】解：（1）略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC＝＝=， ∴AD＝； （3）如图，分别延长EF，DC相交于点G， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC＝∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形AEGC为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF＝∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE＝EF， 又∵， ∴DG＝DF=5， ∴DC＝DG﹣CG＝5﹣2． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，菱形的性质，平行四边形的性质和证明，证明三角形相似是解题关键． 22. 已知抛物线的对称轴为直线． （1）若抛物线经过点． ①求这条抛物线的表达式； ②将抛物线向右平移（）个单位得到抛物线，当时，抛物线对应的函数值的最大值为16，求的值； ③过点的直线与抛物线交于不同的两点，，设点的横坐标为，点的横坐标为，求的值； （2）已知点，，若抛物线与线段只有一个交点，直接写出的范围． 【答案】（1）①；②1或5；③； （2），或 【解析】 【分析】（1）①利用对称轴公式，先求，再把代入，求出即可；②根据平移可得，根据性质可求对称轴，根据与对称轴的位置关系分类讨论，利用最值，列出关于的方程，求解即可；③设过点的直线解析式为，易得，根据函数与方程的关系，可得、是联立方程的两个实数根，最后根据一元二次方程根与系数的关系，化简求解即可； （2）利用待定系数法求出直线的解析式，当，当方程有两个相等的实数根时，可求，满足题意；再分别讨论抛物线过临界点，，求出c的值并判断是否符合条件，最后根据抛物线平移的性质，即可求出范围． 【小问1详解】 解：①抛物线的对称轴为直线， ，即1，解得， 将代入中，得，解得， ； ②， 将抛物线向右平移个单位得到抛物线， 抛物线的开口向上，对称轴为直线， ， ． 当时，即，在对称轴左侧，随的增大而减小， 当时，抛物线对应的函数值最大为， ，解得，， ， 均不符合，舍去； 当时，即，若，则， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16， ，解得，（舍去）， 当时，时，抛物线对应的函数值最大为16， ，解得（舍去）， 综上所述，的值为1或5； ③设过点的直线解析式为， 则， ， ， 联立得，整理得， 由题意得，、是这个方程的两个实数根， ，， ； 【小问2详解】 ，或． 设直线的解析式为，代入，， ，解得， ， 令，整理得， 当时，， 此时，解得，符合，抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，此时， 当时，， ， 此时抛物线与线段只有一个交点； 当抛物线过点时，，解得，此时抛物线与线段有两个交点，不符合题意； ． 综上所述，的取值范围是或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $