精品解析：上海市静安区育才初级中学2025--2026学年九年级数学上学期12月月考试卷

育才初级中学2025学年第一学期九年级数学第二次阶段跟踪练习 （满分150分，时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．请将所有答案做在答题纸的指定位置上，做在试卷上一律不计分． 一、选择题：（本题共6小题，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的对称轴，熟练掌握求二次函数对称轴的方法和技巧是解答本题的关键． 分别求出各选项中抛物线的对称轴，由此进行判断，得到答案． 【详解】解：根据题意得： 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线的对称轴为轴，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项不符合题意； 选项中，抛物线，该抛物线的对称轴为直线，故本选项符合题意； 故选：． 2. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. ， C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查向量平行的判定条件． 向量平行需方向相同或相反，或存在标量倍数关系． 选项A仅涉及模长关系，未涉及方向，故不能判定平行；选项B、C、D均能通过标量倍数或传递性判定平行． 【详解】解：A、∵， ∴的模等于的模的3倍，但不能说明与平行，故此选项符合题意； B、∵，， ∴，， ∴，故此选项不符合题意； C、∵， ∴，故此选项不符合题意； D、∵，， ∴，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，在中，点D、E分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，利用相似三角形的判定及性质逐一判断即可求解，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解：，， A、由，及不能判定，故不符合题意； B、由，不能判定，则错误，故不符合题意； C、， ， ， ， ∴， ，故符合题意； D、由、不能判定，故不符合题意 故选：C 4. 进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，仰角俯角，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键． 根据题意，得到，利用已知角的正弦，求出答案． 【详解】解：如图，在中， 米，， ， （米）， 故选：． 5. 下列说法正确的是（） A. 三点确定一个圆 B. 如果圆的直径平分弦，那么这条直径垂直于这条弦 C. 和半径垂直的直线是圆的切线 D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆的基本性质，包括确定圆的条件、垂径定理、切线的判定以及三角形外心的性质，根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：A、当三点共线时不能确定一个圆，故本选项错误； B、垂径定理要求弦非直径，若弦为直径则直径平分弦但不垂直于弦，故本选项错误； C、切线的判定需直线经过半径外端且垂直于半径，仅垂直不一定相切，故本选项错误； D、三角形的外心是外接圆的圆心，到三个顶点的距离均等于半径，故本选项正确． 故选：D． 6. 将二次函数和的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质．根据题意画出函数的图象，然后根据函数的图象即可得到结论． 【详解】解：列表： 0 1 2 3 6 3 2 3 6 7 18 描点、连线，可得到这两个函数的图象，如图： 由图象知，这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是， 故选：C． 二、填空题：（本题共12小题，共48分） 7. 已知，那么__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， 即． 8. 如果向量、和满足，那么____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是平面向量，正确利用等式的性质是解题的关键．根据等式的性质变形，得到答案． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 9. 某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了米，那么高度下降了_____米． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，设垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可，解题的关键是掌握坡度坡角的定义． 【详解】∵坡度为， ∴设高度下降了米，则水平前进了米， 由勾股定理得：， 解得：， 故答案为：． 10. 已知点和都在抛物线上，那么和的大小关系为____（填“”或“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，根据图象上点的坐标适合解析式将点，坐标代入解析式求解． 【详解】解：将，代入得，， ． 故答案为：． 11. 在半径为5cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____． 【答案】1cm或7cm 【解析】 【详解】试题分析：两种情况进行讨论：①弦A和CD在圆心同侧；②弦A和CD在圆心异侧；作出半径和 弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可解：①当弦A和CD在圆心同侧时，如图， ∵AB=8cm，CD=6cm， ∴AE=4cm，CF=3cm， ∵OA=OC=5cm， ∴EO=3cm，OF=4cm， ∴EF=OF-OE=1cm； ②当弦A和CD在圆心异侧时，如图，∵AB=8cm，CD=6cm， ∴AF=4cm，CE=3cm， ∵OA=OC=5cm， ∴EO=4cm，OF=3cm， ∴EF=OF+OE=7cm． 故答案为1cm或7cm． 考点：勾股定理，垂径定理 点评：本题考查了勾股定理和垂径定理，解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 12. 如图，在中，，于D，如果和的面积比为，，那么的长是_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．先证明，根据相似三角形的性质求出，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ，， ， ， ， 和的面积比为， ， ， ， ． 故答案为：20． 13. 如图，在中，点F在边上，，直线与对角线相交于点E，交的延长线于点G，如果，那么的长是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的性质，求出和的长是解题的关键．由平行四边形的性质得，再证，，求出的长，然后证，求出的长，即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∵， ∴， 即 解得： 故答案为：3． 14. 如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且点是的黄金分割点（）,联结．如果，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了黄金分割点、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识点，掌握黄金分割的定义是解题的关键． 由黄金分割点的定义可得，再结合黄金分割角的定义可得，则可得，再证明可得，然后将代入即可解答． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴， 在中，，是黄金角， ∴， ∴， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 15. 如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处________海里．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形的三角函数得出，（海里），（海里），进而得出（海里），计算即可．此题考查了方向角、解直角三角形的应用，解题的关键是根据直角三角形的三角函数解答． 【详解】解：如图 根据题意，得，海里， ∴（海里），（海里）， （海里）， （海里）， 故答案为：． 16. 如图，在中，是边上的中线，为的重心，过点作交于点，那么的面积是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，先根据中线分出的两个三角形的面积相等得到，然后根据平行得到，进而得到计算是解题的关键． 【详解】解：∵是边上的中线， ∴， 又∵为的重心，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 17. 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为轴上一动点，切于点B，则最小值是 __． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，垂线段最短，解题的关键是将的最小值问题转化成的最小值问题，再根据垂线段最短的性质进行分析，最后利用勾股定理求得答案． 【详解】如图，连接，， 根据切线的性质定理，得 ， 要使最小，只需最小 当轴于P时，最短 此时P点的坐标是，， 在中，，， 则最小值是． 故答案为：． 18. 如图，在中，，，点为边上的点，连接，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，连接，如果，那么的值为 __． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了翻折的性质，掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．分当点在左侧时和当点在右侧时，两种情况讨论，先过作于，过作于，再根据相似三角形的性质及解直角三角形求解． 【详解】解：当点在左侧时，如图所示，过作于，过作于， ， ， ， 设，则， ， ， ， 将沿翻折，点落在平面内点处， ， ， ， ， ， ， ； 当点在右侧时，如图所示，过作于，过作于， ， ， ， 设，则， ， ， ， 将沿翻折，点落在平面内点处， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：或． 三、解答题：（本题共7小题，共78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案． 【详解】解： ． 20. 如图，是的两条弦，且． （1）求证：平分； （2）若，求半径的长． 【答案】（1） 证明：连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分； （2） 【解析】 【分析】（）连接，由弧弦圆心角的关系可得，进而可得，得到，即可求证； （）延长交于点，由三线合一可得，，利用勾股定理可得，设的半径为，则，，在中再利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长交于点， ∵，平分， ∴， ∴，， ∴， 设的半径为，则，， 在中，， ∴， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了弧弦圆心角的关系，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 21. 如图，在梯形中，，且，点是边的中点，连接交对角线于点，设，． （1）______；______；（用、表示） （2）求作：在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 【答案】（1）， （2） 解：如图：在、方向上的分向量分别为、． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，向量的线性组合，以及分向量在平行四边形中的画法，熟练掌握向量的基本应用是解题的关键． （1）利用向量的表示方法，表示出，再由即可求出，利用相似三角形的性质，求出，即可求出； （2）利用画平行四边形即可作出分向量． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵,， ∴， ∵，，， ∴∽， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 22. 如图1，一种抢险救援车由底座与活动支撑臂等组成，如图2是该救援车工作的示意图，其中大臂为3米，小臂长为4米，其夹角可变化，大臂与底座平台夹角也可变化，底座平台与水平地面平行，且离地面的距离为米，、、在同一平面内． （1）若，，求此时点离水平地面的距离； （2）一电线杆垂直于水平面，米，米，当点位于点时，求的正弦值． 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点D作于R，于S，解可求出的长，证明得到，则，解求出的长，进而求出的长即可得到答案； （2）延长交于T，可证明四边形是矩形，得到米，，由勾股定理可得米，证明，得到，则． 【小问1详解】 解：如图所示，过点D作于R，于S， 在中，米，， ∴米； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，米， ∴米， ∴米， 答：此时点离水平地面的距离为米； 【小问2详解】 解：如图所示，延长交于T， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴米，， ∴米， ∴米， ∵米，米，， ∴， ∴， ∴． 23. 已知：如图，在中，是边上的中线，点E在线段上，且，过点B作，交线段AE的延长线于点F． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1） 证明：是边上的中线， ； ， ， ， ， ， ， ； （2） 由（1）， ， ， ，， ， 即有：， ， ， ； ， ， ， ， ，即， ， ． 【解析】 【分析】（1）由是边上的中线，且，可得，由可得，由相似三角形的性质即可得到结论； （2）由（1）可得，再由及，可得，即有：，由夹角相等可得，则有，再由平行关系可得，则可得结论成立． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：略． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，灵活运用判定与性质是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B． （1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式； （2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值； （3）如果∠OAC=135°，求m的值． 【答案】（1）；（2）；（3）m的值为2 【解析】 【分析】（1）先求出m=1时点A的坐标，进而可得到这条“子抛物线”的解析式； （2）先根据A点坐标求出“子抛物线”的解析式和AB,OB的长度，然后令x = 0求出y值即可得到C点坐标，进而可求出BC的长度，最后利用即可求解； （3）过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F, 首先证明△AED≌△DFO，则有AE=DF，DE=OF，设AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED，通过OB=EF得到，然后再通过得到，将两个关于m,n的方程联立即可求出m的值． 【详解】解：（1）∵点A在上，点A的横坐标为m， ∴A（m，m2）， 当m =1时， ， ∴A（1，1）， ∴这条“子抛物线”的解析式为． （2）由A（m，m2），且AB⊥y轴，可得AB=m，OB= m2． ∴“子抛物线”的解析式为． 令x = 0，， ∴点C的坐标（0，），， ∴． 在Rt△ABC中， ． （3）如图，过O点作OD⊥CA的延长线于点D，过点D作y轴的平行线分别交BA的延长线于点E，交x轴于点F． ∵∠OAC=135°， ∴∠OAD=45°． 又∵OD⊥CA， ∴∠AOD=∠OAD=45°， ∴AD=OD， ， ． ， ∴△AED≌△DFO， ∴AE=DF，DE=OF． 设AE=n，那么DF=n，BE= m + n=OF=ED． 又∵OB=EF， ∴． 又， ∴∠BCA=∠ADE， ∴． 解方程组，得，（舍去） ∴ m的值为2． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的应用，子抛物线的定义，掌握全等三角形的判定及性质，锐角三角函数的定义是解题的关键． 25. 已知在中，，点是直线上一点，点是射线上一点，． （1）如图，当时，求的长； （2）当点在射线上时，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）过点作，交射线于点，如果以为圆心，为半径的圆与以点为圆心，为半径的圆有且只有一个交点，求的长． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先用勾股定理求出，证明，设，再运用这两个角的正切值列出方程求解即可； （2）①当点在点左侧时，过点作的垂线交延长线于点，可得，由同理得到，从而得到，即，求出，从而得到；②当点在点右侧时，同理即可得出； （3）分当点在点左侧和点在点右侧两种情况，运用相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ，， ， 设， ， ， ， ，即， 解得：， ； 【小问2详解】 解：①当点在点左侧时，如图，过点作的垂线交延长线于点， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， ， 解得：， ， ②当点在点右侧时，如图，过点作的垂线交延长线于点， ， ， ， 设， ， ， ， ， ，即， ， ，即， ， ； 【小问3详解】 解：令的半径为，的半径为，切点为， i、当点在点左，连接， ， ， ， ， ，即， ， ， 又， ， ， 在中，， ， ， ①当点在右侧，圆与圆外切时，如图，，即， ∴， 解得：（负舍）， 由（2）知， ； ②当点在左侧，圆与圆外切时，如图，，即， 同①可得， 同（2）理可得， ； ii、当点在点右侧时，圆与圆内切，如图，，即， 过点作， ， ， ，， ， ∵， ， 整理得：， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 育才初级中学2025学年第一学期九年级数学第二次阶段跟踪练习 （满分150分，时间100分钟） 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．请将所有答案做在答题纸的指定位置上，做在试卷上一律不计分． 一、选择题：（本题共6小题，共24分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列抛物线中，对称轴为直线的抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列条件中，不能判定的是（ ） A. B. ， C. D. ， 3. 如图，在中，点D、E分别在、的反向延长线上，已知，下列条件中能判定的是（ ） A. B. C. D. 4. 进博会期间，从一架离地米的无人机上，测得地面监测点的俯角是，那么此时无人机与地面监测点的距离是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 下列说法正确的是（） A. 三点确定一个圆 B. 如果圆的直径平分弦，那么这条直径垂直于这条弦 C. 和半径垂直的直线是圆的切线 D. 三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等 6. 将二次函数和的图象画在同一平面直角坐标系中，那么这两个图象都是上升的部分，所对应自变量的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 二、填空题：（本题共12小题，共48分） 7. 已知，那么__________． 8. 如果向量、和满足，那么____． 9. 某人顺着坡度为的斜坡滑雪，下滑了米，那么高度下降了_____米． 10. 已知点和都在抛物线上，那么和的大小关系为____（填“”或“”或“”）． 11. 在半径为5cm圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____． 12. 如图，在中，，于D，如果和的面积比为，，那么的长是_______． 13. 如图，在中，点F在边上，，直线与对角线相交于点E，交的延长线于点G，如果，那么的长是________． 14. 如果一个锐角的正弦值等于黄金分割数，那么我们称这个角叫做黄金角．如图，在中，，是黄金角，点在边上，且点是的黄金分割点（）,联结．如果，那么的长是______． 15. 如图，为了绕开岛礁区，一艘船从A处向北偏东的方向行驶8海里到B处，再从B处向南偏东方向行驶到发点A正东方向上的C处，此时这艘船距离出发点A处________海里．（结果保留根号） 16. 如图，在中，是边上的中线，为的重心，过点作交于点，那么的面积是__________． 17. 如图所示，在直角坐标系中，A点坐标为，的半径为2，P为轴上一动点，切于点B，则最小值是 __． 18. 如图，在中，，，点为边上的点，连接，将沿翻折，点落在平面内点处，边交边于点，连接，如果，那么的值为 __． 三、解答题：（本题共7小题，共78分） 19. 计算：． 20. 如图，是的两条弦，且． （1）求证：平分； （2）若，求半径的长． 21. 如图，在梯形中，，且，点是边的中点，连接交对角线于点，设，． （1）______；______；（用、表示） （2）求作：在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论） 22. 如图1，一种抢险救援车由底座与活动支撑臂等组成，如图2是该救援车工作的示意图，其中大臂为3米，小臂长为4米，其夹角可变化，大臂与底座平台夹角也可变化，底座平台与水平地面平行，且离地面的距离为米，、、在同一平面内． （1）若，，求此时点离水平地面的距离； （2）一电线杆垂直于水平面，米，米，当点位于点时，求的正弦值． 23. 已知：如图，在中，是边上的中线，点E在线段上，且，过点B作，交线段AE的延长线于点F． （1）求证：； （2）如果，求证：． 24. 在平面直角坐标系xOy中，我们把以抛物线上的动点A为顶点的抛物线叫做这条抛物线的“子抛物线”．如图，已知某条“子抛物线”的二次项系数为，且与y轴交于点C．设点A的横坐标为m（m＞0），过点A作y轴的垂线交y轴于点B． （1）当m=1时，求这条“子抛物线”的解析式； （2）用含m的代数式表示∠ACB的余切值； （3）如果∠OAC=135°，求m的值． 25. 已知在中，，点是直线上一点，点是射线上一点，． （1）如图，当时，求的长； （2）当点在射线上时，设，求关于的函数解析式，并写出定义域； （3）过点作，交射线于点，如果以为圆心，为半径的圆与以点为圆心，为半径的圆有且只有一个交点，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $