28.2.1 中心对称及其性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

28.2 中心对称 第二十八章 旋转 人教版九年级上册 28.2.1 中心对称及其性质 旋转 三要素 性质 旋转中心 旋转角 旋转方向 1.对应点到旋转中心的距离相等； 2.对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； 3.旋转前、后的图形全等. 复习回顾 思考1：如图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？ 旋转后两个图案能够互相重合. O 探索新知 思考2：如图，线段 AC，BD 相交于点O，OA=OC，OB =OD. 把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？ O A B D C 旋转后的△OCD与△OAB重合. 思考3：上面两个旋转有什么共同点？ ①旋转中心都是点O； ②旋转角度都是180°； ③旋转后都能与另一个图形完全重合. 像这样，一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）. △OCD与△OAB关于点O对称 这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点 . 归纳小结 思考4：中心对称与旋转的联系与区别是什么？ 联系：中心对称与旋转都是绕着某一点转动； 区别：中心对称的旋转角度是180°，旋转的旋转 角度不固定，中心对称是特殊的旋转. 1.下列图案中，点 O 为正方形的中心，阴影部分的两 个三角形全等，则阴影部分的两个三角形关于点 O 对称的是（ ） 牛刀小试 C 如图，△ABC和△A′B′C′ 关于点 O 对称. （1）对称中心O与对称点的连线AA′有什么关系？点O与BB′，CC′ 呢？ A B C B′ A′ C′ O A，O，A′三点共线，且OA=OA′.同理OB=OB′， OC=OC′. （2） △ABC和△A′B′C′ 有什么关系？ 全等. 你能从这个探究中得到什么结论？ 中心对称的性质 1.中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分. 对称点与对称中心三点共线 对称中心是对称点连线的中点 2.中心对称的两个图形是全等图形. 如何确定“对称中心”呢？ 一组对称点连线的中点 或 两组对称点连线的交点. 归纳小结 2.如图，△ABC 和 △DEF 关于点 O 对称，则下列结论不成立的是（ ） A. CO=FO B. ∠OBC=∠OEF C. AB∥ EF D.点 B 与点 E 是对称点 牛刀小试 C 3.图中的两个四边形关于某点对称，标出它们的对称中心. 解：如图所示，连接对称点，对称点所连线段相交于一点O，点O即为对称中心. O O A 解：第一步：连接 AO，并延长； 第二步：在 AO 的延长线上截取OA′=OA. A′ 点A′就是所求作的点. 试一试：如图，选择点 O 为对称中心，画出点 A 关于点 O 的对称点 A′. O B C A 例1 如图，选择点 O 为对称中心，作出与 △ABC 关于点 O 对称的△A′B′C′. 解：连接 AO，在AO的延长线上截取 OA′=OA，即可以得到点 A 关于点 O 的对称点A′. A′ 以同样的方法分别作出点B，C关于点O的对称点B′，C′. B′ C′ 依次连接A′B′，B′C′，C′A′，就得到与△ABC关于点O对称的△A′B′C′. A′ D′ C′ B′ 牛刀小试 4.如图，已知四边形ABCD和点O，画出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于点O对称. O A B C D 解：如图所示. 归纳小结 作已知图形关于某一点对称的图形的一般步骤： 找关键点 确定对称中心及原图形上的关键点 作对称点 将各关键点与对称中心连接并延长，在相应延长线上作出各关键点关于对称中心的对称点 顺次连接 将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得到原图形关于对称中心对称的图形 中心对称和轴对称的区别与联系 轴对称 中心对称 图示 区别 至少有一条对称轴 只有一个对称中心 图形沿对称轴折叠 图形绕对称中心旋转180° 折叠后与另一个图形重合 旋转后与另一个图形重合 联系 都是图形变换，并且变换前、后的两个图形全等 A B C C′ A′ B′ O 1.下列说法正确的是( ) A.全等的两个图形成中心对称 B.不全等的两个图形可以成中心对称 C.旋转后能够重合的两个图形成中心对称 D.绕定点旋转180°后能够完全重合的两个图形成中心对称 D 随堂练习 A B C D 2.下列各组图形中，△A'B'C'与△ABC成中心对称的是( ) D A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 3.下列四组图形中，左边的图形与右边的图形成中心对称的有( ) C A.AD⊥BE B.AO＝DO C.AB∥DE D.△ABC≌△DEF 4.如图，△ABC与△DEF关于点O成中心对称，点A，B，C的对称点分别为D，E，F.下列结论不一定正确的是( ) A 5.[教材P101练习第1题改编]如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于图中的一个点成中心对称，则这个点是 　 　.  　O1　 6.[2025·合肥庐江校级期中]如图，在锐角△ABC中，点D为线段BC上一点，△A'BD与△ACD关于点D成中心对称. (1)直接写出图中所有相等的线段，并说明点D在BC的什么位置； (2)若AB＝5，AC＝3，求线段AD的取值范围. 解：(1)AD＝A'D，BD＝CD，AC＝A'B，AB＝A'C；点D在BC的中点处. (2)∵AD＝A'D，∴AA'＝2AD， 由条件可知A'B＝3， ∵在△AA'B中，AB－A'B＜AA'＜AB＋A'B， ∴5－3＜2AD＜5＋3，∴1＜AD＜4. 7.[教材P104习题28.2第1题改编]如图，已知四边形ABCD和点P，画出四边形A'B'C'D'，使四边形A'B'C'D'与四边形ABCD关于点P成中心对称. 解：如图，四边形A'B'C'D'即为所作. 第8题图 A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 8.[易错题]如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，则图中成中心对称的三角形共有( ) C 第9题图 A. B. C.2 D.2 9.如图，BO是等腰△ABC(AB＝BC)的底边中线，AC＝2，AB＝4，△PQC与△BOC关于点C成中心对称，连接AP，则AP的长为( ) D 10.在如图所示的平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为4的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A3B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称，如此作下去，则△A2n＋1B2n＋1(n是正整数)的顶点A2n＋1的坐标是( ) A.(8n＋2，2) B.(8n－2，2) C.(4n＋1，) D.(4n－1，) A 11.如图，直线a⊥直线b于点O，曲线C1与C2关于点O成中心对称，点A的对称点是A'，AB⊥a于点B，A'D⊥b于点D.若OB＝3，AB＝2，则阴影部分的面积之和为 　 　.  　6　 12.如图，正方形ABCD与正方形A1B1C1D1关于某点成中心对称.已知A，D1，D三点的坐标分别为(1，0)，(2，0)，(3，0). (1)写出对称中心的坐标； (2)写出顶点B，C，B1，C1的坐标. 解：(1)对称中心的坐标是(2.5，0). (2)顶点B，C，B1，C1的坐标分别是(1，2)，(3，2)，(4，－2)，(2，－2). 13.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是CD的中点. (1)画图：连接AE并延长，交BC的延长线于点F，连接BE； 解：(1)图略. (2)在(1)的条件下，填空：点A与点F关于点　 　成中心对称，若AB＝AD＋BC，则△ABF是　 　(填“等腰”或“等边”)三角形，此时点A与点F关于直线　 　成轴对称；  (3)在(1)的条件下，图中△　 　的面积等于四边形ABCD的面积.  　ABF　 　BE　 　等腰　 　E　 课堂小结 旋转作图的 基本步骤 明确旋转三要素 找出关键点 作出关键点的对应点 作出新图形 写出结论 确定旋转中心 找两条对应点连线段的垂直平分线的交点 中心对称 概念 性质 作图 两个图形 其中一个图形绕某一点旋转180° 与另一个图形重合 对称点所连线段经过对称点且被对称中心平分 中心对称的两个图形是全等图形 作中心对称图形 找出对称中心 课堂小结 $