28.2.1 中心对称及其性质 课件 2026-2027学年人教版 数学九年级上册

第二十八章 旋转 数学人教版九年级上册 理解中心对称的定义，掌握中心对称的性质，能够准确找出两个成中心对称图形的对称中心. 会利用中心对称的性质，画出简单几何图形关于指定点的中心对称图形，规范作图步骤. 经历观察、猜想、动手探究的学习过程，明白中心对称属于特殊旋转，逐步发展几何直观能力. 感受生活中成中心对称的现象，体会几何图形均衡和谐之美，培养严谨细致的作图习惯. ①分析题目要求，找出旋转中心、旋转方向及旋转角； ②在已知图形上找出关键点； ③作出各关键点的对应点； ④顺次连接各对应点. 旋转作图的步骤是什么？ 如果旋转角恰好是 180°，这会是一种怎样的特殊旋转呢？ 它又有哪些独特的性质？ 1 活动一：探究中心对称的概念 (1) 如图，把其中一个图案绕点O旋转180°，你有什么发现？ O 旋转180°后，旋转的图案与另一个图案重合. 1 活动一：探究中心对称的概念 (2) 如图，线段AC，BD相交于点O，OA=OC，OB=OD.把△OCD绕点O旋转180°，你有什么发现？ 旋转180°后，△OCD与△OAB重合 A B D C O 活动一：探究中心对称的概念 像这样，一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心(简称中心)，这两个图形在旋转后能重合的点叫作对称点. 中心对称 ①能找到一个对称中心； ②旋转角为180°； ③这两个图形旋转后能重合. 中心对称三要素 2 活动一：探究中心对称的概念 你能说出刚才这个图形中的对称中心、对称点吗？ A B D C O 对称中心 在图中，△OCD 和△OAB 关于点 O 对称，点 O 就是对称中心. 点C 与点A、点B与点D是关于点O的对称点，点O是它关于自身的对称点. 活动一：探究中心对称的概念 中心对称是指两个图形间的位置关系，必须涉及两个图形. 中心对称是特殊的旋转，旋转角为180°. 成中心对称的两个图形，只有一个对称中心，这个对称中心可能在两个图形的外部，也可能在图形的内部或图形上，但对称点一定在对称中心的两侧或与对称中心重合. 活动二：探究中心对称的性质 3 A C A′ B′ O 因为点A′是点A绕点O旋转180°后得到的，所以点O是线段AA'的中点. 同样地，点O也是线段BB′和CC′的中点. 如图，△ABC和△A'B'C′关于点O对称，我们仍考虑它们的对称点之间的关系. 对称中心O与对称点的连线AA'有什么关系？点O与BB′，CC′呢？ C′ B 活动二：探究中心对称的性质 4 从上面的分析中能得到什么结论？ 中心对称除了具有旋转的性质，还具有性质： 成中心对称的两个图形中，对称点所连线段经过对称中心，并且被对称中心平分. 成中心对称的两个图形全等，对应角相等，其对应线段互相平行(或在同一条直线上)且相等. 活动三：探究利用中心对称的性质作图 给定一个点和一个图形，可以画出与这个图形关于这个点中心对称的图形.与其他图形的变化类似，对于规则几何图形，只要找到它的关键点，作出它们关于对称中心的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形中心对称的图形. 平移 轴对称 旋转 活动三：探究利用中心对称的性质作图 如图，选择点O为对称中心，作出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'. 如图，连接AO，在AO的延长线上截取OA′=OA，即可以得到点A关于点O的对称点A′. 以同样的方法分别作出点B，C关于点O的对称点B′，C′. 5 关 键 是利用中心对称的性质确定△ABC三个顶点的对称点. A B C C' B' A' O 活动三：探究利用中心对称的性质作图 如图，选择点O为对称中心，作出与△ABC关于点O对称的△A'B'C'. 5 A B C C' B' A' O 依次连接A′B′，B'C′，C′A'，就得到与△ABC关于点O对称的△A'B'C'. 关 键 是利用中心对称的性质确定△ABC三个顶点的对称点. 活动三：探究利用中心对称的性质作图 作已知图形关于某一点对称的图形的一般步骤： ①连接：分别将原图形上的所有关键点与对称中心连接并延长； ②找对称点：在延长线上找对称点，使得对称点与对称中心的距离等于相应的关键点与对称中心的距离； ③顺次连接：将对称点按原图形的形状顺次连接起来，即可得到原图形关于对称中心对称的图形. 活动三：探究利用中心对称的性质作图 6 方法一：根据观察，C，F 应是对称点， 连接 CF. 用刻度尺找出 CF 的中点 O，点 O 即为所求． 如图，△ABC 和△DEF 是成中心对称的两个三角形，请找出它们的对称中心． A B C O D E F 活动三：探究利用中心对称的性质作图 6 A B C O D E F 方法二：根据观察，A，D 及 C，F应是两组对称点， 连接 AD，CF，相交于点 O，点 O 即为所求． 如图，△ABC 和△DEF 是成中心对称的两个三角形，请找出它们的对称中心． 活动三：探究利用中心对称的性质作图 确定对称中心的方法： 当两个图形成中心对称时： (1)连接任意一组对称点，取这条线段的中点，则该点为对称中心； (2)连接任意两组对称点，这两条线段的交点就是对称中心． 活动三：探究利用中心对称的性质作图 7 说一说中心对称与旋转的联系和区别. 变化 联系 区别 中心对称 旋转 都是绕着某一点进行旋转，中心对称是特殊的旋转 旋转角度是 180°；旋转方向可以是顺时针，也可以是逆时针； 旋转角度不固定；一般旋转的旋转方向是确定的 活动三：探究利用中心对称的性质作图 8 说一说中心对称与轴对称的联系和区别. 中心对称 轴对称 区别 联系 本质是图形的翻折变换，一个图形沿一条直线翻折后能与另一个图形重合，对应点连线被对称轴垂直平分. 本质是图形的旋转运动，一个图形绕定点旋转 180°后能与另一个图形重合，对应点连线交于对称中心，并且被对称中心平分. 中心对称是“旋转”重合，轴对称是“翻折”重合，二者都属于全等变换(图形变换)，变换前后图形形状、大小不变. 如图所示，△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称，则下列结论成立的是( ) ①点A与点A'关于点O对称； ②BO=B'O； ③AC// A'C'； ④ABC=C'A'B' A.①②③ B. ②③④ C.①③④ D.①②④ ∵△ABC与△A'B'C'关于点O成中心对称， ∴由中心对称的性质可得，OB=OB'， OC=OC'，点A与点A'关于点O对称， ABC=A'B'C'，CAB=C'A'B'，AC//A'C' ∴①②③正确，④错误.综上所述，只有选项A正确，故选：A. C A B O C' A' B' A 如图，在等边三角形ABC中，O为BC的中点，AB＝6，△BPQ与△BAO关于点B中心对称，连接CP，求△QCP的面积 ． A C P B O Q 解：1.在右侧两个四边形中，任选两组相互对应的顶点； 2.分别用直尺连接这两组对应顶点，画出两条线段； 3.两条线段相交得到一个公共点，标记为点O， 该点就是两个四边形的对称中心. 原理：利用中心对称性质，所有对称点连线都 经过对称中心，两线交点即为中心. 1. 图中的两个四边形关于某点对称，标出它们的对称中心. . O 2.分别作出已知图形关于点O对称的图形. 解：已知图形关于点O对称的图形如图所示. O O 任务 请结合两个图形成中心对称的概念与性质，按照下列步骤，设计一对成中心对称的图形. 选择基本图形：在方格纸上画一个简单图形(如三角形、四边形、字母、简易图案等)，记作图形 A； 确定对称中心：分别在图形A内部、图形A上、图形A外部任选一点O作为对称中心； 作对称图形：作出图形 A 关于点 O 成中心对称的图形 B； 标注并验证性质：标注对称中心 O 和至少两组对应点 A 与A′、B 与 B′；量一量(或算一算)，哪些线段相等？对应角有什么关系？ 中心对称图形设计师 1.指出图形A与图形B中哪些边相等、哪些角相等？据此说明这两个图形全等. 2.任意一组对应点与对称中心存在怎样的位置关系？这说明成中心对称的两个图形具有什么性质？ 3.当对称中心 O 在图形 A 的某一条边上时，观察你所画的图形，图形 A 与 B 会有什么特殊位置关系？ 4.中心对称与我们学过的轴对称有什么相同点和不同点？请举出生活中应用中心对称的实例. 探究 中心对称图形设计师 $