精品解析：广东深圳市龙岗区园山实验学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

园山实验学校2026年10月初三学科素养大赛数学试题 答题时长：90分钟 分值：100分 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题的四个选项中，只有一个最符合题意） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ） A. x2－1＝2x B. x3＋2x2＝0 C. D. x2－y＋1＝0 2. 关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是（ ） A. k≥-4 B. k≥4 C. k>-4 D. k≥-4且k≠0 3. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 9 4. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ） A. 27° B. 53° C. 57° D. 63° 5. 下列四个命题中真命题是（ ） A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. 对角线垂直且相等的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 四边都相等的四边形是正方形 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：m），设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，以矩形的顶点A为圆心，长为半径画弧交的延长线于E；过点D作交于点F，连接．，则的长是（　　） A. B. C. 3 D. 8. 如图①，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图②，按照图②所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图③所示的正八边形，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形，放在正八边形内部，与重合，L为的中点，连接．将正方形绕点A顺时针旋转与重合，此时的长为（ ） A. 3 B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．把答案直接填在答题卡相应的位置上） 9. 关于x的方程的一个根为3，则________． 10. 如图，菱形的周长为20，对角线的长为6，则菱形的面积为_____． 11. 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 12. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________． 13. 如图，矩形中，，，为的中点，为射线上一动点，为的中点，若直线直线，则_________． 三、解答题（本题共7小题，14题8分，15题6分，17题8分，18题9分，19题10分，20题12分，共61分） 14. 用合适的方法解方程： （1） （2） 15. 如图，是的角平分线，请用尺规作图法，求作菱形，使得点、分别在边、上保留作图痕迹，不写作法 16. 已知：平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 17. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 18. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 19. 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”，理由：．再如，（x，y是整数），所以M也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”___________；并判断40是否为“完全数”_______； （2）若二次三项式（x为整数）是“完全数”，可配方成（m，n为常数），则的值为_______； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完全数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论： （4）已知实数x，y满足，求的最小值是_______． 20. 综合与探究 问题情境：如图1，正方形与正方形的点C重合，点E在边上，点G在边的延长线上．连接，取的中点M，连接，． 观察论证： （1）请写出图1中与的数量关系和位置关系并证明． 操作探究：将正方形绕点C逆时针旋转一周． （2）在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？请就图2说明理由； （3）在旋转过程中，当点D，E，F在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 园山实验学校2026年10月初三学科素养大赛数学试题 答题时长：90分钟 分值：100分 一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题的四个选项中，只有一个最符合题意） 1. 下列方程中，关于x的一元二次方程的是（ ） A. x2－1＝2x B. x3＋2x2＝0 C. D. x2－y＋1＝0 【答案】A 【解析】 【分析】只含有1个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程就是一元二次方程，依据定义即可判断． 【详解】解：A、只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，二次项系数不为0，是一元二次方程，符合题意； B、未知数最高次数是3，不是关于x的一元二次方程，不符合题意； C、为分式方程，不符合题意； D、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，为整式方程；特别注意二次项系数不为0． 2. 关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是（ ） A. k≥-4 B. k≥4 C. k>-4 D. k≥-4且k≠0 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知方程的根的情况来确定根的判别式△≥0，通过解不等式来求k的取值范围． 【详解】∵关于x的一元二次方程kx2-4x-1=0有两个实根， ∴△=（-4）2-4k•（-1）≥0，且k≠0， 解得，k≥-4且k≠0． 故选D． 【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程的定义．一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 3. 若，是方程的两个根，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】先将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，再代入对应值计算即可． 【详解】解：， ∵ ，是方程的两个根， ∴ 由根与系数的关系得，. ∴ 原式． 4. 如图，矩形ABCD为一个正在倒水的水杯的截面图，杯中水面与CD的交点为E，当水杯底面BC与水平面的夹角为27°时，∠AED的大小为（ ） A. 27° B. 53° C. 57° D. 63° 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知AE//BF，∠EAB=∠ABF，∠ABF+27°=90°，等量代换求出∠EAB，再根据平行线的性质求出∠AED． 【详解】解：如图所示： ∵AE//BF， ∴∠EAB=∠ABF， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB//CD，∠ABC=90°， ∴∠ABF+27°=90°， ∴∠ABF=63°， ∴∠EAB=63°， ∵AB//CD， ∴∠AED=∠EAB=63°． 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形的性质，平行线的性质，熟记矩形的性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有； ②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等． 5. 下列四个命题中真命题是（ ） A. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形 B. 对角线垂直且相等的四边形是菱形 C. 对角线相等且互相平分的四边形是矩形 D. 四边都相等的四边形是正方形 【答案】C 【解析】 【分析】根据正方形、菱形、矩形的判定分别判断得出即可． 【详解】A、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故原命题是假命题； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，故原命题是假命题； C、对角线相等且互相平分的四边形是矩形，故原命题是真命题； D、四边都相等的四边形是菱形，故原命题是假命题； 故选：C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解正方形的判定定理、矩形的判定定理、菱形的判定定理． 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：m），设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平移的性质，将分散的停车位拼合为一个矩形，确定拼合后矩形的长和宽是解题关键． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为，由平移的性质，可将停车位拼合为一个矩形，该矩形的长为，宽为，根据题意得 ． 7. 如图，以矩形的顶点A为圆心，长为半径画弧交的延长线于E；过点D作交于点F，连接．，则的长是（　　） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由矩形的性质得，则，再证明四边形是平行四边形，由作图得，则四边形是菱形，所以，则，可求得，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵矩形，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 由作图得， ∴四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题重点考查矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，证明四边形是菱形是解题的关键． 8. 如图①，将一个正方形纸片沿虚线对折两次，得到图②，按照图②所示剪去一个腰长为2的等腰直角三角形，展开后得到一个如图③所示的正八边形，将剪下的四个等腰直角三角形拼成一个正方形，放在正八边形内部，与重合，L为的中点，连接．将正方形绕点A顺时针旋转与重合，此时的长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形，正多边形的性质，勾股定理的运用，理解题意，掌握正多边形的性质，数形结合分析是关键．可证明四边形是菱形，可求出正方形的边长为，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：根据题意，，， 如图所示，连接， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形， ∴， 设正方形对角的交点为，则， ∴正方形的边长为， ∴， ∵，， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， 故选：B ． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分．把答案直接填在答题卡相应的位置上） 9. 关于x的方程的一个根为3，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、解一元一次方程，由代入一元二次方程得出关于的一元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：∵关于x的方程的一个根是3， ∴， 解得：， 故答案为：． 10. 如图，菱形的周长为20，对角线的长为6，则菱形的面积为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，利用菱形的性质和勾股定理求出，再求出对角线的长，进而根据菱形的面积等于对角线积的一半解答即可求解，掌握菱形的面积是解题的关键． 【详解】解：∵菱形的周长为20，对角线的长为6， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：24． 11. 在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 【答案】8 【解析】 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有8支． 12. 如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，、是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的证明，解决本题的关键是把阴影部分进行合理转换．根据题意作图，连接、，可得，那么可得阴影部分的面积与正方形面积的关系，同理得出另两个正方形的阴影部分面积与正方形面积的关系，从而得出答案． 【详解】解：连接、，如图： 根据题意得每个正方形的面积为， ∵，， ∴， ∵四边形是正方形，为正方形的中心， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 同理得，， ∴． 故答案为：2． 13. 如图，矩形中，，，为的中点，为射线上一动点，为的中点，若直线直线，则_________． 【答案】2或14 【解析】 【分析】如图，当在的左边，过作于，记与的交点为，证明，可得，，设，则，，证明，进一步可得答案，如图，当在的右边时，同法可求解． 【详解】解：如图，当在的左边，过作于，记与的交点为， ∵矩形，，，为的中点， ∴，，，， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 如图，当在的右边时， 同理：，设，则，， 同理：， ∴， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 综上：的长度为或． 三、解答题（本题共7小题，14题8分，15题6分，17题8分，18题9分，19题10分，20题12分，共61分） 14. 用合适的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， 或， ． 15. 如图，是的角平分线，请用尺规作图法，求作菱形，使得点、分别在边、上保留作图痕迹，不写作法 【答案】 菱形为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图----复杂作图、线段垂直平分线的性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、菱形的判定是解答本题的关键．作线段的垂直平分线，分别交，于点，，连接，，结合菱形的判定可知，四边形为菱形，即菱形为所求． 【详解】解：如图，作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，，连接，， 则，，， 是的角平分线， ， ， ， ， ， 四边形为菱形， 即菱形为所求． 16. 已知：平行四边形的两边，的长是关于x的方程的两个实数根． （1）当m为何值时，四边形是菱形？求出这时菱形的边长； （2）若的长为2，那么平行四边形的周长是多少？ 【答案】（1）当时，四边形是菱形，此时菱形的边长为 （2）平行四边形的周长为 【解析】 【分析】（1）当四边形是菱形时，，故，可求出m的值，然后把m的值代入方程，然后解方程即可求出菱形的边长． （2）把2代入方程求出的值，再利用公式法解出的值，最后由平行四边形的周长公式求解即可． 【小问1详解】 解：当四边形是菱形时，， 故， 整理得：， 解得：， 当时，方程变成：， 解得：， 即当时，四边形是菱形，此时菱形的边长为． 【小问2详解】 解：若的长为2， 则方程的一个根为2， 把2代入方程得：， 解得：， 则方程为：， 解得，， 故， ∴平行四边形的周长为：． 17. 如图，在中，，点是的中点，连接，过点作，过点作，，交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接交于点，交于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：，点是的中点， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）由，点是的中点，得，由，，证明四边形是平行四边形，则四边形是菱形； （2）由菱形的性质得，，则，可证明四边形是平行四边形，而，，则四边形是菱形，，所以，，，求得，则，由，求得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是菱形，三角形是等边三角形， ∴，，，， ， ， ， ， 的长是． 【点睛】此题重点考查菱形的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，推导出四边形是平行四边形及是解题的关键． 18. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为 （2）该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据4月份销售150个，6月份销售216个，列出方程进行求解即可； （2）设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，根据总利润等于单件利润乘以销量，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，由题意，得：， 解得：或（舍去）； 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； 【小问2详解】 设该品牌头盔的实际售价应定为元/个，由题意，得： ， 解得：， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴； 答：该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 19. 配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常常被用到恒等变形中，以挖掘题目中的隐含条件，是解题的有力手段之一． 我们定义：一个整数能表示成（a，b是整数）的形式，则称这个数为“完全数”．例如，10是“完全数”，理由：．再如，（x，y是整数），所以M也是“完全数”． 解决问题： （1）请你再写一个小于10的“完全数”___________；并判断40是否为“完全数”_______； （2）若二次三项式（x为整数）是“完全数”，可配方成（m，n为常数），则的值为_______； 探究问题： （3）已知（x，y是整数，k是常数），要使S为“完全数”，试求出符合条件的k值． 拓展结论： （4）已知实数x，y满足，求的最小值是_______． 【答案】（1）4；是 （2）4或 （3）10 （4）1 【解析】 【分析】（1）根据题目信息即可求解； （2）根据即可求解； （3）根据即可求解； （4）根据题意可得，把代入，然后得出即可求解． 【小问1详解】 解：4是“完全数”，理由：， 40是“完全数”，理由：， 【小问2详解】 解：∵， ∴，或， ∴或． 【小问3详解】 解：， 由题意得：， 解得：． 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最小，最小值为1． 20. 综合与探究 问题情境：如图1，正方形与正方形的点C重合，点E在边上，点G在边的延长线上．连接，取的中点M，连接，． 观察论证： （1）请写出图1中与的数量关系和位置关系并证明． 操作探究：将正方形绕点C逆时针旋转一周． （2）在旋转过程中，（1）中的结论是否仍然成立？请就图2说明理由； （3）在旋转过程中，当点D，E，F在同一条直线上时，若，，请直接写出线段的长． 【答案】 （1）结论：，， 理由：如图1中，延长交于， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 综上可得：，； （2）（1）中的结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点，使得，连接并延长，交的延长线于点，连接，设与交于点， ∵点为的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，； （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）延长交于，由题意易得，，，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求解； （2）延长到点，使得，连接并延长，交的延长线于点，连接，设与交于点，由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）由题意可分两种情况进行分类求解即可． 【详解】解：（1）略； （2）略； （3）①如图3中，作于， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，， ∵点在同一条直线上， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵为的中点， ∴； ②如图，作于，连接， ∵四边形和四边形都为正方形， ∴，，， ∵点在同一条直线上， ∴， 在中，， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∵为的中点， ∴； 综上可得：的长为或． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定及旋转的性质，熟练掌握正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定及旋转的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $