精品解析：广东省深圳市龙岗区龙岭学校2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

龙岭初中2025-2026学年第一学期九年级数学 九年级数学 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式，即一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式且列式求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得：且． 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解一元二次方程有两个不相等的实数根，则判别式且是本题的关键． 2. 观察如图所示的三种视图，与之对应的物体是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据主视图中有两条虚线，得知该几何体应该有两条从正面看不到的棱，然后结合俯视图及提供的三个几何体即可得出答案． 【详解】解：因为主视图中有两条虚线，所以该几何体有两条从正面看不到的棱，排除B；结合俯视图，可以确定该几何体为D． 故答案为D． 【点睛】此题主要考查了由三视图想象立体图形的能力，主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形；需要注意的是看到的棱用实线表示，看不到的用虚线表示． 3. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A. 4 B. C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质，相似三角形的性质，根据位似比等于相似比，相似三角形的周长比等于相似比进行求解即可． 【详解】解：∵与是位似图形，点O为位似中心，且， ∴，且相似比为， ∴与的周长比为：， ∵的周长为8， ∴的周长为16． 故选：C． 4. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法错误的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定、菱形的判定与矩形的判定、正方形的判定，熟练掌握相关定理是解题的关键． 先根据平行四边形的判定证明是平行四边形，再根据已知条件结合菱形、矩形及正方形的判定逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 若，则四边形是矩形，故A选项不符合题意； 若平分，， ∵， ∴， ∴， 则四边形是菱形，故B选项不符合题意； 若且，则四边形是正方形，故C选项不符合题意； 若且，则四边形是菱形，故D选项符合题意； 故选：D． 5. 如图为固定电线杆，在离地面高度为7米的A处引拉线，使拉线与地面的夹角为，则拉线的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义列式计算即可． 【详解】解：在中，，， 则（米）， 故选：B． 6. 点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（3，y3）是二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y1＝y3＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y1＜y3＜y2 【答案】C 【解析】 【分析】先确定抛物线的对称轴，然后比较三个点到对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应的函数值的大小． 【详解】二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象的对称轴为直线x＝﹣2， 又a=-1, 二次函数开口向下， ∴x＜-2时，y随x增大而增大，x＞-2时，y随x增大而减小， 而点A（﹣3，y1）到直线x＝﹣2的距离最小，点C（3，y3）到直线x＝﹣2的距离最大， 所以y3＜y2＜y1． 故选：C． 【点睛】此题主要考查二次函数的图像，解题的关键是熟知二次函数的图像与性质. 7. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”.某数学兴趣小组用无人机测量超然楼的高度，测量方案如图2：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得超然楼顶端A的俯角为37°，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行到达Q点，测得超然楼顶端A的俯角为45°，则超然楼的高度约为（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】题目主要考查解直角三角形的应用，理解题意，作出辅助线是解题关键．过点A作于点C，证明为等腰直角三角形，得出，设，则，在中，根据，求出，得出，即可得出答案． 【详解】解：过点A作于点C，如图所示： 则， 由题意得，，， ∵在中，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， 在中，， 解得：， ∴， ∴． 故选：C． 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中m为任意实数）．中正确的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】A 【解析】 【分析】根据图象先判断a、b、c的取值，然后再根据对称轴与图象的交点情况进行等量代换和推理即可． 【详解】由图象可知，图象开口向下， ∴， 抛物线与y轴交于正半轴， ∴， 又对称轴为， ∴，， ∴， ∴，故①正确； 抛物线与x轴交于， ∴， ∴，故②错误； 由二次函数的对称性可知，当时，， 则有，故③正确； ∵，， ∴， 又， ∴ ， 故④错误； 当时，函数值最大，， 而当时，， ∴ ，故⑤错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的性质． 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】列举出所有情况，看在同一辆车的情况数占总情况数的多少即可． 【详解】解：列表如下三辆车分别用1，2，3表示： 1 2 3 1 2 3 所有等可能的情况有9种，其中小明和小慧同车的情况有3种， 则， 故答案为：． 【点睛】此题考查了利用列表法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，得到在同一辆车的情况数是解决本题的关键． 10. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C'的坐标为____． 【答案】（−2，4）或（2，−4） 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或−k，进而得出答案． 【详解】解：∵点A（1，0），B（2，1），C（−1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大， ∴点C对应点C′的坐标为：（−2，4）或（2，−4）． 故答案为：（−2，4）或（2，−4）． 【点睛】此题主要考查了位似图形，正确掌握对应点变化规律是解题关键． 11. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____． 【答案】10 【解析】 【分析】由菱形的性质和勾股定理求出CD＝20，证出平行四边形OCED为矩形，得OE＝CD＝10即可． 【详解】解：∵DEAC，CEBD， ∴四边形OCED为平行四边形， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝6，OB＝OD＝BD＝8， ∴∠DOC＝90，CD＝＝＝10， ∴平行四边形OCED为矩形， ∴OE＝CD＝10， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质以及平行四边形判定与性质等知识；熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解题的关键． 12. 如图，将反比例函数y＝（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，则k＝_____． 【答案】2． 【解析】 【分析】如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H．利用相似三角形的性质表示出点C的坐标，再利用待定系数法解决问题即可． 【详解】如图，连接PC，过C作CH⊥x轴于H． 由题意A（0，），P（﹣2，0），B（﹣4，﹣）， ∴△ABC是等边三角形，PA＝PB， ∴PC⊥AB，∠ACP＝∠BCP＝30°， ∴PC＝PA， ∴∠APC＝∠AOP＝∠PHC＝90°， ∴∠APO+∠CPH＝90°，∠CPH+∠PCH＝90°， ∴∠APO＝∠PCH， ∴△AOP∽△PHC， ∴. ∴PH＝k，CH＝2， ∴OH＝k﹣2， ∴C（k﹣2，﹣2）， ∵点C在y＝﹣上， ∴﹣2（k﹣2）＝﹣k， 解得k＝2， 故答案为2． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 13. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、折叠性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，是综合性强的填空压轴题，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 设，，根据折叠性质得，，过E作于H，设与相交于M，证明得到，进而得到，，证明是等腰直角三角形得到，可得，证明得到，则，根据三角形的面积公式结合已知可得，然后解一元二次方程求解x值即可． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵沿翻折，得到， ∴，， 过E作于H，设与相交于M， 则，又， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，，则， ∴是等腰直角三角形， ∴，则， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵的面积是面积的2倍， ∴，则， 解得，（舍去）， 即， 故答案为：． 三、解答题 14. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）2 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了涉及零指数幂和特殊锐角三角函数值的实数运算，解一元二次方程．（1）先计算零指数幂和特殊锐角三角函数值并正确去绝对值，再进行二次根式的混合运算即可；（2）根据公式法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ∴， ∴，． 15. 某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________； （2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数； （3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率． 【答案】（1）100； （2）估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人 （3）刚好抽中两名同学为一男一女的概率为 【解析】 【分析】本题主题考查了条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、列表法求概率等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用“选择地点B的学生人数其其占比”求解即可；利用“选择地点A的学生占比”求解即可； （2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案； （3）根据题意列表，结合表格即可获得答案． 【小问1详解】 解：此次被调查的学生共有（人）； 研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为． 故答案为：100；； 【小问2详解】 解：（人）， 答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人． 【小问3详解】 解：列表如下： 男1 男2 女1 女2 男1 男1男2 男1女1 男1女2 男2 男2男1 男2女1 男2女2 女1 女1男1 女1男2 女1女2 女2 女2男1 女2男2 女2女1 由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种， 刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）． 答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为． 16. 如图，在中，． （1）按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．） ①在上取一点，使；②作的平分线交于点；③连接． （2）若，，求出（1）中所作的四边形的面积． 【答案】（1） 解：所求图形，如图所示． （2） 【解析】 【分析】（1）①以A为圆心，以长为半径画弧，交于点，则； ②根据角的平分线的基本作图，解答即可； ③用直尺连接． （2）先证明四边形是菱形，再过D作交于G，结合已知，利用菱形的面积公式计算即可． 本题考查了常见的基本作图，菱形的判定和性质，熟练掌握基本作图，菱形的判定是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵根据作图，平分，则， 又，, ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 过D作交于G， 又，， ∴， ， ∴菱形的面积为． 17. 如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点． （1）求双曲线的表达式和a，b的值； （2）请直接写出使得的x的取值范围； （3）若的面积为12，求此时C点的坐标． 【答案】（1），， （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）把点和点代入，求出与的值，再将点坐标代入，即可求出反比例函数解析式； （2）根据与横坐标，利用图象求出反比例函数值大于一次函数值时的范围即可； （3）根据，求出的长，进而得到此时点的坐标． 【小问1详解】 解：直线过点和点， ，， ． 双曲线过点， ， 双曲线的表达式为； 【小问2详解】 观察图象，可得当或时，反比例函数值大于一次函数值， 即使得的的取值范围是或； 【小问3详解】 ，， ， ， ， 此时点的坐标为． 【点睛】此题考查了待定系数法求反比例函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想，正确求出反比例函数解析式是解本题的关键． 18. 某电子器件厂生产一种电脑显卡，2023年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2024年，2025年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2025年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个． （1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率； （2）2025年赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果想要获得最大盈利，每个售价应为多少元？ 【答案】（1） （2）186元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数和一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握一元二次方程和二次函数的最值问题． （1）设平均每年下降的百分率为，利用，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）设单价降低m元，则售价为元，每天销售量为个，每个的销售利润为元，利用总利润每个的销售利润平均每天的销售量，列出关于利润的二次函数，根据二次函数的最值问题求出最大利润时的m值，即可求出答案． 【小问1详解】 解：设平均每年下降的百分率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：平均每年下降的百分率为； 【小问2详解】 解：设单价降低m元，则售价为元，每天销售量为个，每个利润为元， 总利润， 整理得， ∵， ∴y有最大值， 当时，y最大， 售价为（元）， 答：每个售价应为186元． 19. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 【答案】 任务一：直角坐标系： ； 任务二：悬挂点的纵坐标的最小值是；； 任务三：有两种设计方案 方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼． ∵，相邻两灯笼悬挂点的水平间距均为， ∴若顶点一侧挂4盏灯笼，则， 若顶点一侧挂3盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂3盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂7盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为， ∵若顶点一侧挂5盏灯笼，则， 若顶点一侧挂4盏灯笼，则， ∴顶点一侧最多可挂4盏灯笼． ∵挂满灯笼后成轴对称分布， ∴共可挂8盏灯笼． ∴最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标是． 【解析】 【分析】任务一：根据题意，以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，待定系数法求解析式即可求解； 任务二：根据题意，求得悬挂点的纵坐标，进而代入函数解析式即可求得横坐标的范围； 任务三：有两种设计方案，分情况讨论，方案一：如图2（坐标系的横轴，图3同），从顶点处开始悬挂灯笼；方案二：如图3，从对称轴两侧开始悬挂灯笼，正中间两盏与对称轴的距离均为，根据题意求得任意一种方案即可求解． 【详解】任务一：以拱顶为原点，建立如图1所示的直角坐标系，则顶点为，且经过点． 设该抛物线函数表达式为， 则， ∴， ∴该抛物线的函数表达式是． 任务二：∵水位再上涨达到最高，灯笼底部距离水面至少，灯笼长， ∴悬挂点的纵坐标， ∴悬挂点的纵坐标的最小值是． 当时，，解得或， ∴悬挂点的横坐标的取值范围是． 任务三：略 【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意建立坐标系，掌握二次函数的性质是解题的关键． 20. 【问题背景】 （1）如图1，在中，D为上一点，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，，，面积为6，求证：． 【拓展创新】 （3）在中，，面积为，D为外一点，，，直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：过B作于E，如图： ∵， ∴， ∵的面积为6， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）证明即可； （2）过B作于E，证明，进而得到，即可得出结论； （3）过C作交延长线于E，过D作于F，于G，设，根据等腰三角形的性质结合勾股定理得到：；证明四边形为矩形，进而推出为等腰直角三角形，勾股定理得到，联立两个等式，求出的值即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：过C作交延长线于E，过D作于F，于G，如图： 设， ∵， ∴x， 由勾股定理得：①， ∵的面积为， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 整理得：②， 将①代入②中得： ， ∴③， 将③代入①得：， 解得：或， ∵x， ∴， 即． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，含30度角的直角三角形，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，掌握相关判定和性质，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 龙岭初中2025-2026学年第一学期九年级数学 九年级数学 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. C. 且 D. 且 2. 观察如图所示的三种视图，与之对应的物体是( ) A. B. C. D. 3. 如图，与是位似图形，点O为位似中心，且，若的周长为8，则的周长为（ ） A. 4 B. C. 16 D. 32 4. 如图，四边形的对角线，相交于点O，，，则下列说法错误的是（　　） A. 若，则四边形是矩形 B. 若平分，则四边形是菱形 C. 若且，则四边形是正方形 D. 若且，则四边形是正方形 5. 如图为固定电线杆，在离地面高度为7米的A处引拉线，使拉线与地面的夹角为，则拉线的长为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 点A（﹣3，y1），B（0，y2），C（3，y3）是二次函数y＝﹣（x+2）2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　） A. y1＜y2＜y3 B. y1＝y3＜y2 C. y3＜y2＜y1 D. y1＜y3＜y2 7. 济南大明湖畔的“超然楼”被称作“江北第一楼”.某数学兴趣小组用无人机测量超然楼的高度，测量方案如图2：先将无人机垂直上升至距水平地面的P点，测得超然楼顶端A的俯角为37°，再将无人机面向超然楼沿水平方向飞行到达Q点，测得超然楼顶端A的俯角为45°，则超然楼的高度约为（ ） （参考数据：，，） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象如图所示，对称轴为，则下列结论：①，②，③，④，⑤（其中m为任意实数）．中正确的个数是（　　） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5小题，每题3分，共15分） 9. 学校组织秋游，安排给九年级3辆车，小明和小慧都可以从这3辆车中任选一辆搭乘．则小明和小慧同车的概率为___________． 10. 在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（2，1），C（﹣1，2），以原点O为位似中心，位似比为2，把四边形OABC放大，则点C对应点C'的坐标为____． 11. 如图，点O是菱形ABCD对角线的交点，DEAC，CEBD，连接OE，设AC＝12，BD＝16，则OE的长为_____． 12. 如图，将反比例函数y＝（k＞0）的图象向左平移2个单位长度后记为图象c，c与y轴相交于点A，点P为x轴上一点，点A关于点P的对称点B在图象c上，以线段AB为边作等边△ABC，顶点C恰好在反比例函数y＝﹣（x＞0）的图象上，则k＝_____． 13. 如图，，，，，点D，E分别在边上，，连接，将沿翻折，得到，连接，．若的面积是面积的2倍，则______． 三、解答题 14. （1）计算：； （2）解方程： 15. 某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题： （1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________； （2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数； （3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率． 16. 如图，在中，． （1）按如下步骤用直尺（不带刻度）和圆规作图．（要求：保留作图痕迹，不写作法．） ①在上取一点，使；②作的平分线交于点；③连接． （2）若，，求出（1）中所作的四边形的面积． 17. 如图，双曲线与直线交于A，B两点．点和点在双曲线上，点C为x轴正半轴上的一点． （1）求双曲线的表达式和a，b的值； （2）请直接写出使得的x的取值范围； （3）若的面积为12，求此时C点的坐标． 18. 某电子器件厂生产一种电脑显卡，2023年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2024年，2025年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2025年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个． （1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率； （2）2025年赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个，为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果想要获得最大盈利，每个售价应为多少元？ 19. 根据以下素材，探索完成任务． 如何设计拱桥景观灯的悬挂方案？ 素材1 图1中有一座拱桥，图2是其抛物线形桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．据调查，该河段水位在此基础上再涨达到最高． 素材2 为迎佳节，拟在图1桥洞前面的桥拱上悬挂长的灯笼，如图3.为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂点的水平间距均为；为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且挂满后成轴对称分布． 问题解决 任务1 确定桥拱形状 在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的函数表达式． 任务2 探究悬挂范围 在你所建立的坐标系中，仅在安全的条件下，确定悬挂点的纵坐标的最小值和横坐标的取值范围． 任务3 拟定设计方案 给出一种符合所有悬挂条件的灯笼数量，并根据你所建立的坐标系，求出最左边一盏灯笼悬挂点的横坐标． 20. 【问题背景】 （1）如图1，在中，D为上一点，，求证：． 【尝试应用】 （2）如图2，在中，，，面积为6，求证：． 【拓展创新】 （3）在中，，面积为，D为外一点，，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $