精品解析：浙江杭州市文澜中学2026-2027学年上学期九年级第二次考试数学试

文澜中学2026学年初三第二次考试数学试卷 一．选择题（本大题有10小题，每题3分，共30分） 1. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P在内， ∴． 故选：D． 2. 如图，在中，是弦，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等边对等角得到的度数，再由三角形外角的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的度数为． 3. 如图，是一个正六边形果盘的简单示意图，将它绕中心点旋转，当该正六边形果盘第一次与自身重合时，其旋转角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心角等于，是边数，解答即可． 【详解】解：根据题意，得旋转角为：． 4. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 纵坐标相等的两个点在二次函数上关于对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， 关于直线的对称点为， 由表格得时，， 当时，． 5. 如图是二次函数的图象，则，的值可能为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称轴位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点判断的符号． 【详解】解：根据题图可知，抛物线的对称轴在轴右侧，则， 解得， 抛物线与轴的交点在轴上方， 可得， 故选项满足题意． 6. 某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，令，则，求出的值，即可得出点的坐标，从而得解，求出点的坐标是解此题的关键． 【详解】解：在中，令，则， 解得：，（不符合题，舍去）， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据直径所对圆周角是直角得出，进而求出，最后利用同弧所对圆周角相等求解． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵与都是弧所对的圆周角， ∴． 8. 已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先将A、 B两点横坐标代入抛物线解析式，得到 关于n的表达式，再结合 和 的条件列不等式，求出n的取值范围，即可判断符合条件的选项． 【详解】解：∵ 抛物线 经过点 ， ， ∴将 代入解析式得 ， 将 代入解析式得 ， ∵ ， 且 ， ∴ ， ∴ 解得 观察选项，只有符合该范围． 9. 如图，已知的半径为2，，是的弦，是的直径，，弦与交于点E，且点E是的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】连接、，根据垂径定理可得，．根据圆周角定理可得，进而可得．在中，求出的长，再求出的长，即可求出的值． 本题主要考查了垂径定理和圆周角定理，熟练掌握垂径定理和圆周角定理是解题的关键． 【详解】连接、 ∵是的直径, 点E是的中点， ，， ， ， ， ，， ， ， 故选：B． 10. 设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】将代入两个函数得到和的表达式，再结合各选项中，的大小关系，比较和的大小即可得到答案． 【详解】解：依题意，，， ∴ 若， ∵，∴， ∵，，∴，即， ∴，即，C正确，D错误． 若，，，，得，，A错误． 若，，无法确定的正负，无法得到，B错误． 二．填空题（本大题有6小题，每题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为，代入函数解析式即可求出纵坐标得到交点坐标． 【详解】解：∵ 二次函数图象与轴相交时，交点的横坐标为， ∴ 令，代入二次函数解析式， 得， ∴ 二次函数的图象与轴交点坐标是． 12. 如图，开口向上的抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数与一元二次方程的关系，由抛物线与轴交点知方程根为和，且抛物线开口向上，故不等式解集为两根之间，掌握二次函数的图像与性质、二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键． 【详解】解：∵开口向上的抛物线与轴交于点和， ∴方程的根为，， ∴当时，，即， ∴不等式解集为， 故答案为：． 13. 如图是一个圆球漂浮在水面上的平面示意图，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为的半径为3．若点为的最低点，则点到弦所在直线的距离是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，连接，交于点H，结合点为的最低点，得，，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：连接，交于点H，如图所示： ∵点为的最低点， ∴， 即， 依题意，， 在中，， ∴， 即点到弦所在直线的距离是， 故答案为：． 14. 如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可，进而得，然后，再求扇形的面积即可． 【详解】解：如图，连接， ∵在正五边形中， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴． ∴． 15. 如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，则，根据直角三角形的性质和圆内接四边形的性质求出的度数，证明，结合可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴． 16. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点E为上一点，且，垂足为F，点G是线段上一点，且．过点A作的延长线于点M，过点G作的延长线于点N，若，，则为________，的半径为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】设，因为四边形为的内接四边形，所以可求出，可得，可求出，．，由垂径定理得，得，证明，得，，求出，得，得方程，解得．所以可求出，得，即得的半径为． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，则． ∵， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去）或． ∴， ∴， ∴， ∵为的直径，， ∴，则， ∴， 由得， ∴， ∴的半径为． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 已知二次函数． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围__________． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是会由二次函数的顶点式得知二次函数的性质． （1）根据顶点式即可求解； （2）利用开口方向和对称轴及自变量的取值即可求得y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为 【小问2详解】 解：∵，， ∴抛物线开口向上， ∴当时，函数最小值为， ∵ ∴y的取值上界由处的函数值决定， 将代入，得， ∴当时，y的取值范围， 故答案为：． 18. 已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)． （1）求a，b的值； （2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）将点的坐标分别代入解析式即可求得a，b的值； （2）将(5，)，(m，)代入解析式，联立即可求得m的值. 【详解】（1）∵抛物线经过点（1，-2），（-2，13）， ∴，解得， ∴a的值为1，b的值为-4； （2）∵(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点， ∴，解得或（舍去） ∴m的值为-1. 【点睛】本题主要考查二次函数性质，用待定系数法求二次函数，正确解出方程组求得未知数是解题的关键. 19. 已知抛物线的解析式为y=x2-（2m-1）x+m2-m （1）试判断：抛物线与x轴的交点情况，并说明理由； （2）若此抛物线与直线y=x-3m+3的一个交点在y轴上，求m的值． 【答案】（1）抛物线与x轴有两个交点，理由如下： 当y=0时，x2-（2m-1）x+m2-m=0， ∵△， ∴抛物线与x轴有两个交点； （2）m=1或－3. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线与一元二次方程的关系，只要判断当y=0时，方程x2-（2m-1）x+m2-m=0的根的个数即可，即判断此方程的判别式的正负情况； （2）根据y轴上的点的坐标特点可得关于m的方程，解方程即得结果. 【详解】解：（1）略； （2）根据题意，当x=0时，，解得，. 故m=1或－3. 【点睛】本题考查了抛物线与一元二次方程的关系和一元二次方程的解法，熟知抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键. 20. 如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． （1）求的度数； （2）求证：四边形是平行四边形． 【答案】（1） （2）证明：由（1）得：是等边三角形，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴：四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）证明是等边三角形，可得，再由圆内接四边形的性质可得，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，再由圆内接四边形的性质可得，从而得到，即可求证． 【小问1详解】 解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 21. 在矩形中，，，以为直径作半圆（如图1），点P为边上一点．将矩形沿折叠，使得点C的对应点E恰好落在边上（如图2）． （1）求的度数； （2）求阴影部分周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形和折叠的性质可得，再由勾股定理求出的长，即可解答； （2）设阴影部分所在的圆心为O，连接，根据阴影部分周长，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形，， ∴，， 由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，设阴影部分所在的圆心为O，连接， 由（1）得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分周长． 22. 如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，． （1）求证：平分． （2）如图2，延长，相交于点E． ①求证：． ②若，，求的半径． 【答案】（1） 证明∵点C为弧的中点， ∴， ∴，， ∴平分； （2）①证明：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴ ② 【解析】 【分析】(1)由点C为的中点，得，所以，由垂径定理得，即可根据等腰三角形的三线合一证明结论； (2)由直径所对的圆周角为直角得，则，再根据垂径定理得：，得结论；②连接，则，由，，由平行线的性质再证，得，由，得，，求出，设的半径为r，由勾股定理求出符合题意的r值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②如图2，连接，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为r， 则， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴的半径为5． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质、平行线的判定与性质、、勾股定理、一元二次方程的解法，解题的关键是综合运用以上知识解决问题． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点且． （1）求b的值； （2）若该抛物线的顶点在直线上，求此时抛物线的解析式； （3）当抛物线经过时，对于抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有．求a的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）且 【解析】 【分析】（1）利用轴上点横坐标为0，代入抛物线解析式建立方程求解，再结合舍去不符合的解． （2）将求得的代入解析式，写出对称轴并求出顶点纵坐标，根据顶点在直线上列方程求出，进而得到抛物线解析式． （3）先写出含参数的抛物线解析式，结合开口方向、对称轴与自变量范围的位置分类讨论，保证到之间图象上所有点纵坐标大于或等于，确定的取值范围． 【小问1详解】 解： 抛物线交轴于， 将，代入解析式，得 ， ， 解得或． 又， ． 【小问2详解】 解：把代入抛物线解析式，得 ． 对称轴为直线． 把代入解析式， 顶点纵坐标． 顶点在直线上， ， 解得． 抛物线解析式为． 【小问3详解】 解：由（1）得，抛物线解析式为，对称轴是直线． 由题意：当时，恒成立． 点已经满足，只需保证区间内其余点函数值不小于． ① 当，开口向上，，对称轴在轴左侧； 在范围内，随增大而增大，最小值在处，，满足条件，故都符合． ② 当，开口向下，对称轴； 若对称轴落在区间内，顶点是最高点，两端更低，只要处的函数值； 若对称轴在，在上随增大而增大，最小值依然是处的，同样满足． 将代入， ， ， ． 结合，得． 综上，的取值范围是且． 24. 如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连接，在下方，作，连接交于点D，连接、． （1）如图1，若， ①求证：； ②若，，求的长度 （2）如图2，若，时，求证：． 【答案】（1）①证明：∵，， ∴， ∵，， ∴； ② （2）证明：∵， ∴设，则， ∴， ∵， ∴， 取优弧的中点，连接，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）①由和圆周角定理得到，再结合，，证明； ②由得到，，，再利用勾股定理求出，，最后根据，得到，代入计算即可； （2）由，设，则，，取优弧的中点，连接，，则，，即可证明，得到，再求出，得到，，推出，得到． 【小问1详解】 解：①略 ②∵为直径， ∴， ∵，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 文澜中学2026学年初三第二次考试数学试卷 一．选择题（本大题有10小题，每题3分，共30分） 1. 已知的半径为5，点P在内，则的长可能是（　　） A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 2. 如图，在中，是弦，，的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是一个正六边形果盘的简单示意图，将它绕中心点旋转，当该正六边形果盘第一次与自身重合时，其旋转角的大小为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是二次函数的图象，则，的值可能为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 某同学在体育训练中掷出的实心球的运动路线呈如图所示的抛物线形，若实心球运动的抛物线的解析式为，其中是实心球飞行的高度，是实心球飞行的水平距离，则该同学此次掷球的成绩(即的长度)是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是的直径，，，是上的三点，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线 经过点，．若 ，且 ，则的取值可以是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 9. 如图，已知的半径为2，，是的弦，是的直径，，弦与交于点E，且点E是的中点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 设函数，，直线的图象与函数，的图象分别交于点，，得（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二．填空题（本大题有6小题，每题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 12. 如图，开口向上的抛物线与轴交于点和，则不等式的解集为______． 13. 如图是一个圆球漂浮在水面上的平面示意图，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为的半径为3．若点为的最低点，则点到弦所在直线的距离是___________． 14. 如图，正五边形的边长为10，连接，以为直径作，与交于点，与的延长线交于点，则阴影部分扇形的面积为__________． 15. 如图，是的直径，点D是的中点，、的延长线相交于点P．若，，则和之间的数量关系为________________． 16. 如图，四边形为的内接四边形，为的直径，，点E为上一点，且，垂足为F，点G是线段上一点，且．过点A作的延长线于点M，过点G作的延长线于点N，若，，则为________，的半径为________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 已知二次函数． （1）求该抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）当时，请直接写出的取值范围__________． 18. 已知抛物线经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)． （1）求a，b的值； （2）若(5，)，(m，)是抛物线上不同的两点，且，求m的值． 19. 已知抛物线的解析式为y=x2-（2m-1）x+m2-m （1）试判断：抛物线与x轴的交点情况，并说明理由； （2）若此抛物线与直线y=x-3m+3的一个交点在y轴上，求m的值． 20. 如图，四边形内接于，E是延长线上的一点，的延长线交于点F，，． （1）求的度数； （2）求证：四边形是平行四边形． 21. 在矩形中，，，以为直径作半圆（如图1），点P为边上一点．将矩形沿折叠，使得点C的对应点E恰好落在边上（如图2）． （1）求的度数； （2）求阴影部分周长． 22. 如图1，是的直径，点D为下方上一点，点C为弧的中点，连结，，． （1）求证：平分． （2）如图2，延长，相交于点E． ①求证：． ②若，，求的半径． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线，与y轴交于点且． （1）求b的值； （2）若该抛物线的顶点在直线上，求此时抛物线的解析式； （3）当抛物线经过时，对于抛物线在A、B之间的部分图象上的任意一点（包含A、B两点），都有．求a的取值范围． 24. 如图，内接于，为直径，在延长线上取一点E，使得，连接，在下方，作，连接交于点D，连接、． （1）如图1，若， ①求证：； ②若，，求的长度 （2）如图2，若，时，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $