精品解析：浙江省杭州市拱墅区慧澜中学2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试卷

2025年杭州市慧澜中学初三阶段性检测（问卷） 数学 考生须知： ⊙本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． ⊙答题前，必须在答题卷的密封区内填写学校、姓名、学号、考场号、座位号． ⊙所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． ⊙考试结束后，上交答题卷． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 任意掷一枚硬币，正面朝上 B. 若、是实数．则 C. 两数相乘，积为正数 D. 运动员投篮时，连续两次投进篮筐 2. 已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（    ） A. B. C. D. 3. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F，若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 5. 如图，在中，，如果把的各边都扩大到原来的3倍，则的值（ ） A. 扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来的 C. 扩大到原来的2倍 D. 不变 6. 已知、、是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图1是圆形干果盘，其示意图如图2所示，四条隔板，，， 长度相等，横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得，则该干果盘的半径为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在的、边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（ ） A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 9. 如图，将以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转 得到，延长，交于点F，设，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 已知点，，均在二次函数图象上，若，则下列选项不成立的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的对称轴是直线______． 12. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，估计该麦种的发芽概率为________．（精确到0.01） 试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000 发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750 发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0.950 0.950 13. 已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为________． 14. 如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 15. 如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点O落在弧的中点C处．若折痕，则图中阴影部分的面积为______． 16. 如图，在矩形中，点E是上一动点，连接AE，点F为点B关于直线AE的对称点，连接，若，当时，________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1）若，求的值． （2）． 18. 如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 19. 旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位．李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样． A B C 过道 D F （1）“分给李某座位A”是随机事件，这一事件的概率是________； （2）试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率． 20. 如图，为的直径，是弦，且于点．连接，，． （1）求证：． （2）若，求和的长． 21. 如图，某大楼的顶部有一块广告牌，小背在山坡的坡脚A处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度为，米，米． （1）求点B距地面的高度； （2）求广告牌的高度．（结果保留根号） 22. 新年临近，一款马年吉祥物玩具深受大家喜爱，玩具进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元 （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将玩具的销售单价定为多少元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 23. 已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求n的取值范围． 24. 如图，为的直径，弦于点C（C为线段上一点），F为上一点（点C，F均不与端点重合），连接，，射线交于点H，与射线交于点G，且． （1）求证：． （2）若，，求的值． （3）当点B为中点时， ①求证：； ②求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年杭州市慧澜中学初三阶段性检测（问卷） 数学 考生须知： ⊙本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． ⊙答题前，必须在答题卷的密封区内填写学校、姓名、学号、考场号、座位号． ⊙所有答案都必须做在答题卷标定的位置上，务必注意试题序号和答题序号相对应． ⊙考试结束后，上交答题卷． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列选项中的事件，属于必然事件的是（ ） A. 任意掷一枚硬币，正面朝上 B. 若、是实数．则 C. 两数相乘，积为正数 D. 运动员投篮时，连续两次投进篮筐 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据随机事件，必然事件，不可能事件的特点，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、任意掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，故A不符合题意； B、若a、b是实数．则，是必然事件，故B符合题意； C、两数相乘，积为正数，是随机事件，故C不符合题意； D、运动员投篮时，连续两次投进篮筐，是随机事件，故D不符合题意； 故选：B． 2. 已知圆内接四边形中，：：：：则的大小是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形对角互补的性质，结合已知角度比例求解． 【详解】解：圆内接四边形对角互补， ，． ：：：：，设，，． ， 解得． ． 故选：B． 3. 抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求抛物线与y轴的交点坐标，根据抛物线与y轴的交点坐标的横坐标为0进行求解是解题的关键． 【详解】解：在中，当时，， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故选C． 4. 如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交，l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交，l1，l2，l3于点D，E，F，若DE＝3，EF＝6，AB＝4，则AC的长是( ) A. 6 B. 8 C. 9 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】求出DF的长度，由平行线分线段成比例定理得出比例式，即可得出结果． 【详解】∵直线l1∥l2∥l3， ∴， ∵DF＝DE＋EF＝9 ∴AC＝×AB＝12. 故答案选D. 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解决问题的关键． 5. 如图，在中，，如果把的各边都扩大到原来的3倍，则的值（ ） A. 扩大到原来的3倍 B. 缩小到原来的 C. 扩大到原来的2倍 D. 不变 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的相关知识，明确正弦等于对边比斜边是解题的关键． 求出扩大前后的值即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴． 如果把的各边都扩大为原来的3倍， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 6. 已知、、是抛物线上的点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解题的关键．先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据距离对称轴越远的点的纵坐标越大，从而可得答案． 【详解】解：∵抛物线的开口向上，对称轴是直线， ∴距离对称轴越远的点的纵坐标越大， ∵、、是抛物线上的点， 又∵， ∴． 故选：B． 7. 如图1是圆形干果盘，其示意图如图2所示，四条隔板，，， 长度相等，横纵隔板互相垂直交于隔板的三等分点，测得，则该干果盘的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要运用垂径定理和勾股定理求解．过点O作于点K，连接， 由垂径定理求出，根据题意再求出，最后利用勾股定理即可计算圆的半径． 【详解】解：如图，过点O作于点K，连接， 则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 则该干果盘的半径为． 故选∶A． 8. 如图，在的、边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（ ） A. 0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图——作已知线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，作已知角的平分线，圆内接四边形性质，相似三角形的判定等知识，综合性强﹒①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形，证明，结合，即可证明；②由尺规作图可得，结合，即可证明；③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线，证明，得到，即可证明﹒ 【详解】解：①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由尺规作图可得， 又∵， ∴； ③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 即正确的有3种． 故选：D． 9. 如图，将以直角顶点C为旋转中心，按顺时针方向旋转 得到，延长，交于点F，设，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要运用图形旋转的性质、直角三角形的性质以及锐角三角函数的定义来求解．先根据正切函数定义设，则，再利用旋转性质得到相关线段和角的关系，证明三角形为直角三角形后，通过正弦函数建立等式求解． 【详解】解：在中，， 设，则， 由旋转的性质得∶，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴和都是直角三角形， 在中，， 在中，， ∵， ∴， ∴ 故选∶D． 10. 已知点，，均在二次函数图象上，若，则下列选项不成立的是（ ） A. 若且，则 B. 若且，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数的顶点式，以及二次函数的对称轴与顶点坐标，解决本题的关键是求解出该函数的顶点式，并分析各点的特征． 由二次函数解析式可得对称轴为，且顶点纵坐标为，结合可知点为顶点，即，根据二次函数的性质，函数值的大小与点到对称轴的距离有关，依此分析各选项即可． 【详解】解：∵函数， ∴对称轴为，顶点纵坐标为， 即顶点坐标为， ∵， ∴点为顶点，即， 选项A：若且，则函数图像开口向下，函数值越小则离对称轴越远， ∴，即，成立； 选项B：若且，则函图像象开口向上，函数值越大则离对称轴越远， ∴，即，但选项结论为，不成立； 选项C：若，即， 则有两点关于对称轴对称，即，成立； 选项D：若，即， ∵，，则，成立． 故选：B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数(a，h，k为常数，)的性质，是抛物线的顶点式，a决定抛物线的形状和开口方向，其顶点是，对称轴是直线．已知抛物线方程为顶点式，可直接得出对称轴． 【详解】解：抛物线是顶点式形式，其中，，， 因此对称轴是直线． 故答案为． 12. 在同样条件下对某种小麦种子进行发芽试验，统计发芽种子数，获得如下频数表，估计该麦种的发芽概率为________．（精确到0.01） 试验种子数n（粒） 5 100 500 1000 3000 5000 发芽频数m 4 92 476 951 2851 4750 发芽频率 0.800 0.920 0.952 0.951 0.950 0.950 【答案】0.95 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率－所求情况数与总情况数之比． 【详解】观察发现：随着大量重复试验，发芽频率逐渐稳定到常数 0.95 附近，所以该麦种的发芽概率约为 0.95 ．故选C． 13. 已知点是线段的黄金分割点，，则线段的长为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， ， 故答案为：． 14. 如图，函数与的图象交于，两点，则关于x的不等式的解集是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解即可． 【详解】解：∵函数与的图象交于，两点， ∴由函数图象可知：关于x的不等式（即）的解集是或； 故答案为或． 15. 如图，在扇形中，，将扇形进行折叠，使点O落在弧的中点C处．若折痕，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定和性质，扇形面积的计算，不规则图形面积的计算，掌握正方形的判定方法和性质，不规则图形面积的计算方法是解题的关键． 连接，由于点为弧的中点，结合垂径定理，可证四边形为正方形，故，根据面积计算公式代入公式求值即可． 【详解】解：连接，如下图所示： ∵点为弧的中点，结合垂径定理， ∴垂直平分， ∴，， 又∵折叠的性质，故，， ∴，故四边形为菱形， 又∵， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，点E是上一动点，连接AE，点F为点B关于直线AE的对称点，连接，若，当时，________． 【答案】或 【解析】 【详解】过点作的垂线，交于点，交与点， 设，，则． (1)如解图①，在中，，则， 在中，，则， 解得：，，∴，，， ∵，∴， ∵，∴， 又∵， ∴△∽△， ∴，∴，∴， ∴； (2)如解图②，在△中，，则， ∴在中，，则， 解得：，．∴，，． 同理可得， ∴，∴， ∴，∴． 综上所述，当时，或． 三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17. 计算： （1）若，求的值． （2）． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键． （1）设，代入计算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再根据二次根式的运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴设， ∴； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，在中，是角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解：是角平分线， ， 又， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据两组角分别相等的三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ． 19. 旅客在某网站购高铁票，系统会随机分配座位．李某和张某打算购票，如图所示一排中座位编号为A，B，C，D，F，若系统已将两人分配到同一排，在同一排分配各个座位的概率一样． A B C 过道 D F （1）“分给李某座位A”是随机事件，这一事件的概率是________； （2）试用列表法或画树状图法求分给这两人相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，树状图求概率： （1）根据事件的分类进行判断，概率公式进行计算即可； （2）画出树状图，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：“分给李某座位A”是随机事件； 分给李某座位有5种等可能情况，其中分给李某座位A的概率为； 【小问2详解】 根据题意画树状图如下： 共有种等可能情况，其中相邻座位的情况数有种， ∴分给李某和张某相邻座位（过道两侧座位C，D算相邻）的概率是． 20. 如图，为的直径，是弦，且于点．连接，，． （1）求证：． （2）若，求和的长． 【答案】（1） 证明：为的直径，是弦，且， ， ， ， ， ； （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理、相似三角形的判定与性质、勾股定理． (1)根据垂径定理可知，根据圆周角定理可知，根据等角对等边可知，等量代换可证结论成立； (2)根据垂径定理可知，利用勾股定理可以求出，再利用相似三角形的性质可得，从而可求的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：为的直径，是弦，且， ， ， ， ， ， 为的直径， ， ，， ， ， ， ． 21. 如图，某大楼的顶部有一块广告牌，小背在山坡的坡脚A处测得广告牌底部的仰角为，沿坡面向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为．已知山坡的坡度为，米，米． （1）求点B距地面的高度； （2）求广告牌的高度．（结果保留根号） 【答案】（1）米； （2）宣传牌高约米． 【解析】 【分析】（1）过B作于H．分别在中，通过解直角三角形求出； （2）在中，，解直角三角形求得的长，在解直角三角形求出的长，然后根据即可求出宣传牌的高度． 【小问1详解】 解：过B作于H， 中，， ∴， ∴米； 【小问2详解】 解：∵， ∴四边形是矩形． ∵由（1）得：米， ∴米， 中，， ∴． 中，，米， ∴米． ∴（米）． 答：宣传牌高约米． 【点睛】此题综合考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． 22. 新年临近，一款马年吉祥物玩具深受大家喜爱，玩具进价元，规定销售单价不低于元，且不高于元．某商户在销售期间发现，当销售单价定为元时，每天可售出个，销售单价每上涨元，每天销量减少个，现商家决定提价销售，设每天销售量为个，销售单价为元 （1）直接写出与之间的函数关系式和自变量的取值范围； （2）将玩具的销售单价定为多少元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大？最大利润是多少元？ （3）该商户从每天的利润中捐出元做慈善，为了保证捐款后每天剩余利润不低于元，求销售单价的范围． 【答案】（1） （2） 将玩具的销售单价定为元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大，最大利润是元 （3） 捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是 【解析】 【分析】本题考查了一次函数、二次函数以及一元二次不等式： （1）根据已知条件写出关系式； （2）根据题意得到利润与销售单价之间的函数关系式，再求出最大利润； （3）根据题意列不等式，求解不等式，再结合的范围即可． 【小问1详解】 解：根据题意得， 规定销售单价不低于元，且不高于元， ， 即． 【小问2详解】 解：根据题意得， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，有最大值，最大值为． 答：将玩具的销售单价定为元时，商家每天销售玩具获得的利润元最大，最大利润是元． 【小问3详解】 解：根据题意可知剩余利润为元， 捐款后每天剩余利润不低于元， ， 即， 解得， ， ． 答：捐款后每天剩余利润不低于元，销售单价的范围是． 23. 已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点，对称轴为直线． （1）求二次函数的表达式； （2）若点向上平移4个单位长度，向左平移个单位长度后，恰好落在的图象上，求m的值； （3）当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求n的取值范围． 【答案】（1） （2）7 （3） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数关系式，点的平移，二次函数图象的性质，解答本题的关键是熟练运用分类讨论的思想解决问题． （1）将点A的坐标和对称轴代入二次函数中，即可求解； （2）表示出平移后的点B的坐标，再代入关系式，求出m的值； （3）先求出二次函数的对称轴，得到函数的增减性，再分三种情况，然后分别求出对应的最大值与最小值，结合题意列出方程求解判断． 【小问1详解】 解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线， 解得． 二次函数的表达式． 【小问2详解】 解：点向上平移4个单位长度，向左平移个单位长度， 平移后的点为，即． 点两次平移后落在的图象上， ． 整理得． 解得，． ， ． 【小问3详解】 解：， 抛物线开口向上，顶点坐标为． 对称轴为直线， 当，y随x的增大而减小；当，y随x的增大而增大． 当时，． 分三种情况： 当时， y随x的增大而减小； 当时，y的值最大，即最大值为； 当时，y的值最小，即最小值为． 二次函数的最大值与最小值的差为4， ，解得． 当时，则时，y的值最大，即最大值为； 当时，y的值最小，即最小值为． 此时二次函数的最大值与最小值的差为，符合题意； 当时，则时，y的值最小，为， 当时，y的值最大，即最大值为， 二次函数的最大值与最小值的差为4， ． 解得，． ， 不符合题意，舍去． 综上，n的取值范围． 24. 如图，为的直径，弦于点C（C为线段上一点），F为上一点（点C，F均不与端点重合），连接，，射线交于点H，与射线交于点G，且． （1）求证：． （2）若，，求的值． （3）当点B为中点时， ①求证：； ②求的值． 【答案】（1） 解：∵弦于点C， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） （3）①证明；如图所示，连接， ∵为的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵点B为中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴设，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ② 【解析】 【分析】此题考查了垂径定理，等腰三角形的性质和判定，解直角三角形，相似三角形的性质和判定． （1）首先由垂径定理得到垂直平分，得到，，然后结合等量代换得到，即可求出； （2）首先求出，设，则，然后根据勾股定理求出，得到，进而求解即可； （3）①连接，根据题意证明出是的中位线，得到，，证明出，得到，设，则，表示出，进而得到，，然后证明出； ②根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ①略 ②解：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $