精品解析：浙江杭州市上城区采荷实验学校2026-2027学年九年级上学期10月学情自测数学试卷

2026学年第一学期九年级数学课堂练习 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知二次函数，当时，函数值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，将代入二次函数解析式，即可求出函数值． 【详解】解：当时，， 故选：C． 2. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】点在圆内，点到圆心的距离小于半径， 又因为圆的半径为6， 所以OP的长小于6， 因为5＜6，所以选项A符合题意， 故选A 3. 小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直径是圆中最长的弦，确定弦长的取值范围后判断选项． 【详解】解：∵圆的半径为， ∴圆的直径为 ∵圆中最长的弦是直径， ∴弦的长度取值范围是， ∵， ∴测量结果不可能是． 4. 如图，在中，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，解此题的关键是熟练掌握圆心角、弧、弦的关系．根据圆心角、弧、弦的关系得出，，，即可得出选项． 【详解】解：， ， ， 即， ， 和无法确定相等， 无法判断， 故选：D． 5. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 6. 如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆心角定理可得，再根据，可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 7. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D可能正确，B,C不符合舍去，然后对A,D选项，根据二次函数的图象确定a和b的符号，然后根据一次函数的性质看一次函数图象的位置是否正确，若正确，说明它们可在同一坐标系内存在． 【详解】解：由二次函数的解析式可知，二次函数图象经过原点，则只有选项A,D符合，B,C不符合舍去， A、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＞0，再根据>0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第一、三、四象限，所以A选项正确； D、由二次函数y=ax2+bx的图象得a＜0，再根据<0得到b＜0，则一次函数y=ax+b经过第二、三、四象限，所以D选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象：二次函数的图象为抛物线，可能利用列表、描点、连线画二次函数的图象．也考查了二次函数图象与系数的关系． 8. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二次函数对称轴公式求出对称轴，结合图象读出较小根的范围，利用两根关于对称轴对称的性质求出较大根的范围． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， 设的两个根分别为，，且， 根据函数图象有：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度随着时间的增大而减小． 其中正确的结论是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①② 【答案】B 【解析】 【分析】将解析式配方为顶点式，结合代入计算、函数最值与增减性判断结论． 【详解】解：①当时，，故①正确； ②， ∵，∴当时，有最大值，故②错误； ③∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故③正确， 综上，正确结论为①③． 10. 二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是【 】 A. 0＜t＜1 B. 0＜t＜2 C. 1＜t＜2 D. ﹣1＜t＜1 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】∵二次函数y=ax2+bx+1的顶点在第一象限，且经过点（﹣1，0）， ∴a﹣b+1=0，a＜0，b＞0， ∵由a=b﹣1＜0得b＜1，∴0＜b＜1①， ∵由b=a+1＞0得a＞﹣1，∴﹣1＜a＜0②． ∴由①②得：﹣1＜a+b＜1．∴0＜a+b+1＜2，即0＜t＜2． 故选B． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知抛物线的对称轴为直线_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数对称轴公式代入系数计算即可. 【详解】解：对于抛物线解析式，可得，， 根据二次函数对称轴公式，代入得： 因此抛物线的对称轴为直线. 12. 如图，是的直径，，，则的度数是______． 【答案】##71度 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本性质，利用邻补角求角度；可求，从而可求，根据同弧或等弧所对的圆心角相等，是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 13. 二次函数的图象向右平移1个单位，得到图象对应的函数表达式是_________ 【答案】 【解析】 【分析】利用二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”，向右平移需对自变量做减变换． 【详解】解：原函数表达式为，将图象向右平移1个单位，根据平移规律，给自变量减去平移的单位数1， 因此得到的新函数表达式为． 14. 已知为上三个不同的点，且，则的度数是_________． 【答案】或 【解析】 【分析】点的位置未确定，需分点在优弧和点在劣弧两种情况，根据圆周角度数等于所对弧度数的一半计算． 【详解】解：∵点是上任意不同于的点，位置不确定，分两种情况讨论 ①当点在优弧上时， ∵圆周角的度数等于它所对弧度数的一半， ∴ ②当点在劣弧上时 ∵所对的弧为优弧，优弧的度数为 ∴ 综上，的度数为或 15. 对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知：_________，_________． 1 【答案】 ①. ②. 3 【解析】 【分析】先将表格的自变量和函数值转化为点的坐标，然后根据函数的对称性直接写出每个字母的值即可． 【详解】和对称轴都为轴， 可将表格中的数表示为坐标 两点纵坐标相等，且 横坐标关于轴对称 故答案为：；3 【点睛】此题考查二次函数的图像和性质，解题关键是纵坐标相同的不同点关于对称轴对称． 16. 已知在中，，，，D是边上的一个动点， 以为直径作， 分别交、于点E、F， 连接， 则线段长度的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，30度所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键．连接、，过点作于点，由圆周角定理可得，可判断三角形是等腰直角三角形，从而，当最小时最小，的最小值为边上的高，接着先求，然后利用勾股定理求得，代入可得的最小值． 【详解】解：在中，，，， 则， 连接、，过点作于点，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴三角形是等腰直角三角形， ∴， ∴当最小时，的值最小，即当时，取最小值，最小值为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 已知抛物线过点，，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点在该抛物线上，求点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为和 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）将点代入抛物线的解析式计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点，，， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点在该抛物线上， ∴， 解得或， ∴点的坐标为和． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点、、． （1）利用网格线画出经过，，三点的圆弧所在圆的圆心（保留痕迹），且点的坐标为_________； （2）的半径为_________，的度数为_________． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）作、的垂直平分线，它们的交点就是圆心； （2）利用网格特点，结合勾股定理求出半径，再利用勾股定理的逆定理即可得到． 【小问1详解】 解：图略，点的坐标为； 【小问2详解】 解： ∵，，， ∴，的半径为， ∴． 19. 如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． （1）根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式． （2）若实心球落地点为，求的长． 【答案】（1）建立平面直角坐标系如图：； 抛物线解析式为： （2） 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点，射线方向为轴正半轴，射线方向为轴正半轴，建立平面直角坐标系，设抛物线为，把点，代入即可求出解析式； （2）当时，求得的值，即的长． 【小问1详解】 解：建立平面直角坐标系如图， ∵出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． ∴设抛物线解析式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：当时，， 解得：（舍去），， 即的长为． 20. 如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． （1）求证：为中点； （2）求的长． 【答案】（1）证明：∵是的直径， ∴即， ∵， ∴， ∴，即为中点； （2） 【解析】 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得，结合已知可得，根据垂径定理即可得证； （2）先根据得，接着设，在中根据勾股定理进行列式，得，解出，从而可由三角形中位线的性质推出，最后在中利用勾股定理即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， 设， 则， 在中，， ∴， 解得， ∴，， ∴ ∵是直径， ∴， ∴在中，． 21. 如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）当时，，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数与方程的关系，当时，求解一元二次方程，即可得出抛物线与x轴的两个交点，然后将点A代入一次函数解析式即可确定的值； （2）根据，，结合图象，即可确定的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，， 解得：，， ∴抛物线与x轴交于，． ∵直线经过A点， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，， 当或时，抛物线在直线的上方， ∴当时，或． ∵当时， ∴ 22. 如图1，、为中的两条弦，于，连接并延长交于B，连接，． （1）求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，若，，，求的长． 【答案】（1） 证明：如图1，连接，， 由题可知，是的直径， ，即， ，， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，易证，根据圆周角定理，，，可证，再根据，即可求证； （2）连接、，根据题意可得，，从而求出，即和为等腰直角三角形，根据勾股定理计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图2，连接、， ，， ， ， ， ， ，， ， 和为等腰直角三角形， ，， 在中，， 则，解得， ， ， 在中，， 则， ． 23. 二次函数的图象与轴交于点且． （1）当，且时， ①求的值，并写出函数图象的顶点坐标； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，求的值； （2）若，求证：． 【答案】（1）①，函数图象的顶点坐标为； ②的值为； （2）证明：∵ 二次函数的图象与轴交于点． ∴ 是一元二次方程的两个不相等的实数根． 由根与系数的关系得：，． ∵ ． ∴ ，解得． ∴ ． ∴ ． ∴ ． ∵ ． ∴ ． ∴ ． 即． 【解析】 【分析】（1）①利用待定系数法解答即可；②利用抛物线的性质求得最小值，再利用题意列方程解答即可； （2）利用一元二次方程根与系数的关系定理求得，再利用配方法解答即可． 【小问1详解】 解：①二次函数的图象与轴交于点，， ， ， ． ∴二次函数的解析式为， ∴抛物线的顶点坐标为； ②由上一小问得二次函数的解析式为， 当时，有最小值为， 当时，，， 时的值不是最大值， 时的值是最大值，最大值为， ， ， 解得：． ， ，． 【小问2详解】 略 24. 随着电动汽车充电网络日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．电动汽车快充的充电量不会随着充电时间的增加而匀速增加，而是分为四个阶段：第一阶段，充电功率从一个较低的值迅速升至车辆允许的峰值功率；第二阶段，（电池管理系统）允许充电桩以车辆能接受的最大功率进行充电；第三阶段，为保护电池免受损害，会指令充电桩逐步降低充电功率；第四阶段，为了最大限度保持电池寿命，充电功率会断崖式下跌，并持续降低． 下面是某电动汽车车主张先生在车辆使用过程中记录的信息． 信息1：电动汽车快充时，累计充电时间t（）与汽车仪表盘显示的电量e（%）的关系． 汽车仪表盘显示的电量e（%） 0 20 30 50 60 70 80 90 100 累计充电时间t（） 0 5 8 17 22 29 38 50 94 信息2：电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（）与电量e（%）的关系． （1）通过分析信息1中的数据，发现可以用函数刻画t与e的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； 根据以上信息中的数据和函数图象、解决下列问题（注：行驶中不考虑其他影响耗电的因素）： （2）张先生的电动汽车每消耗的电量可行驶______； （3）张先生驾驶电动汽车前往某地、途经A、B两个服务区，其中A服务区到目的地的路程为，B服务区到目的地的路程为，这两个服务区都有电动汽车快充充电桩，到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为． ①若张先生计划在A服务区一次性充电若干时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则张先生在A服务区的充电时间为______； ②若张先生计划在A、B两个服务区都充电，在其他地方不再充电，到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量均不低于，则张先生在A，B两个服务区的充电时间之和最少为______（精确到个位）． 【答案】（1）解：如图：； （2）60；（3）①86；②49． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用． （1）根据表格描点连线即可； （2）根据信息2的图计算即可； （3）①先A服务区到目的地的路程用电，再求出在A服务区充电结束时电量，进而根据信息1的表格作答即可； ②由（1）可知显示的电量和累计充电时间之间的函数关系式为二次函数关系式，求出关系式，由（1）中图可知电量越少充电越快，则两次充电时间均使得到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量为，结合（1）中表格计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由信息2可知，满电量可行驶，且可行驶里程和显示的电量成正比例关系， ∴张先生的电动汽车每消耗的电量可行驶． 故答案为：； （3）解：①∵A服务区到目的地的路程为， ∴A服务区到目的地的路程用电， ∵到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为， ∴在A服务区充电结束时电量为， ∵到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为， ∴在A服务区的充电时间为， 故答案为：； ②由（1）可知显示的电量和累计充电时间之间的函数关系式为二次函数关系式， 设显示的电量和累计充电时间之间的函数关系式为， 将，，代入得： 解得： 即显示的电量和累计充电时间之间的函数关系式为， ∵A服务区到目的地的路程为，B服务区到目的地的路程为， ∴A服务区到B服务区的路程为， ∴A服务区到B服务区的路程用电，B服务区到目的地的路程用电， ∵由（1）中图可知电量越少充电越快， ∴两次充电时间均使得到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量为， 则在B服务区充电结束时电量为， 当时，， ∵到达B服务区时电量为， ∴在B服务区的充电时间为， ∵A服务区到B服务区的路程用电，到达B服务区时电量为， ∴在A服务区充电结束时电量为， ∵到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为， ∴在A服务区的充电时间为， 即在A，B两个服务区的充电时间之和最少为． 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学课堂练习 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知二次函数，当时，函数值是（ ） A. B. C. 0 D. 1 2. 若⊙O的半径为6，点P在⊙O内，则OP的长可能是（  ） A. 5                                            B. 6                                            C. 7                                            D. 8 3. 小明在半径为的圆中测量弦的长度，测量结果不可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，都是的半径，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与二次函数在同一坐标系中的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的图象及局部细节如图中所示，则关于x的方程的较大的根的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度与小球运动时间之间的关系式是．有下列结论： ①小球运动时间是时，高度为； ②小球运动中高度可以是； ③当时，高度随着时间的增大而减小． 其中正确的结论是（ ） A. ① B. ①③ C. ②③ D. ①② 10. 二次函数y=ax2+bx+1（a≠0）的图象的顶点在第一象限，且过点（﹣1，0）．设t=a+b+1，则t值的变化范围是【 】 A. 0＜t＜1 B. 0＜t＜2 C. 1＜t＜2 D. ﹣1＜t＜1 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知抛物线的对称轴为直线_________． 12. 如图，是的直径，，，则的度数是______． 13. 二次函数的图象向右平移1个单位，得到图象对应的函数表达式是_________ 14. 已知为上三个不同的点，且，则的度数是_________． 15. 对于二次函数和，其自变量和函数值的两组对应值如表所示（其中a、b均不为0，），根据二次函数图象的相关性质可知：_________，_________． 1 16. 已知在中，，，，D是边上的一个动点， 以为直径作， 分别交、于点E、F， 连接， 则线段长度的最小值为_______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17. 已知抛物线过点，，． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若点在该抛物线上，求点的坐标． 18. 如图，在平面直角坐标系中，点、、． （1）利用网格线画出经过，，三点的圆弧所在圆的圆心（保留痕迹），且点的坐标为_________； （2）的半径为_________，的度数为_________． 19. 如图，嘉嘉同学投掷实心球，出手（点 处）的高度 是，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是，高度是． （1）根据题意，请你建立合适的平面直角坐标系，并求出这段抛物线对应的函数解析式． （2）若实心球落地点为，求的长． 20. 如图，为的一条弦，连接并延长交于点，为上一点，连接，交于点，连接．若，且． （1）求证：为中点； （2）求的长． 21. 如图，二次函数的图象与轴交于点（在的左侧），与一次函数的图象交于两点． （1）求的值； （2）当时，，求的取值范围． 22. 如图1，、为中的两条弦，于，连接并延长交于B，连接，． （1）求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，若，，，求的长． 23. 二次函数的图象与轴交于点且． （1）当，且时， ①求的值，并写出函数图象的顶点坐标； ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为3，求的值； （2）若，求证：． 24. 随着电动汽车充电网络日趋完善，便捷的出行方式让越来越多的人青睐电动汽车．电动汽车快充的充电量不会随着充电时间的增加而匀速增加，而是分为四个阶段：第一阶段，充电功率从一个较低的值迅速升至车辆允许的峰值功率；第二阶段，（电池管理系统）允许充电桩以车辆能接受的最大功率进行充电；第三阶段，为保护电池免受损害，会指令充电桩逐步降低充电功率；第四阶段，为了最大限度保持电池寿命，充电功率会断崖式下跌，并持续降低． 下面是某电动汽车车主张先生在车辆使用过程中记录的信息． 信息1：电动汽车快充时，累计充电时间t（）与汽车仪表盘显示的电量e（%）的关系． 汽车仪表盘显示的电量e（%） 0 20 30 50 60 70 80 90 100 累计充电时间t（） 0 5 8 17 22 29 38 50 94 信息2：电动汽车行驶过程中汽车仪表盘显示的可行驶里程s（）与电量e（%）的关系． （1）通过分析信息1中的数据，发现可以用函数刻画t与e的关系，在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象； 根据以上信息中的数据和函数图象、解决下列问题（注：行驶中不考虑其他影响耗电的因素）： （2）张先生的电动汽车每消耗的电量可行驶______； （3）张先生驾驶电动汽车前往某地、途经A、B两个服务区，其中A服务区到目的地的路程为，B服务区到目的地的路程为，这两个服务区都有电动汽车快充充电桩，到达A服务区时汽车仪表盘显示的电量为． ①若张先生计划在A服务区一次性充电若干时间，在其他地方不再充电，且他到达目的地时汽车仪表盘显示的电量恰好为，则张先生在A服务区的充电时间为______； ②若张先生计划在A、B两个服务区都充电，在其他地方不再充电，到达B服务区和目的地时汽车仪表盘显示的电量均不低于，则张先生在A，B两个服务区的充电时间之和最少为______（精确到个位）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $