北京市中关村中学2026-2027学年学高三上学期10月月考数学试题

2026北京中关村中学高三10月月考 数 学 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1．设集合，，则集合（ ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，下列选项中能使既是奇函数又是增函数的是（ ）A． B． C． D． 4．设，，，其中，则（ ） A． B． C． D． 5．如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则（ ） A． B． C． D． 6．函数与函数（）的图象所有交点的横坐标之和等于（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．已知，，则“存在使得”是“”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．某校高一年级男生人数多于女生人数，在选科后选报物理方向的人数多于历史方向的人数，则（ ） A．物理方向的男生多于物理方向的女生 B．历史方向的女生多于历史方向的男生 C．物理方向的女生多于历史方向的男生 D．物理方向的男生多于历史方向的女生 9．在量子计算研发中，某量子计算机处理任务的时间（单位：秒），其中为常数，是量子比特的数量．已知当量子比特数量从增加到个时，处理时间增加了10秒；当量子比特数量从个增加到个时，处理时间增加了34秒，则（ ） A． B． C． D． 10．已知数列满足（），为的前项积，则下列结论中错误的是（ ） A．当时，是等比数列 B．当时，存在，使得当时 C．当时， D．当时， 二、填空题：本题共5小题，每题5分，共25分． 11．函数的定义域是 ． 12．已知等差数列的前项和为，，则 ． 13．已知向量，单位向量，向量满足，则的一个取值为 ． 14．已知函数的图象上存在，两点，记直线的方程为，若直线恰为曲线的一条切线（，为切点），且（为的定义域），则称函数为“切线支撑”函数． （1）若函数是“切线支撑”函数，写出一组点，的坐标 ． （2）已知为“切线支撑”函数，则实数的取值范围是 ． 15．已知函数．给出下列四个结论： ①当时，在区间上单调递增； ②对任意实数，都没有最小值； ③当时，设的零点从大到小依次为，，则对任意正整数，都有； ④对任意实数，，存在实数，当时，恒有． 其中所有正确结论的序号为 ． 三、解答题：本题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本题13分）已知等差数列的公差为，前项和，满足，，且，，成等比数列． （I）求数列的通项公式； （II）记，求数列的前项和． 17．（本题13分）已知函数（），从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在且唯一确定． （I）求的值； （II）若不等式在区间内有解，求的取值范围． 条件①：； 条件②：的图象可由的图象平移得到； 条件③：在区间内无极值点，且． 注：如果选择的条件不符合要求，得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 18．（本题14分）已知函数 （1）当时， ①求的单调区间； ②求在区间上的最小值与最大值； （2）若在区间上不单调，求的取值范围． 19．（本题15分）一般太空运输飞船执行星际物资运送任务，规划的自动巡航路线为折线、飞船先由点跃迁至中转站，到达点后调整航向沿继续航行，两段航线、夹角．在实际航行中，飞船飞行至点时，探测到距离点的点处突然爆发一能量风暴能量风暴覆盖的范围为危险区域（为边界），其半径逐步扩张．为避开危险，飞船立刻在点转向，时调整为沿直线飞往航线上的点降落避险．已知避险航线与原航线的夹角为，飞船以的速度从点出发在航线上飞行到达点 （1）飞船在点观测，两个目标，测得视角，求的值； （2）已知能量风暴半径．规定：飞船距离风暴中心的距离视为安全航行．试通过计算判断飞船在避险航线上能否全程安全航行？ 20．（本题15分）已知函数，，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）是否存在，使得不等式恒成立，若存在，求出的所有值；不存在，请说明理由． 21．（本题15分）已知为大于0的偶数，集合 ．给定项数为的有限数列 ：，，，，对于集合中任意元素，记． （1）若，数列：，，，，写出的所有可能值． （2）对于各项均为正数的数列：，，，，证明：存在，使得 ． （3）对于各项均为正数的数列：，，，和：，，，，证明：存在，使得，同时成立． 学科网（北京）股份有限公司 $