精品解析：北京市第十九中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

北京市第十九中学2026-2027学年度高三年级第一次月考 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可知，再由补集以及交集定义可得结果. 【详解】由题可知， 易知，所以. 故选：D 2. 设复数在复平面内对应的点位于第三象限，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】设，利用复数的乘法化简复数，结合复数的几何意义可得结论. 【详解】根据题意，设，则，且，， 故复数在复平面内对应的点位于第四象限. 3. 已知实数满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由可知A正确；通过反例可知BCD错误. 【详解】对于A，（当且仅当时取等号），，A正确； 对于B，当，时，，B错误； 对于C，当，时，，，则，C错误； 对于D，当，时，，，则，D错误. 故选：A. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数及对数函数的单调性比较指数幂及对数式的大小. 【详解】因为，，， 所以. 故选：B. 5. 若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入如图所示的容器，则容器中水的高度h与时间t的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据容器的三部分结构，分析注水后水面高度的增长速度情况，结合各选项逐一判断即得. 【详解】从如图所示的容器来看，当开始注入水后，先慢慢填满一个上底面较小的圆台，再经过一个与上底面同大底面的圆柱，最后进入一个上底面较大的圆台，故当水以恒速注入此容器后，水面的高度会出现先快速增加，再匀速增加，最后缓慢增加的过程. 对于A，图象呈现先匀慢速再匀快速最后又匀慢速上升的过程，故不合题意； 对于B，图象呈现先快速再匀速最后慢速上升的过程，故符合题意； 对于C，图象仅呈现先快速再慢速上升的过程，故不合题意； 对于D，图象呈现先慢速再匀速最后快速上升的过程，显然不合题意. 故选：B. 6. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理得，利用余弦定理可求出的值，然后利用三角形的面积公式可求得的面积. 【详解】，，又，， 由余弦定理可得，可得， 所以，的面积为. 故选：B. 【点睛】本题考查三角形面积的计算，同时也考查了余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 7. 已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算，向量的模，向量的数量积，建立方程，分析方程的解的个数即可得出答案. 【详解】当 时，，有无数组解，故A错误； 当时，，因为， 所以，当且仅当时，等号成立， 故方程有且仅有一组解，故B正确； 当时，，当或时方程成立，方程有无数组解，故C错误； 当时，即，即，方程有无数组解，故D错误. 故选：B 8. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天就是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少30%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂排放的废气达标，那么废气排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：，） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得到不等式，解不等式，求出答案. 【详解】当过滤的次数为时，废气中该污染物的含量为， 故，即，两边取对数得， 即，解得， 故废气排放前需要过滤的次数至少为5次. 故选：D 9. 若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，按公比的取值情况，结合单调性探讨等价条件，再利用充要条件的定义判断. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由数列存在负数项，得或， 数列有最小项，当时，， 若，则单调递增，随着的增大，无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 若，，数列是常数列，有最小项； 若，则单调递减，随着的增大，正数无限减小，有最小项， 因此； 当时，数列的项正负相间，若，则单调递增，随着的增大， 无限增大，趋近于正无穷大，无最小项； 当时，，数列有最小项； 当时，，单调递减，随着的增大，正数无限减小， 有最小项或，因此， 于是数列有最小项等价于； 数列有最大项：，数列是等比数列， 当时，无最大项，数列无最大项； 当时，，数列有最大项； 当时，单调递减，随着的增大，正数无限减小，数列有最大项， 因此数列有最大项等价于， 所以“数列有最小项”是“数列有最大项”的充分必要条件. 故选：C 10. 如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，建立直角坐标系，利用坐标法求解即可. 【详解】解：如图，以点为坐标原点，建立平面直角坐标系，设，， 因为，， 所以， 所以，， 所以， 所以， 所以当，即时，的最小值为. 故选：B 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知Sn是数列{an}的前n项和．若Sn＝2n，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】根据求解即可． 【详解】解：∵ Sn＝2n， ∴ ，， ∴ ， 故答案为：2． 12. 已知角的终边经过点，把角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则___________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为角的终边经过点，则， 又，则. 13. 如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若，则_________；_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作出辅助线，得到，从而利用向量基本定理得到答案. 【详解】连接，显然在上，且， 故， 又，故. 故答案为： 14. 设函数， ①若，则的零点的个数为_____. ②若的值域为，则实数的取值范围是_____. 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】①代入,再分段求解函数的零点即可. ②画出与的图像,再数形结合分析实数的取值范围即可. 【详解】①当时,令,解得或,此时函数有两个零点； 当时,令,解得（舍）,此时函数无零点； 综上,当时,函数有2个零点； ②作出函数及函数的图象如下图所示, 由图象可知,若的值域为,则实数的取值范围是. 故答案为：①2；②. 【点睛】本题主要考查了分段函数的零点问题,同时也考查了根据分段函数的值域求解参数的问题,需要根据题意画出图像,再分析随的变化函数图像的变化求解范围.属于中档题. 15. 已知函数. ①函数为偶函数； ②存在，使得； ③函数的图象与函数的图象没有公共点； ④函数的极值点个数为3. 其中所有正确结论的序号是______. 【答案】① ② ③ 【解析】 【详解】对于① ：定义域为，对，， 所以是偶函数，① 正确； 对于② ：令， ， 由零点存在性定理，，，即，② 正确； 对于③ ：令，因为， 所以当时， ， 即函数的图象在函数的图象上方； 当时， ， 即函数的图象在函数的图象下方； 所以函数的图象与函数的图象没有公共点，③ 正确； 对于④ ：，令 ， 当时， 因为 ， 所以在单调递增，又 ， 所以， ， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以当时，取得极小值，是一个极小值点. 当时， ， 所以在单调递减，又 ， 所以，， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以当时，取得极大值，是一个极大值点. 又是偶函数，所以当和时，也有两个极值点， 所以函数至少有个极值点，④ 错误； 故答案为：① ② ③ 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知是等比数列，满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列． （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和． 【答案】(1) ，（2） 【解析】 【详解】试题分析：（Ⅰ）根据，，列出关于首项 ，公比 的方程组，解得、的值，即可得数列的通项公式，进而可得的通项公式；（Ⅱ）因为，可以通过分组求和法，利用等差数列与等比数列的求和公式可求得数列的前项和. 试题解析：（Ⅰ）设数列的公比为，则 解得， 所以， 令，则 （Ⅱ）. 【方法点睛】本题主要考查等比数列的通项公式、等差数列等比数列的求和公式以及分组求和，属于中档题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用，在运算过程中，还应善于运用整体代换思想简化运算过程. 17. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知. （1）求的值； （2）若在上有且仅有两个极大值点，求的取值范围. 条件①：； 条件②：将的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称； 条件③：对于任意的实数的最大值为4. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简后，选条件①，根据化简得解；选条件②，由平移可知，化简求解；选条件③，转化为振幅得解； （2）由正弦型函数性质求出极大值点，再根据题意知在区间内，不在区间内即可得解. 【小问1详解】 条件① ， 所以， 所以，解得 条件② ， 所以的图象向右平移后所得图象关于原点对称， 所以，即， 解得，经验证：. 条件③ ， 所以，其中， 由题意知，，即， 因为，所以. 【小问2详解】 ， 当时，取得极大值， 即 因为在上有且仅有两个极大值点， 所以符合题意， 所以 18. 已知函数.曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出导函数，根据题意列出方程即可求解； （2）求出导函数的零点，列表即可得出函数最小值. 【小问1详解】 ， 依题意，，解得. 【小问2详解】 由（1）得 ， 令，解得或， 的变化情况如下表： 0 0 极小值 极大值 由表格可知，有极小值， 因为当时，， 所以最小值为. 19. 如图，某快递小哥从地出发，沿小路以平均速度公里/小时，送快件到处，已知（公里），是等腰三角形，. （1）试问，快递小哥能否在分钟内将快件送到处？ （2）快递小哥出发分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均速度公里/小时，问汽车能否先到达处？ 【答案】（1）不能 （2）能 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理得，再结合条件，即可求解； （2）根据条件，利用余弦定理和正弦定理求出，再结合条件，即可求解. 【小问1详解】 因为（公里），，在中，由正弦定理得， 所以，解得（公里）， 又快递小哥的平均速度公里/小时，则， 所以快递小哥不能在分钟内将快件送到处. 【小问2详解】 由题知， 在中，由余弦定理得，解得（公里）， 在中，， 又， 由正弦定理可得，解得（公里）， 又（分钟）， 所以汽车能先到达处. 20. 已知函数. （1）若在处取得极大值，求的值； （2）求的零点个数. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，利用极值点导数为0求出，再检验即可得解； （2）分三种情况讨论，讨论时，列出当变化时，的变化情况，再由零点存在性定理判断零点个数即可. 【小问1详解】 的定义域为. 因为4是的极大值点， 所以，即，解得或 当时，当变化时，的变化情况如下表： 3 4 + 0 0 + 极大值 极小值 此时，4是的极小值点，不符合题意； 当时，当变化时，的变化情况如下表： 4 6 + 0 0 + 极大值 极小值 此时4是的极大值点，符合题意. 因此，此时. 【小问2详解】 ①当时，当变化时，的变化情况如下表： + 0 0 + 极大值 极小值 ，因此时，， 又，因此在上有且仅有一个零点， 因此的零点个数是1. ②当时，对任意，在上是增函数， 又，由零点存在定理知，有1个零点， 因此的零点个数是1. ③当时，当变化时，的变化情况如下表： + 0 0 + 极大值 极小值 ，因此时，， 又，因此在上有且仅有1个零点， 因此的零点个数是1. 综上，当时，的零点个数是1. 21. 已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质： ①； ②对任意，存在，使得，则称为数表． （1）判断是否为数表，并求的值； （2）若数表满足，求中各数之和的最小值； （3）证明：对任意数表，存在，使得． 【答案】（1）是； （2） （3） 由于数表中共个数字， 必然存在，使得数表中的个数满足 设第行中的个数为 当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接， 则该行有条有向线段， 所以横向有向线段的起点总数 设第列中的个数为. 当时，将纵向相邻两个用从上到下的有向线段连接， 则该列有条有向线段， 所以纵向有向线段的起点总数 所以, 因为,所以. 所以必存在某个既是横向有向线段的起点，又是纵向有向线段的起点， 即存在 使得， 所以， 则命题得证. 【解析】 【分析】（1）根据题中条件可判断结果，根据题中公式进行计算即可； （2）根据条件讨论的值，根据，得到相关的值， 进行最小值求和即可； （3）当时，将横向相邻两个用从左向右的有向线段连接，则该行有条有向线段，得到横向有向线段的起点总数，同样的方法得到纵向有向线段的起点总数，根据条件建立不等关系，即可证明. 【小问1详解】 是数表， 【小问2详解】 由题可知. 当时，有， 所以. 当时，有， 所以. 所以 所以 或者， 或者， 或，或， 故各数之和， 当时， 各数之和取得最小值. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第十九中学2026-2027学年度高三年级第一次月考 一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数在复平面内对应的点位于第三象限，则复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知实数满足，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 若水以恒速（即单位时间内注入的体积相同）注入如图所示的容器，则容器中水的高度h与时间t的函数图象是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，角、、所对的边分别为、、，且，，，则的面积为 A. B. C. D. 7. 已知向量，则下列等式中，有且仅有一组实数x，y使其成立的是（ ） A. B. C. D. 8. “环境就是民生，青山就是美丽，蓝天就是幸福”，随着经济的发展和社会的进步，人们的环保意识日益增强.某化工厂产生的废气中污染物的含量为，排放前每过滤一次，该污染物的含量都会减少30%，当地环保部门要求废气中该污染物的含量不能超过，若要使该工厂排放的废气达标，那么废气排放前需要过滤的次数至少为（ ）（参考数据：，） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 9. 若数列是存在负数项的无穷等比数列，则“数列有最小项”是“数列有最大项”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 如图，在直角梯形中，，，，，是线段上的动点，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 4 二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 已知Sn是数列{an}的前n项和．若Sn＝2n，则_____． 12. 已知角的终边经过点，把角的终边绕原点逆时针旋转得到角的终边，则___________. 13. 如图所示，O，A，B，C四点在正方形网格的格点处．若，则_________；_________． 14. 设函数， ①若，则的零点的个数为_____. ②若的值域为，则实数的取值范围是_____. 15. 已知函数. ①函数为偶函数； ②存在，使得； ③函数的图象与函数的图象没有公共点； ④函数的极值点个数为3. 其中所有正确结论的序号是______. 三、解答题：本题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知是等比数列，满足，，数列满足，且是公差为2的等差数列． （Ⅰ）求数列和的通项公式； （Ⅱ）求数列的前项和． 17. 设函数，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知. （1）求的值； （2）若在上有且仅有两个极大值点，求的取值范围. 条件①：； 条件②：将的图象向右平移个单位长度后所得的图象关于原点对称； 条件③：对于任意的实数的最大值为4. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 18. 已知函数.曲线在点处的切线方程为. （1）求的值； （2）求的最小值. 19. 如图，某快递小哥从地出发，沿小路以平均速度公里/小时，送快件到处，已知（公里），是等腰三角形，. （1）试问，快递小哥能否在分钟内将快件送到处？ （2）快递小哥出发分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只能派车沿大路追赶，若汽车平均速度公里/小时，问汽车能否先到达处？ 20. 已知函数. （1）若在处取得极大值，求的值； （2）求的零点个数. 21. 已知是个正整数组成的行列的数表，当时，记．设，若满足如下两个性质： ①； ②对任意，存在，使得，则称为数表． （1）判断是否为数表，并求的值； （2）若数表满足，求中各数之和的最小值； （3）证明：对任意数表，存在，使得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $