第二十七章反比例函数专题训练·双曲线与直线：几何最值 2026-2027学年人教版数学九年级上册

九年级数学人教版上学期第二十七章反比例函数专题训练 双曲线与直线：几何最值 在“双曲线与直线：几何最值”这类问题中，反比例函数与一次函数的图象不仅提供了动点的运动轨道与定点的坐标载体，更将线段和、线段差、周长、面积等几何度量与代数函数极值严密交融． 解答几何最值问题的核心思想是“几何化归”与“代数配方”两大方法．几何化归的核心是“两点之间线段最短”与“三角形三边关系”：通过轴对称变换将折线路径转化为同一直线（将军饮马模型求线段和最小），或利用三点共线转化为线段之差（求线段差最大）；代数配方的核心是将几何量表示为动点横坐标的二次函数，利用配方法求抛物线顶点的最值． 本专题包含：专题一为轴上动点的线段和最小（将军饮马基础模型）；专题二为轴上动点的线段差最大与三角形周长最小；专题三为直线与双曲线上动点构成的线段最值；专题四为反比例函数与一次函数交点围成三角形面积的最值（二次函数配方法）；专题五为几何图形（矩形、菱形）背景下的几何最值；专题六为多动点与三步递进开放探究压轴题． 专题一　坐标轴上动点的线段和最小问题 1．【将军饮马】如图，直线 与双曲线 交于 、 两点，点 为 轴上的动点． （1）求点 关于 轴的对称点 的坐标； （2）求使 的值最小时点 的坐标； （3）求 的最小值． 2．【y轴动点线段和】如图，已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象在第一象限交于 、 两点，点 为 轴上的动点． （1）求点 关于 轴的对称点 的坐标； （2）求使 的值最小时点 的坐标； （3）求 的最小值． 3．【人教版教材改编·定点在双曲线上】如图，双曲线 在第一象限内经过点 和点 ，点 为 轴正半轴上的动点． （1）求点 关于 轴的对称点 的坐标； （2）求使 最小时点 的坐标； （3）若动点 在 轴上，求使 最小时点 的坐标． 4．【线段和的最值反求】已知直线 与双曲线 在第一象限交于点 和点 ，点 是 轴上的动点． （1）求 的值； （2）求使 的值最小时 的值； （3）直接写出 的最小值． 专题二　线段差最大与三角形周长最小问题 5．【2025成都中考真题·线段差最大】如图，已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象交于 、 两点，点 为 轴上的动点． （1）求直线 的函数表达式； （2）求使 的值最大时点 的坐标； （3）求 的最大值． 6．【周长最小转化】如图，已知直线 与双曲线 交于 、 两点，点 为 轴上的动点． （1）求线段 的长度； （2）当 的周长最小时，求点 的坐标； （3）求 周长的最小值． 7．【y轴动点线段差】如图，双曲线 与直线 交于 、 两点，点 为 轴上的动点． （1）说明当 、、 三点共线时， 取得最大值； （2）求此时点 的坐标； （3）求 的最大值． 8．【周长最小与面积】已知双曲线 与直线 交于 、 两点，点 在 轴上． （1）求线段 的长度； （2）求使 周长最小时点 的坐标； （3）在（2）的条件下，求 的面积． 专题三　平行于坐标轴的线段长度最值 9．【竖直线段最值】如图，在第一象限内，直线 与双曲线 交于 、 两点．点 是线段 上的动点，过点 作 轴交双曲线于点 ． （1）设点 的横坐标为 ，写出 的取值范围； （2）用含 的代数式表示线段 的长度； （3）求线段 长度的最大值及此时点 的坐标． 10．【水平线段最值】如图，在第一象限内，直线 与双曲线 交于 、 两点．点 是线段 上的动点，过点 作 轴交双曲线于点 ． （1）设点 的纵坐标为 ，写出 的取值范围； （2）用含 的代数式表示线段 的长度； （3）求线段 长度的最大值及此时点 的坐标． 11．【二次函数求线段极值】如图，直线 与双曲线 在第一象限交于 、 两点．动点 在线段 上运动，过点 作 轴的平行线交双曲线于点 ． （1）写出 的取值范围； （2）求当 取何值时，线段 的长度最大？最大长度是多少？ （3）若线段 的长度为 ，求 的值． 12．【线段比值的探究】在第一象限内，直线 与双曲线 交于 、 两点．点 （）在线段 上，过 作 轴交双曲线于 ． （1）当 时，求线段 的长度； （2）求线段 长度的最大值； （3）判断是否存在 ，使 为线段 的中点（其中 为 到 轴的垂足），若存在，求 的值；若不存在，说明理由． 专题四　反比例函数与直线交点三角形面积的最值 13．【2025武汉中考真题·动点三角形面积最大】如图，直线 与双曲线 在第一象限交于 、 两点．点 是线段 上的一个动点（不与 重合），过点 作 轴交双曲线于点 ． （1）求线段 的长度； （2）求 的面积； （3）当 为何值时， 的面积最大？求出最大面积． 14．【人教版教材改编·铅垂高水平宽求面积】如图，在第一象限内，直线 与双曲线 交于 、 两点．点 是线段 上的动点，连接 ． （1）设点 ，写出 的取值范围； （2）求 的面积； （3）当点 运动到线段 的中点时，求 的面积． 第 14 题图 15．【动点四边形面积最值】如图，直线 与双曲线 在第一象限交于 、 两点．点 在线段 上运动，过点 作 轴于 ，作 轴于 ． （1）求矩形 的周长； （2）设点 的横坐标为 ，求矩形 的面积 关于 的函数表达式； （3）当 为何值时，矩形 的面积最大？最大面积是多少？ 16．【面积最值与坐标】如图，双曲线 与直线 在第一象限交于 、 两点．点 为线段 上的一动点，过 作 轴交双曲线于点 ． （1）设点 的横坐标为 （），求线段 的长（用含 的式子表示）； （2）求 面积的最大值； （3）当 面积最大时，求点 的坐标． 专题五　几何图形背景下的反比例函数最值 17．【矩形边截双曲线周长最小】如图，矩形 的顶点 为原点，，．双曲线 （）与边 交于点 ，与边 交于点 ．点 为 轴上的动点． （1）求 的值； （2）求使 最小时点 的坐标； （3）求 的最小值． 18．【菱形平移与最值】如图，菱形 的边长为 ，，边 在 轴上，顶点 与原点 重合，点 在第一象限．反比例函数 的图象经过点 ． （1）求点 的坐标及 的值； （2）将菱形沿 轴向左平移 个单位长度，当点 落在双曲线上时，求 的值； （3）求菱形 的面积． 19．【正方形与动点距离最值】如图，正方形 的边长为 ，边 在 轴上，边 在 轴上．反比例函数 的图象交边 于点 ，交边 于点 ．点 为 轴上的动点． （1）求点 、 的坐标； （2）求使 最小时点 的坐标； （3）求 的最小值． 20．【线段差最大】如图，在平面直角坐标系中，已知点 ，反比例函数 （）的图象过点 ．点 为 轴上的动点． （1）求 的值； （2）求使 最大时点 的坐标； （3）求 的最大值． 专题六　多动点与三步递进开放探究压轴题 21．【双动点线段和最小】如图，直线 与双曲线 在第一象限交于 、 两点．点 为 轴上的动点，点 为 轴上的动点． （1）求线段 的长度； （2）若点 与点 重合于原点 ，求 的值； （3）求四边形 周长的最小值及此时点 、 的坐标． 第 21 题图 22．【阿氏圆背景的极值转化】如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 （）的图象与直线 交于点 ．点 是 轴上的定点，点 是 轴正半轴上的动点． （1）求线段 的长度； （2）求使 达到最小时点 的坐标及最小值； （3）求使 达到最大时点 的坐标及最大值． 23．【周长最值与中点比较】如图，反比例函数 与直线 在第一象限交于 、 两点． （1）求线段 的长度； （2）动点 在 轴上运动，求 周长的最小值及此时点 的坐标； （3）判断（2）中所得点 的横坐标与线段 中点的横坐标是否相同，并说明理由． 第 23 题图 24．【三步递进开放探究】如图，直线 与双曲线 在第一象限交于 、 两点，直线 与两坐标轴分别交于 、 两点． （1）求点 、 的坐标及线段 的长度； （2）点 为 轴上的动点，求使 最小时点 的坐标及最小值； （3）点 为线段 上的动点，过 作 轴交双曲线于点 ，当 的面积最大时，求点 的坐标及该最大面积． 参考答案 1．解：（1）∵ 点 ，且关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标互为相反数， ∴ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ． （2）连接 交 轴于点 ．由轴对称性质知 ， ∴ ，此时 的值最小． 设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 解得 ，， ∴ 直线 的函数表达式为 ． 令 ，得 ，解得 ， ∴ 点 的坐标为 ． （3） 的最小值即为线段 的长度： ． 2．解：（1）∵ 点 ，且关于 轴对称时纵坐标不变、横坐标互为相反数， ∴ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ． （2）连接 交 轴于点 ．由轴对称性质知 ，此时 最小． 设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 解得 ，， ∴ 直线 的函数表达式为 ． 令 ，得 ， ∴ 点 的坐标为 ． （3） 的最小值即为线段 的长度： ． 3．解：（1）∵ 点 ，且关于 轴对称时横坐标不变、纵坐标互为相反数， ∴ 点 关于 轴的对称点 的坐标为 ． （2）连接 交 轴于点 ．设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 解得 ，， ∴ 直线 的函数表达式为 ． 令 ，得 ，解得 ， ∴ 点 的坐标为 ． （3）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ． 设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 解得 ，， 令 ，得 ， ∴ 点 的坐标为 ． 4．解：（1）∵ 点 在双曲线 的图象上，∴ ． （2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ． 设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 解得 ，， ∴ 直线 的函数表达式为 ． 令 ，得 ，解得 ， ∴ 使 的值最小时 ． （3） 的最小值即为线段 的长度： ． 5．解：（1）设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 解得 ，， ∴ 直线 的函数表达式为 ． （2）根据三角形三边关系，对任意不共线的三点 、、，都有 ； 当且仅当点 、、 三点共线时，，此时取得最大值． ∴ 点 即为直线 与 轴的交点． 在 中令 ，得 ， ∴ 点 的坐标为 ． （3） 的最大值即为线段 的长度： ． 6．解：（1）∵ 、， ∴ ． （2） 的周长为 ．∵ 为定值， ∴ 当 取最小值时， 的周长最小． 作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ． 设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 解得 ，， ∴ 直线 的函数表达式为 ． 令 ，得 ，解得 ， ∴ 点 的坐标为 ． （3） 的最小值为 ， ∴ 周长的最小值为 ． 7．解：（1）根据三角形三边关系，对任意不共线的三点 、、，都有 ； 当且仅当点 、、 三点共线时，，此时取得最大值． （2）∵ 点 在 轴上，且 、、 三点共线， ∴ 点 即为直线 与 轴的交点． 令 ，得 ， ∴ 点 的坐标为 ． （3） 的最大值即为线段 的长度： ． 8．解：（1）∵ 、， ∴ ． （2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ． 设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 解得 ，， ∴ 直线 的函数表达式为 ． 令 ，得 ，解得 ， ∴ 点 的坐标为 ． （3）设直线 与 轴交于点 ，则 ， ∴ ． ∴ ． 9．解：（1）∵ 点 在线段 上，且 、，∴ ． （2）∵ ， 轴交双曲线于点 ， ∴ 点 的坐标为 ． ∵ 在 的范围内直线都在双曲线上方， ∴ ． （3）∵ ， ∴ ． 当 ，即 时等号成立（此时 在 内）， ∴ 线段 长度的最大值为 ，此时点 的坐标为 ． 10．解：（1）∵ 点 在线段 上，且 、，∴ ． （2）∵ 直线 可化为 ，∴ ． ∵ 轴交双曲线于点 ，∴ 点 的坐标为 ， ∴ ． （3）∵ ， ∴ ． 当 ，即 时等号成立（此时 在 内）， ∴ 线段 长度的最大值为 ，此时点 的坐标为 ． 11．解：（1）∵ 、，点 在线段 上，∴ ． （2）∵ 、， ∴ ． ∵ ， ∴ ，当 时等号成立（ 在 内）， ∴ 当 时，线段 的长度最大，最大长度为 ． （3）由 ，两边同乘 ，得 ， 整理得 ，因式分解得 ， ∴ 或 ，均在 内，符合题意． 12．解：（1）当 时，，， ∴ ． （2）∵ ， 而 ， ∴ ，当 时等号成立（ 在 内）， ∴ 线段 长度的最大值为 ． （3）∵ 点 到 轴的垂足为 ， ∴ 线段 中点的纵坐标为 ． 若点 为 的中点，则 ， 两边同乘 ，得 ，即 ． ∵ ， ∴ 方程没有实数解，不存在符合条件的 ． 13．解：（1）∵ 、， ∴ ． （2）以 、、、 为顶点作长方形，其面积为 ． 该长方形被 与三个直角三角形所分割： 以 、、 为顶点，面积为 ； 以 、、 为顶点，面积为 ； 以 、、 为顶点，面积为 ． ∴ ． （3）∵ 轴，∴ 以 为底， 被分成两个等高的三角形， ． ∵ ， ∴ ，当 时等号成立， ∴ 当 时， 的面积最大，最大面积为 ． 14．解：（1）∵ 点 在线段 上，且 、，∴ ． （2）． （3）∵ 点 是线段 的中点， ∴ 与 等底同高，面积相等， ∴ ． 15．解：（1）∵ 点 在第一象限，∴ ，， ∴ 矩形 的周长为 ． （2）矩形 的面积 （）． （3）． ∵ ，∴ 当 时， 取得最大值 ． 16．解：（1）∵ ， 轴交双曲线于点 ， ∴ 点 的坐标为 ， ∴ ． （2）以 为底， 被分成两个等高的三角形， ． ∵ ，∴ ， 当 时等号成立（）， ∴ 的最大面积为 ． （3）当面积最大时 ，此时点 的纵坐标为 ， ∴ 点 的坐标为 ． 17．解：（1）把点 代入 ，得 ． （2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ． 由轴对称性质知 ，此时 取得最小值． 设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 解得 ，， ∴ 直线 的函数表达式为 ． 令 ，得 ，解得 ， ∴ 点 的坐标为 ． （3） 的最小值即为线段 的长度： ． 18．解：（1）过点 作 轴于点 ． ∵ 四边形 是菱形，，， ∴ 在 Rt 中，， ， ∴ 点 的坐标为 ． 把点 代入 ，得 ． （2）∵ ，，∴ ． 菱形沿 轴向左平移 个单位长度后，点 的对应点为 ． ∵ 该点在双曲线 上，∴ ， ∴ ，∴ ． （3）∵ 菱形 的底为 ，高为点 到 轴的距离 ， ∴ ． 19．解：（1）∵ 正方形 的边长为 ，边 在 轴上，边 在 轴上， ∴ 边 在直线 上，边 在直线 上． 把 代入 ，得 ，∴ ； 把 代入 ，得 ，∴ ． （2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ． 设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 解得 ，， 令 ，得 ， ∴ 点 的坐标为 ． （3） 的最小值即为线段 的长度： ． 20．解：（1）把点 代入 ，得 ． （2）根据三角形三边关系，对任意不共线的三点 、、，都有 ； 当且仅当点 、、 三点共线时，，此时取得最大值． ∵ 点 本身就在 轴上，∴ 点 与点 重合时三点共线， ∴ 点 的坐标为 ． （3） 的最大值即为线段 的长度： ． 21．解：（1）∵ 、， ∴ ． （2）当点 、 重合于原点 时， ． （3）四边形 的周长为 ． ∵ 为定值，∴ 只需求 的最小值． 作点 关于 轴的对称点 ，作点 关于 轴的对称点 ， 连接 ，交 轴于点 、交 轴于点 ， 此时 取得最小值． 设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 解得 ，， ∴ 直线 的函数表达式为 ． 令 ，得 ，∴ ；令 ，得 ，∴ ． ∵ ， ∴ 四边形 周长的最小值为 ． 22．解：（1）∵ 、， ∴ ． （2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ． 设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 ，，解得 ， ∴ 直线 的函数表达式为 ． 令 ，得 ，解得 ，∴ 点 的坐标为 ． 的最小值即为线段 的长度： ． （3）根据三角形三边关系，当点 、、 三点共线时， 取得最大值， 最大值即为线段 的长度 ． 设直线 的函数表达式为 ．把 、 代入，得 ，， ∴ ，∴ 直线 的表达式为 ． 令 ，得 ，解得 ， ∴ 点 的坐标为 ． 23．解：（1）∵ 、， ∴ ． （2） 的周长为 ．∵ 为定值， ∴ 当 取最小值时，周长最小． 作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ． 设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 解得 ，， ∴ 直线 的函数表达式为 ． 令 ，得 ，解得 ， ∴ 点 的坐标为 ． 的最小值为 ， ∴ 周长的最小值为 ． （3）不相同．∵ 线段 中点的横坐标为 ， 而点 的横坐标为 ，， ∴ 两者不相同． 24．解：（1）在 中，令 得 ，令 得 ， ∴ 点 的坐标为 ，点 的坐标为 ． ∵ 、，∴ ． （2）作点 关于 轴的对称点 ，连接 交 轴于点 ． 设直线 的函数表达式为 ． 把 、 代入，得 解得 ，， ∴ 直线 的函数表达式为 ． 令 ，得 ，∴ 点 的坐标为 ． 的最小值为 ． （3）过点 作 轴交双曲线于点 ． 以 为底， 被分成两个等高的三角形， ． ∵ ，∴ ，当 时等号成立， ∴ 最大面积为 ，此时点 的坐标为 ． 学科网（北京）股份有限公司 $