第5章函数概念与性质测试卷·拔高卷-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

2026~2027学年高一数学章节测试卷 第五章 函数概念与性质 拔高卷（一） 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知对任意实数，都有，且，则的值为（　　） A. B. C. D. 2. 若函数满足：当时，；当时，，且它在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 已知是定义在上的偶函数，且当时随的增大而减小，若，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 4. 已知函数，当时的最小值为，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 5. 函数在上的单调递减区间是（　　） A. B. C. D. 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，则的值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知对任意实数，都有，且当时，则在上（　　） A. 单调递增 B. 先增后减 C. 单调递减 D. 无法确定 8. 若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（　　） A. B. 或 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知对任意实数，都有，且，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 是偶函数 D. 10. 关于函数，下列判断正确的是（　　） A. 是奇函数 B. 在上单调递减 C. 在时的最小值为 D. 的图象关于轴对称 11. 已知是定义在上的奇函数，当时随的增大而增大，且，则下列结论正确的是（　　） A. B. 当时随的增大而减小 C. D. 不等式的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知对任意实数，都有，且，则的值为____________． 13. 若函数满足：当时，；当时，，且它在上单调递增，则实数的取值范围是____________． 14. 已知函数在时单调递增，则实数的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知对任意实数，都有，且． （1）求与的值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）若，求的值． 16. 已知定义在上，对任意实数，都有，且当时，． （1）用定义证明在上单调递减； （2）求的值； （3）解不等式． 17. 已知函数，． （1）用定义证明在上单调递减； （2）用定义证明在上单调递增； （3）求当时的最大值与最小值． 18. 已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的值； （2）求当时的解析式； （3）写出在上的解析式，并解不等式． 19. 已知函数，完成以下几问． （1）当时，求在上的最大值与最小值； （2）求在上的最小值的表达式； （3）若对中的任意都有，求实数的取值范围． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年高一数学章节测试卷 第五章 函数概念与性质 拔高卷（一） 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知对任意实数，都有，且，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把拆成已知自变量的和，反复使用累加． 【详解】由得， 所以． 故选：B． 2. 若函数满足：当时，；当时，，且它在上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段函数在上单调递增，需要两段各自递增，且分段点左侧的取值不大于右侧的取值． 【详解】当时要递增，需； 当时递增，符合要求； 还需分段点处“左不高、右不低”，即，解得， 所以的取值范围是． 故选：A． 3. 已知是定义在上的偶函数，且当时随的增大而减小，若，则的取值范围是（　　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】偶函数图象关于轴对称，且在时递减，故自变量离原点越近函数值越大． 【详解】因为是偶函数且在时随的增大而减小， 所以等价于到原点的距离小于， 即且， 解得且． 故选：D． 4. 已知函数，当时的最小值为，则实数的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先判断对称轴是否落在给定区间内，再确定最小值在何处取得． 【详解】，对称轴满足， 所以最小值为， 由得． 故选：C． 5. 函数在上的单调递减区间是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用作差法判断：差式中与的符号决定增减性． 【详解】设，则， 当时，此时，即，单调递减； 当时，此时，单调递增， 所以单调递减区间为． 故选：A． 6. 已知是定义在上的奇函数，当时，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用已知区间上的表达式求，再用奇函数性质得到． 【详解】因为，所以， 又是奇函数，所以． 故选：D． 7. 已知对任意实数，都有，且当时，则在上（　　） A. 单调递增 B. 先增后减 C. 单调递减 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】用单调性定义：把写成，再由已知符号判断． 【详解】设，则， ，即， 所以在上单调递减． 故选：C． 8. 若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（　　） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次函数在给定区间上单调，等价于对称轴不在该区间内部． 【详解】，对称轴为直线， 要使在上单调，需或， 所以的取值范围是． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知对任意实数，都有，且，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 是偶函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】在恒等式中取特殊的，求值；判断奇偶性则要把与联系起来． 【详解】取得，所以，A正确； 取得，即，所以是奇函数，C错误； 由，B正确； ，D正确． 故选：ABD． 10. 关于函数，下列判断正确的是（　　） A. 是奇函数 B. 在上单调递减 C. 在时的最小值为 D. 的图象关于轴对称 【答案】ABC 【解析】 【分析】先用定义判断奇偶性，再用作差法判断单调性，最后由单调性确定最小值． 【详解】定义域由确定，关于原点对称，且，所以是奇函数，A正确； 设，则，由知该式为正，故在上单调递减，B正确； 由在上递减、在时递增，知最小值为，C正确； 奇函数的图象关于原点对称而不是关于轴对称，D错误． 故选：ABC． 11. 已知是定义在上的奇函数，当时随的增大而增大，且，则下列结论正确的是（　　） A. B. 当时随的增大而减小 C. D. 不等式的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由奇函数得，再由与单调性确定在各区间上的符号． 【详解】由是奇函数得，A正确； 奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，所以当时随的增大而增大，B错误； 在上，所以，于是，C正确； 当时，当时；由奇性知当时，当且时， 又，故的解集为，D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知对任意实数，都有，且，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】取，把用表示出来． 【详解】取得， 所以，即． 13. 若函数满足：当时，；当时，，且它在上单调递增，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】两段分别递增，再让分段点左侧的取值不超过右侧的取值． 【详解】当时的斜率为正，单调递增；当时单调递增， 还需分段点处左不高、右不低，即， 解得． 14. 已知函数在时单调递增，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】作差后由在时的符号要求解出的范围． 【详解】设，则， 因为，，要使该式恒为负，需恒成立， 而，故只要即可；反之当时取，足够接近会使，此时不单调递增， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）已知对任意实数，都有，且． （1）求与的值； （2）判断的奇偶性，并证明你的结论； （3）若，求的值． 【答案】（1），；（2）是奇函数，证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】抽象函数求值的通法是“赋特殊值”：令求，令建立与的关系． 【详解】（1）令，得，所以； 由． （2）令，得， 又，所以， 故是奇函数． （3）由（2）得． 【点睛】抽象函数问题先“赋值”再“变形”：求值取特殊值，判断奇偶性令，判断单调性设并构造． 16. （15分）已知定义在上，对任意实数，都有，且当时，． （1）用定义证明在上单调递减； （2）求的值； （3）解不等式． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）把化为，再由已知的符号判断；（2）用累加法；（3）先用恒等式合并左边，再把常数写成函数值，最后由单调性去掉函数符号． 【详解】（1）设，则， ，即， 所以在上单调递减． （2）． （3）由，原不等式化为， 因为在上单调递减，所以， 解得，即解集为． 【点睛】解抽象函数不等式三步：合并成单个，把常数化为已知的函数值，再用单调性“脱去”函数符号并注意定义域． 17. （15分）已知函数，． （1）用定义证明在上单调递减； （2）用定义证明在上单调递增； （3）求当时的最大值与最小值． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）最大值为，最小值为． 【解析】 【分析】两次作差的关键都在于把差式分解为的形式，由或定号；（3）由（1）（2）的单调性求最值． 【详解】（1）设，则 ， 因为，，所以， 所以，即在上单调递减． （2）设，则，即， 由同样的差式知， 所以在上单调递增． （3）由（1）（2）知在上递减、在上递增， 所以最小值为； 又，，所以最大值为． 【点睛】形如（）的函数，用作差法可得分界点，在它左侧递减、右侧递增，这是判断此类函数单调性的通用方法． 18. （17分）已知是定义在上的奇函数，当时，． （1）求的值； （2）求当时的解析式； （3）写出在上的解析式，并解不等式． 【答案】（1）；（2）当时；（3）当时，当时，当时，解集为． 【解析】 【分析】（1）由奇函数定义取；（2）设，令，用求解析式；（3）分三段解不等式． 【详解】（1）由得． （2）设，令，则， 所以． （3）在上的解析式为当时，当时，当时． 当时，由得； 当时，不满足； 当时，由得，即且， 所以解集为． 【点睛】由奇偶性求解析式时，处的函数值不能遗漏（奇函数必有），最后要写成分段形式并注明每一段的自变量范围． 19. （17分）已知函数，完成以下几问． （1）当时，求在上的最大值与最小值； （2）求在上的最小值的表达式； （3）若对中的任意都有，求实数的取值范围． 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2）当时，当且时，当时；（3）． 【解析】 【分析】（1）代入后比较顶点与端点；（2）按对称轴与区间的三种位置关系分类讨论；（3）恒成立问题转化为最小值不小于，再逐类解不等式． 【详解】（1）当时，，对称轴在中， 所以最小值为；又，所以最大值为． （2），对称轴为直线． 当时，在上递增，最小值为； 当且时，最小值为； 当时，在上递减，最小值为， 所以当时，当且时，当时． （3）题意等价于． 当时，由得，结合得且； 当且时，由得，此时在上恒成立； 当时，由得，结合得， 综上，的取值范围是． 【点睛】“动轴定区间”的最值问题，以对称轴与区间的三种位置关系分类，做到不重不漏；恒成立问题一律转化为最值问题处理． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $