2026-2027学年高一上学期数学期中模拟卷拔高版3（江苏省适用）(范围：集合、逻辑用语、不等式、指数与对数、函数概念与性质)

2026~2027学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则“”是“关于的方程有两个正根”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知命题：∈[]，；命题：，．若与都为真命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 设，，则“”是“或”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 已知是定义在上的偶函数，且在[上单调递减，，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 8. 若存在∈[]，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 10. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（　　） A. B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 11. 关于函数在区间[]上的最值，下列说法正确的是（　　） A. 当时，的最小值为 B. 当时，的最大值为 C. 若的最小值为，则或 D. 若在[]上不单调，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合中恰有一个元素，则实数的取值集合为____________． 13. 计算：＝____________． 14. 已知，，且，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （1）计算：； （2）已知，求的值． 16. 已知集合，，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 17. 已知关于的不等式，． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式； （3）若不等式在[]上恒成立，求的取值范围． 18. 已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）用定义证明在上单调递减； （3）解不等式． 19. 对于函数，若对定义域内任意，都有，且，则称为上的“对合函数”． （1）判断（）与（）是否为对合函数，并说明理由； （2）若是上的对合函数，求实数的值； （3）若是上的对合函数，求实数，满足的条件． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期期中考试 高一数学试题 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，则“”是“关于的方程有两个正根”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】先由韦达定理求出方程有两个正根的等价条件，再与比较． 【详解】设方程的两根为，，则方程有两个正根等价于 且且，解得． 因为与互不包含， 所以“”是“方程有两个正根”的既不充分也不必要条件． 故选：D． 2. 已知命题：∈[]，；命题：，．若与都为真命题，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个命题为真的条件，再取交集． 【详解】若为真，则对任意∈[]成立，所以； 若为真，则，即或． 因为，都为真，所以取交集得． 故选：B． 3. 设，，则“”是“或”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】把两个条件都翻译成“，是否为零”的表述，再判断推出关系． 【详解】“”等价于“且”， 由“且”可以推出“或”，充分性成立； 取，，此时“或”成立，但，必要性不成立． 所以“”是“或”的充分不必要条件． 故选：A． 4. 已知不等式的解集为，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解集端点是对应方程的两根，用根与系数的关系求出，，再代入新不等式． 【详解】由解集为知，是方程的两根， 所以，，即，． 代入得， 即，解得， 所以解集为． 故选：C． 5. 已知，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把乘以（其值为），展开后使用基本不等式． 【详解】因为，所以． 因为，，所以， 当且仅当时取等号，此时，，满足条件， 所以的最小值为． 故选：D． 6. 已知函数在上单调递减，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分离常数，把函数写成“常数加上一个反比例型函数”的形式，再判断． 【详解】． 当时，且单调递增， 要使单调递减，只需，即． 故选：C． 7. 已知是定义在上的偶函数，且在[上单调递减，，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用偶函数的性质把化为||，再由单调性转化为绝对值不等式． 【详解】因为是偶函数，所以||， 又，所以即||． 因为在[上单调递减，所以||<， 解得， 所以不等式的解集为． 故选：A． 8. 若存在∈[]，使不等式成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分离参数得，再求右边函数在[]上的最小值． 【详解】不等式即，因为∈[]，所以， 于是． 令，∈[]， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 所以在[]上的最小值为． 故存在∈[]使不等式成立的充要条件是． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】逐项依据不等式性质判断，注意分母为正时取倒数要变号． 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由得，取倒数得，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD． 10. 已知定义在上的函数满足，且当时，，则（　　） A. B. 是奇函数 C. 在上单调递增 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】赋值法求特殊值、判断奇偶性；用单调性定义结合“时”证明单调性． 【详解】对于A，令得，所以，A正确； 对于B，令得，即，所以是奇函数，B正确； 对于C，任取，则，， ，所以在上单调递增，C正确； 对于D，，D错误． 故选：ABC． 11. 关于函数在区间[]上的最值，下列说法正确的是（　　） A. 当时，的最小值为 B. 当时，的最大值为 C. 若的最小值为，则或 D. 若在[]上不单调，则 【答案】AD 【解析】 【分析】按对称轴与区间的位置关系逐一验证，注意端点处的函数值． 【详解】对于A，当时，在[]上最小值为，A正确； 对于B，当时，，，，最大值为，B错误； 对于C，当时；当时，得，矛盾； 当时，得，符合， 所以只有，C错误； 对于D，在[]上不单调，当且仅当对称轴在区间内部，即，D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若集合中恰有一个元素，则实数的取值集合为____________． 【答案】 【解析】 【分析】分（一次方程）与（二次方程有两个相等实根）讨论． 【详解】当时，方程化为，只有一个解，符合题意； 当时，方程为一元二次方程，恰有一个实根需，即． 所以的取值集合为． 13. 计算：＝____________． 【答案】 【解析】 【分析】先把各对数化为同底（用换底公式），再相乘． 【详解】，， 所以原式＝． 14. 已知，，且，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先把条件化为，再用“的代换”． 【详解】由及，，两边同除以得． 所以． 由基本不等式得， 当且仅当，即时取等号，代入条件得，， 所以的最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）（1）计算：； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）负指数化正、零指数幂为，底数为的对数化为的指数；（2）把指数式化为对数式，再用换底公式． 【详解】（1），，， 所以原式＝． （2）由得，所以； 由得，所以． 所以． 【点睛】把，用对数表示后，取倒数即换底，这是处理“同真数、不同底”问题的通法；也可直接用换底公式． 16. （15分）已知集合，，． （1）当时，求； （2）若，求的取值范围； （3）若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】先把两个集合都化为区间；即，注意是开区间而是闭区间，端点能否取等要逐一验证． 【详解】由得，所以=[]； 由得，即，所以． （1）当时，，所以． （2）即， 由于的两个端点都不属于，只需且， 解得． （3）要使，只需或， 解得或． 【点睛】开区间与闭区间的包含关系，端点能否取等是易错点：本题中[]，端点可以恰好“贴住”的端点而不越界，故取等号． 17. （15分）已知关于的不等式，． （1）当时，求不等式的解集； （2）解关于的不等式； （3）若不等式在[]上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）[]；（2）当时解集为[]，当时解集为，当时解集为[]；（3）． 【解析】 【分析】因式分解得，按两根大小分类；恒成立问题转化为区间包含关系． 【详解】（1）当时，不等式为，即，解集为[]． （2）原不等式可化为． 当时，解集为[]； 当时，，解集为； 当时，解集为[]． （3）要使不等式在[]上恒成立，即[]含于解集． 由（2），只有当时解集才可能是[]，此时需； 当时解集为，不包含[]；当时解集为[]，也不包含[]． 所以的取值范围是]． 【点睛】含参一元二次不等式“在区间上恒成立”，本质是要求该区间为解集的子集，因此先要确定解集的具体形式，再比较端点． 18. （17分）已知函数． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）用定义证明在上单调递减； （3）解不等式． 【答案】（1）奇函数，理由见解析；（2）证明见解析；（3）． 【解析】 【分析】（1）注意定义域为；（2）作差后化为的形式；（3）按四个区间分别判断分子、分母的符号． 【详解】（1）的定义域为且，关于原点对称， 且， 所以是奇函数． （2）证明：任取，，且， 则 =． 因为，所以，，，， 所以，即， 故在上单调递减． （3）等价于，即． 当时，三个因式均为负，积为负；当时，积为正； 当时，积为负；当时，积为正． 所以不等式的解集为． 【点睛】第（3）问不用讨论分母的正负，只需把分式不等式等价转化为整式不等式，再用“穿针引线”法（或分区间讨论）确定符号． 19. （17分）对于函数，若对定义域内任意，都有，且，则称为上的“对合函数”． （1）判断（）与（）是否为对合函数，并说明理由； （2）若是上的对合函数，求实数的值； （3）若是上的对合函数，求实数，满足的条件． 【答案】（1）是对合函数，不是；（2）；（3）且，或且． 【解析】 【分析】（1）直接计算；（2）先求的表达式，再与比较（对任意成立即恒等）；（3）同理，比较一次项系数与常数项． 【详解】（1）对于，，且时，所以它是对合函数； 对于，，所以它不是对合函数． （2）当时，，于是 ． 由对任意成立得[]，即对任意成立， 所以且，解得． 当时，，满足，符合题意． （3）， 由对任意成立得且， 所以且，或且为任意实数． 【点睛】新定义题的通用思路是“把定义翻译成方程”：对区间内任意成立，等价于两个式子恒等，从而比较系数．第（2）问还须验证的取值确实落在定义域内． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $