第3章不等式测试卷·拔高卷二-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

2026~2027学年高一数学章节测试卷 第三章 不等式 拔高卷（二） 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 2. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 或 3. 已知，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 4. 若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是（　　） A. 且 B. 且 C. 或 D. 或 5. 设正实数，满足，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 6. 若不等式的解集为全体实数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 7. 设，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 8. 若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，且，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 的最小值为 D. 10. 下列关于不等式的说法正确的是（　　） A. 的解集为 B. 的解集为 C. 的解集为 D. 的解集为且 11. 已知正实数，满足，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 关于的不等式的解集是____________． 13. 若关于的不等式的解集为，则的值为____________． 14. 已知正实数，满足，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，解关于的不等式． （1）把不等式左边因式分解，并写出对应方程的根； （2）就的取值讨论，写出不等式的解集． 16. 已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 17. 解关于的不等式（为实数）． （1）把不等式左边因式分解； （2）就的取值讨论，写出不等式的解集． 18. 设关于的不等式． （1）若该不等式的解集为全体实数，求实数的取值范围； （2）若该不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围． 19. 已知正实数，满足． （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年高一数学章节测试卷 第三章 不等式 拔高卷（二） 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用条件中的常量作乘法代换，展开后凑成积为定值的两项． 【详解】因为，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以最小值为． 故选：A． 2. 若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（　　） A. 且 B. 且 C. 且 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】二次项系数为正，恒成立等价于判别式不大于零，解出关于的一元二次不等式． 【详解】因为二次项系数为，所以恒成立等价于， 即，也就是， 解得且． 故选：B． 3. 已知，，且，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先用基本不等式确定的取值范围，再由随的变化规律求最小值，注意等号取到的条件． 【详解】由及基本不等式得，又，所以． 当时，随的增大而减小（可用求差法证明）， 所以当，即时，取得最小值． 故选：C． 4. 若关于的不等式的解集非空，则实数的取值范围是（　　） A. 且 B. 且 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】二次项系数为正，解集非空等价于对应的二次三项式能取到不大于零的值，即判别式不小于零． 【详解】因为二次项系数为，所以解集非空等价于， 即，也就是， 解得或． 故选：D． 5. 设正实数，满足，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用条件中的作乘法代换，展开后凑出互为倒数的两项． 【详解】因为，所以， 由基本不等式得，所以， 当且仅当，即，时取等号，所以最小值是． 故选：A． 6. 若不等式的解集为全体实数，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】二次项系数含参数，先讨论是否为零，再对的情形用开口方向与判别式求解． 【详解】当时，不等式为，解集为全体实数，符合题意； 当时，需且，解得． 综上，实数的取值范围是． 故选：B． 7. 设，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】换元，把分子化成含的式子，再分离常数后用基本不等式． 【详解】设，则，且， 所以， 当且仅当即时取等号，所以最小值为． 故选：C． 8. 若对任意，不等式都成立，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分离参数后转化为求的最小值，注意最小值可以取到． 【详解】当时，等价于， 由基本不等式得，当且仅当时取等号，所以的最小值为， 要使对一切成立，只需． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，，且，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 的最小值为 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用“和为定值”把，与倒数和分别化为只含的式子估计，第三项需重新配凑求最小值． 【详解】A：，当且仅当时取等号，正确； B：，正确； C：，最小值不是，错误； D：，正确． 故选：ABD． 10. 下列关于不等式的说法正确的是（　　） A. 的解集为 B. 的解集为 C. 的解集为 D. 的解集为且 【答案】ACD 【解析】 【分析】逐项求解：分式不等式化整式后去掉分母的零点，二次不等式按两根与开口方向写解集． 【详解】A，B：等价于且，解得，A正确，B错误； C：，解集为，C正确； D：，解得且，D正确． 故选：ACD． 11. 已知正实数，满足，则下列说法正确的是（　　） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】把条件与、的不等式结合，得到关于与的不等式后判断． 【详解】A，C：由及得，即，当且仅当时取等号，A，C正确； B，D：由得，即，当且仅当时取等号，B正确，D错误． 故选：ABC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 关于的不等式的解集是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】先移项通分，化为与零比较的分式不等式，再化为整式不等式并去掉分母的零点． 【详解】移项得，通分得， 它等价于且， 所以解集为或． 13. 若关于的不等式的解集为，则的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】解集的端点是对应方程的两根，用根与系数的关系求出，． 【详解】由解集为知与是方程的两根， 所以，，即，， 所以． 14. 已知正实数，满足，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】两个分母的和为定值，通分后用“和为定值积最大”求倒数和的最小值． 【详解】因为，所以， 而， 所以，当且仅当时取等号，所以最小值为． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）设为实数，解关于的不等式． （1）把不等式左边因式分解，并写出对应方程的根； （2）就的取值讨论，写出不等式的解集． 【答案】（1），方程的根为和； （2）当时解集为且，当时解集为空集，当时解集为且． 【解析】 【分析】因式分解得两根，二次项系数为正，解集是两根之间的部分，按两根的大小分类讨论． 【详解】（1），所以由或得方程的根为和． （2）二次项系数为正，解集是两根之间的部分， 当时，，解集为且； 当时，原不等式为，无解，解集为空集； 当时，，解集为且． 【点睛】含参不等式的分类讨论要抓住两点：二次项系数的符号与两根的大小关系，两根相等时必须单独讨论． 16. （15分）已知，，且． （1）求的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）把凑成与的积，用“和为定值积最大”；（2）用条件的作乘法代换，凑出互为倒数的两项． 【详解】（1）因为，，，所以， 当且仅当即，时取等号，所以的最大值为． （2）， 由基本不等式得，所以， 当且仅当即，时取等号，所以最小值为． 【点睛】求积的最大值时要把与作为一组，求倒数和的最小值时要用条件中的“1”作乘法代换． 17. （15分）解关于的不等式（为实数）． （1）把不等式左边因式分解； （2）就的取值讨论，写出不等式的解集． 【答案】（1）； （2）当时解集为或，当时解集为，当且时解集为且，当时解集为空集，当时解集为且． 【解析】 【分析】因式分解得两根，再按二次项系数的正负与两根的大小关系完整讨论． 【详解】（1），所以当时，由与得两根为与． （2）当时，二次项系数为正，且，解集为两根之外的部分，即或； 当时，原不等式化为，解集为； 当时，二次项系数为负，解集是两根之间的部分，而，所以： 若，则，解集为且； 若，两根相等，原不等式即，解集为空集； 若，则，解集为且． 【点睛】本题既要讨论二次项系数的符号，又要比较两根的大小，还要单独考虑二次项系数为零与两根相等的情形． 18. （17分）设关于的不等式． （1）若该不等式的解集为全体实数，求实数的取值范围； （2）若该不等式对一切恒成立，求实数的取值范围； （3）若关于的不等式的解集非空，求实数的取值范围． 【答案】（1）且；（2）；（3）或． 【解析】 【分析】（1）用判别式；（2）分离参数后转化为求的最小值；（3）解集非空等价于判别式不小于零． 【详解】（1）因为二次项系数为，所以解集为全体实数等价于，解得且． （2）当时，原不等式等价于， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 所以要使对一切成立，只需． （3）解集非空等价于，解得或． 【点睛】恒成立问题常用分离参数转化为最值问题，注意“恒大于零”与“有解”对应的最值方向相反． 19. （17分）已知正实数，满足． （1）求的最大值； （2）求的最小值； （3）求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】把与看作两个整体，用基本不等式建立它们的不等关系，再把条件代入解出一元二次不等式；第（3）问先求两个分母的积． 【详解】（1）设，则，且，， 由得，即，解得， 所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为． （2）由（1）知，所以， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． （3）因为， 所以， 当且仅当时取等号，所以最小值为． 【点睛】双变量问题的基本思路是把与当作两个整体，用基本不等式建立不等关系，再代回条件求解． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $