第3章 周末练5 范围：§3.1～§3.2（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高一数学必修第一册学习笔记（苏教版）

**基本信息** 高中数学周测专项训练，聚焦§3.1～§3.2不等式内容，以“概念辨析-性质应用-最值求解”为主线，融合作差法、特值法、配凑法等实用方法，培养推理能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题|基本不等式前提条件分析|从正数条件切入，构建不等式成立的逻辑基础| |比较大小|3题|作差法、特值法|通过代数变形与特殊值验证，强化不等关系判断| |性质应用|3题|反例验证、等价转化|结合不等式性质，建立“条件-结论”推理链条| |最值求解|4题|配凑法、常数代换法|以“一正二定三相等”为核心，实现基本不等式的灵活应用| |实际应用|1题|建模转化|从实际问题抽象不等式关系，培养数学建模能力|

周末练5　范围：§3.1～§3.2 [分值：90分] 一、单项选择题(每小题5分,共30分) 1.不等式x-2y+≥2成立的前提条件为(　　) A.x≥2y B.x>2y C.x≤2y D.x<2y 答案　B 解析　基本不等式成立的前提条件是各项均为正数, 所以不等式x-2y+≥2成立的前提条件为x-2y>0,即x>2y. 2.设M=2a(a-1)+9,N=(a-2)(a-3),则M与N的大小关系是(　　) A.M>N B.M≥N C.M<N D.M≤N 答案　A 解析　∵M=2a(a-1)+9,N=(a-2)(a-3), ∴M-N=2a2-2a+9-(a2-5a+6)=2a2-2a+9-a2+5a-6 =a2+3a+3=+ ∵∀a∈R+>0恒成立, ∴M-N>0,∴M>N. 3.已知a,b,c,d∈R,则下列结论中正确的有(　　) A.若a>b>0,ac>bd>0,则c>d B.若<则a>b C.若a>b,则ac2>bc2 D.若>则a<b 答案　D 解析　a=3,c=1,b=1,d=2满足a>b>0,ac>bd>0,但c<d,故A错误； a=-1,b=1满足<但a<b,故B错误； 当c2=0时,ac2=bc2,故C错误； >⇒-=>0⇒b-a>0,故D正确. 4.已知实数0<a<1,则以下不等式关系正确的是(　　) A.a2>>a>-a B.a>a2>>-a C.>a>a2>-a D.>a2>a>-a 答案　C 解析　方法一　∵0<a<1, ∴0<a2<1>1,-1<-a<0, 由0<a<1,得0<a2<a, 即>1>a>a2>0>-a, ∴>a>a2>-a. 方法二　特值法 取a=计算可得选C. 5.已知a>0,b>0,且+=则4a+b的最小值为(　　) A.9 B.10 C.11 D.12 答案　C 解析　方法一　∵a>0,b>0,且+= 即+=1, 从而4a+b=4(a+4)+b-16 =[4(a+4)+b]-16 =15++-16 ≥2-1=11, 当且仅当=即a=b=9时,等号成立. ∴4a+b的最小值为11. 方法二　∵a>0,b>0+= ∴b==3+. ∴4a+b=4a++3=4(a+1)+-1≥2-1=11. 当且仅当4(a+1)=即a=b=9时,等号成立. ∴4a+b的最小值为11. 6.“+>2”是“>>0”的(　　) A.充要条件 B.必要且不充分条件 C.充分且不必要条件 D.既不充分又不必要条件 答案　B 解析　由+>2得+-2==>0, 所以即a>0,b>0,a≠b或a<0,b<0,a≠b, 所以充分性不成立； 由>>0知,b>a>0, 所以+≥2=2, 当且仅当=即a=b时等号成立, 又因为b>a>0,所以+>2,所以必要性成立. 所以“+>2”是“>>0”的必要且不充分条件. 二、多项选择题(每小题6分,共18分) 7.下列不等式正确的是(　　) A.(x-1)2>x(x-2) B.+≥ C.a2+b2≥2(a-b-1) D.a2+b2≥2ab 答案　ACD 解析　对于A,(x-1)2-x(x-2)=x2-2x+1-x2+2x=1>0,∴(x-1)2>x(x-2),A正确； 对于B+-=则a2b2>0,但a2+b2-1的符号不能确定,B不正确； 对于C,a2+b2-2(a-b-1)=(a-1)2+(b+1)2≥0,∴a2+b2≥2(a-b-1),C正确； 对于D,a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴a2+b2≥2ab,D正确. 8.已知c>b>a,则下列结论正确的是(　　) A.c+b>2a B.> C.> D.< 答案　AB 解析　对于选项A,因为c>b>a,所以c+b>2a,故选项A正确； 对于选项B,因为c>b>a,所以c-a>c-b>0, 所以>>0,故选项B正确； 对于选项C,取a=-3,b=-2,c=-1, 满足c>b>a,此时==-2, ==-<故选项C错误； 对于选项D,当c=1,b=-1,a=-2时=2, ==-此时>故选项D错误. 9.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是(　　) A.a2+b2≥8 B.≥ C.≥2 D.+≤1 答案　AB 解析　对于A,∵a>0,b>0,a+b=4, ∴a2+b2≥==8, 当且仅当a=b=2时取等号,故A恒成立； 对于B,∵a>0,b>0,a+b=4, ∴ab≤==4, 当且仅当a=b=2时取等号, ∴≥故B恒成立； 对于C,∵a>0,b>0,a+b=4, ∴≤==2,当且仅当a=b=2时取等号,故C不恒成立； 对于D,∵a>0,b>0,a+b=4, ∴(a+b)=1, +=(a+b)=+≥+×2=1, 当且仅当=即a=b=2时取等号,故D不恒成立. 三、填空题(每小题5分,共15分) 10.+　　　 +.(填“>”或“<”) 答案　> 解析　因为=17+2 =17+2所以>故+>+. 11.设a>0,b>0,则+的最小值为　　　　　　.  答案　6 解析　由a>0,b>0,得+=1+++1≥2+2=6, 当且仅当=即2a=b时取等号. 12.已知2<a+2b≤5,-2≤3a+b≤1,则7a+4b的取值范围为　　　　　.  答案　-2<7a+4b≤7 解析　设7a+4b=x(a+2b)+y(3a+b)=(x+3y)a+(2x+y)b, 所以解得 因为2<a+2b≤5,-2≤3a+b≤1, 则-4≤2(3a+b)≤2, 因此,-2<7a+4b≤7. 四、解答题(共27分) 13.(13分)(1)已知a,b∈R且a>0,b>0,4a+b=1,求ab的最大值；(6分) (2)已知正数a,b满足4ab=3a+5b,求5a+3b的最小值.(7分) 解　(1)因为a,b∈R且a>0,b>0,由基本不等式可得1=4a+b≥2=4当且仅当b=4a,即a=b=时,等号成立,所以0<ab≤ 因此ab的最大值为. (2)由a>0,b>0,4ab=3a+5b,得+=4, 则5a+3b=(5a+3b)×=×≥× =×(34+30)=16, 当且仅当=即a=b=2时,等号成立, 所以5a+3b的最小值为16. 14.(14分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销,在一年内预计销售量Q(万件)与广告费x(万元)之间的关系式为Q=(x≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1万件此产品仍需再投入32万元,若该企业产能足够,生产的产品均能售出,且每件售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和. (1)试写出年利润W(万元)与年广告费x(万元)的关系式；(6分) (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大？最大年利润为多少？(8分) 解　(1)由题意可得,每年产品的生产成本为(32Q+3)万元,每万件的售价为 万元, 即万元. ∴该企业的年销售收入为·Q=万元. ∴W=48Q+-32Q-3-x=16Q+=(x≥0). (2)∵W=(x≥0), ∴W= =--+50=-+50 ≤-2+50=42. 当且仅当=即x=7时,等号成立. ∴Wmax=42. ∴当年广告费投入7万元时,企业年利润最大,最大年利润为42万元. 学科网（北京）股份有限公司 $