第3章不等式测试卷·基础卷二-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

2026~2027学年高一数学章节测试卷 第三章 不等式 基础卷（二） 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二次不等式的解集为（　　） A. 且 B. 或 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】先因式分解求根，再由二次项系数为正判断解集是两根之间的部分． 【详解】由知方程的两根为和， 二次项系数为正，所以的解集为且． 故选：A． 2. 若，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取特殊值逐项检验，注意负数在取倒数与乘除运算中的符号变化． 【详解】取，，则，A错误； 取，，则，B错误； 因为，由两边同除以得，C正确； 因为，由两边同乘得，D错误． 故选：C． 3. 已知，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】两项之积为定值，直接用基本不等式求和的最小值，并检验等号成立的条件． 【详解】因为，所以，，由基本不等式得， 当且仅当即时取等号，所以最小值是． 故选：B． 4. 关于的不等式的解集为（　　） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】把分式不等式化为整式不等式，并去掉使分母为零的点． 【详解】原不等式等价于且， 由得或，再去掉， 所以解集为或． 故选：D． 5. 若，，，则的最大值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】和为定值，用基本不等式求积的最大值． 【详解】因为，，所以， 当且仅当时取等号，所以的最大值是． 故选：A． 6. 二次不等式的解集是（　　） A. 全体实数 B. C. 空集 D. 【答案】C 【解析】 【分析】算判别式，判断二次三项式的取值符号，从而确定解集． 【详解】因为，且二次项系数， 所以对任意实数都有，原不等式无解， 所以解集是空集． 故选：C． 7. 若不等式的解集为，则的值等于（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解集的端点就是对应方程的两根，用根与系数的关系求出与． 【详解】由解集为知与是方程的两根， 所以，，即，， 所以． 故选：B． 8. 若，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把拆成，凑出积为定值的两项后再用基本不等式． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时取等号，所以最小值为． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若实数，满足，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】逐项对照不等式的性质，错误结论只需给出一个反例． 【详解】A：两边同减，不等号方向不变，正确； B：两边同乘正数，不等号方向不变，正确； C：取，，则，错误； D：取，，则，错误． 故选：AB． 10. 下列关于不等式的说法正确的是（　　） A. 该不等式的解集为 B. 方程的两根为和 C. 二次函数的图象开口向下 D. 不等式的解集为或 【答案】ABD 【解析】 【分析】把方程的根、二次函数图象的开口方向与不等式的解集联系起来逐一判断． 【详解】由知方程的两根为和，B正确； 二次项系数为正，所以的解集为，A正确； 同样由二次项系数为正知抛物线开口向上，C错误； 两根之外的部分满足，即解集为或，D正确． 故选：ABD． 11. 若，，且，则下列结论正确的是（　　） A. 的最小值为 B. 当时取得最小值 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】积为定值，用基本不等式求和的最小值，再用的值求倒数和的下界． 【详解】A，B：因为，所以，当且仅当时取等号，A，B正确； C：的最小值为，C错误； D：，当且仅当时取等号，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是____________． 【答案】或 【解析】 【分析】因式分解后由二次项系数为正写出两根之外的解集． 【详解】由得或． 13. 已知，，且，则的最大值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】和为定值，用基本不等式求积的最大值，并写出等号成立的条件． 【详解】因为，，所以， 当且仅当时取等号，所以最大值为． 14. 若不等式的解集为全体实数，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】二次项系数为正时，解集为全体实数等价于判别式小于零． 【详解】由题意得， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）求下列不等式的解集． （1）； （2）． 【答案】（1）；（2）或． 【解析】 【分析】（1）因式分解后写两根之间的部分；（2）先移项通分，化为与零比较的分式不等式，再化为整式不等式． 【详解】（1）原不等式可化为， 所以解集为． （2）移项得，通分得， 它等价于且， 所以解集为或． 【点睛】分式不等式必须先移项通分，化为与零比较的形式，不能直接去分母（分母的符号未知）． 16. （15分）完成下列比较大小与证明的问题． （1）用求差法比较与的大小； （2）已知，求证：． 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）作差后化简为常数；（2）作差后提取公因式，再判断各因式的符号． 【详解】（1）因为， 所以． （2）因为， 又，所以，，， 所以，即． 【点睛】证明不等式常从作差入手，把差分解成因式后逐项判断符号，这是判断差的符号的通法． 17. （15分）用长为 m的篱笆围成一个矩形菜园，四边都用篱笆． （1）求菜园面积的最大值； （2）若菜园的面积为 m²，求矩形相邻两边的长． 【答案】（1） m²；（2）相邻两边长分别为 m和 m． 【解析】 【分析】（1）周长定则相邻两边之和定，用基本不等式求面积的最大值；（2）由和与积解出两边的长． 【详解】（1）设矩形相邻两边长分别为 m， m，则，且，， 所以面积，当且仅当时取等号， 所以菜园面积的最大值为 m²． （2）由题意得，， 解得两边长为与，即相邻两边长分别为 m和 m． 【点睛】周长一定的矩形中面积最大的是正方形，这是“和为定值积最大”的直接应用． 18. （17分）设为实数，求关于的不等式的解集． （1）把不等式左边因式分解，并写出对应方程的两根； （2）就的取值讨论，写出不等式的解集． 【答案】（1），两根为和； （2）当时解集为或，当时解集为，当时解集为或． 【解析】 【分析】因式分解得两根，二次项系数为正，解集为两根之外的部分，只需比较两根的大小． 【详解】（1），所以对应方程的两根为和． （2）二次项系数为正，解集是两根之外的部分， 当时，解集为或； 当时，原不等式为，解集为； 当时，解集为或． 【点睛】两根相等时解集是去掉该点的全体实数，不要错写成空集，这是含参讨论中最常见的失分点． 19. （17分）某菜农计划围出一块面积为 m²的矩形菜地，菜地的一边借助一段足够长的旧墙，其余三边用篱笆围起． （1）设垂直于墙的一边长为 m，求篱笆总长（单位：m）关于的关系式； （2）求篱笆总长的最小值及此时的值． 【答案】（1）（）；（2）当时篱笆总长最小，最小值为 m． 【解析】 【分析】用表示平行于墙的一边长，写出篱笆总长的关系式，再用基本不等式求最小值． 【详解】（1）因为菜地面积为 m²，所以平行于墙的一边长为 m， 于是（）． （2）因为，所以， 当且仅当即时取等号，又，所以． 所以当时篱笆总长最小，最小值为 m． 【点睛】实际问题中要把“一边靠墙”转化为只有三条边用篱笆，再写出总长的关系式． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年高一数学章节测试卷 第三章 不等式 基础卷（二） 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 二次不等式的解集为（　　） A. 且 B. 或 C. 且 D. 且 2. 若，则下列结论中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 已知，则的最小值是（　　） A. B. C. D. 4. 关于的不等式的解集为（　　） A. 且 B. 或 C. 且 D. 或 5. 若，，，则的最大值是（　　） A. B. C. D. 6. 二次不等式的解集是（　　） A. 全体实数 B. C. 空集 D. 7. 若不等式的解集为，则的值等于（　　） A. B. C. D. 8. 若，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若实数，满足，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列关于不等式的说法正确的是（　　） A. 该不等式的解集为 B. 方程的两根为和 C. 二次函数的图象开口向下 D. 不等式的解集为或 11. 若，，且，则下列结论正确的是（　　） A. 的最小值为 B. 当时取得最小值 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 不等式的解集是____________． 13. 已知，，且，则的最大值为____________． 14. 若不等式的解集为全体实数，则实数的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列不等式的解集． （1）； （2）． 16. 完成下列比较大小与证明的问题． （1）用求差法比较与的大小； （2）已知，求证：． 17. 用长为 m的篱笆围成一个矩形菜园，四边都用篱笆． （1）求菜园面积的最大值； （2）若菜园的面积为 m²，求矩形相邻两边的长． 18. 设为实数，求关于的不等式的解集． （1）把不等式左边因式分解，并写出对应方程的两根； （2）就的取值讨论，写出不等式的解集． 19. 某菜农计划围出一块面积为 m²的矩形菜地，菜地的一边借助一段足够长的旧墙，其余三边用篱笆围起． （1）设垂直于墙的一边长为 m，求篱笆总长（单位：m）关于的关系式； （2）求篱笆总长的最小值及此时的值． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $