第2章常用逻辑用语测试卷·拔高卷一-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

2026~2027学年高一数学章节测试卷 第二章 常用逻辑用语 拔高卷（一） 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“若 ， 都是偶数，则 是偶数”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】四种命题中，原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，所以只要判断原命题与逆命题的真假即可． 【详解】原命题：， 都是偶数时，可设 ，，则 是偶数，是真命题； 逆命题：若 是偶数，则 ， 都是偶数．取 ，，此时 是偶数，但 ， 都是奇数，所以逆命题是假命题； 由原命题真知逆否命题真，由逆命题假知否命题假，所以真命题有原命题与逆否命题，共 个． 故选：B． 2. “对任意实数 ，都有 ”成立的充要条件是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次式恒正的条件可由配方法得到：配方后完全平方项的最小值为 ，只需常数项大于 ． 【详解】， 对任意实数 都有 ，所以原不等式恒成立等价于 ，即 ； 解得 的取值集合为 ；反过来当 属于这个集合时不等式确实恒成立，所以它是充要条件． 故选：A． 3. 若命题“存在实数 ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】存在量词命题为假，等价于它的否定为真，于是问题转化为一个恒成立问题． 【详解】命题“存在实数 ，使 ”的否定是“对任意实数 ，都有 ”， 又 ，所以恒成立等价于 ，即 ； 当 时原命题的否定为真，原命题为假，符合要求． 故选：C． 4. “ 且 ”是“ 且 ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 【答案】D 【解析】 【分析】两个方向都要论证：正向由两个正数得和与积都为正；反向要由和、积的符号推出两个数同号且同为正． 【详解】若 且 ，则 ，，所以是充分条件； 若 且 ，由 知 ， 同号；若 且 ，则 ，与 矛盾，故 且 ，所以是必要条件， 因此“ 且 ”是“ 且 ”的充要条件． 故选：D． 5. 已知命题 ：存在实数 ，使 ；命题 ：对任意实数 ，都有 ．若 与 恰有一个是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A. 或 B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先用配方法分别求出 为真、 为真时 的条件，再按“一真一假”分两类求并集． 【详解】 为真等价于 有实数解，即 ，得 ； 为真等价于 对任意实数 成立，即 ，得 ； 若 真 假，则 且 ，得 ； 若 假 真，则 且 ，得 ； 所以 的取值范围是 或 ． 故选：A． 6. 命题 ：若实数 ， 满足 ，则 ．下列判断正确的是（　　） A. 是真命题，它的逆命题是假命题 B. 是假命题，它的逆命题是真命题 C. 是真命题，它的逆命题也是真命题 D. 与它的逆命题都是假命题 【答案】C 【解析】 【分析】两个命题都用“几个非负数之和为零则每个都为零”这一基本事实来判断． 【详解】由 ， 且 ，得 且 ，即 ，所以 是真命题； 逆命题：若 ，则 ．把 ， 代入得 ，是真命题， 所以 与它的逆命题都是真命题． 故选：C． 7. 已知 ，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】“”是“”的充分不必要条件，等价于 是 的真子集，由端点的大小关系确定 ． 【详解】充分性要求 是 的子集，即所有小于 的实数都小于 ，所以 ； 不必要性要求 不是 的全部，即只能有 （若 ，则 ，此时为充要条件）； 所以 ． 故选：B． 8. 若命题“对任意 ，都有 ”是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为 ，可以把参数单独留在一边：，再研究 在 上的取值规律． 【详解】当 时，，由 得 ， 而对 有 （因为 ）， 所以只要 ，就有 恒成立； 若 ，则方程 有实根 ，且 （因为 与 等价），此时 ，命题为假， 所以 ． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知 ， 为实数，下列结论正确的是（　　） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分条件 C. “ 且 ”是“ 且 ”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】逐项按“能否推出、反向能否推出”两问检验，必要时用具体数值构造反例． 【详解】 时 ；反之取 ，， 但 ，所以是充分不必要条件，A正确； 时两边同乘 得 ，所以是充分条件，B正确； 且 时 且 ；反之取 ，，此时 ，，但 不大于 ，所以是充分不必要条件，C正确； 取 ，，此时 但 ，即 推不出 ，所以 不是 的必要条件，D错误． 故选：ABC． 10. 下列命题中是真命题的是（　　） A. 存在实数 ，使 B. 对任意实数 ，都有 C. 存在正整数 ，使 D. 对任意实数 ，，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】二次式的问题用配方看取值范围；含两个字母的式子分别对每个字母配方． 【详解】，方程 无实数解，A错误； ，B正确； 取 （正整数），则 ，C正确； ，D正确． 故选：BCD． 11. 已知 ：，：，：，则下列结论正确的是（　　） A. 是 的充分条件 B. 是 的充分条件 C. 是 的充分条件 D. 是 的必要条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】把三个命题都写成区间，包含关系为真即“充分”，被包含关系为真即“必要”． 【详解】 对应 ， 对应 ，前者是后者的真子集，所以 是 的充分条件，A正确； 对应 ，它是 的真子集，所以 是 的充分条件，B正确； 取 ，它满足 但不满足 ，所以 不是 的充分条件，C错误； 是 的充分条件，等价于 是 的必要条件，D正确． 故选：ABD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“若 且 ，则 ”的逆否命题是____________． 【答案】若 ，则 ， 不都大于 【解析】 【分析】逆否命题的写法：把条件与结论互换，然后分别否定，“且”的否定是“不都”． 【详解】原命题的条件是“ 且 ”，其否定为“， 不都大于 ”；结论是“”，其否定为“”； 互换并否定得逆否命题：若 ，则 ， 不都大于 ． 13. 若命题“对任意 ，都有 ”是真命题，则实数 的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】分离参数得 恒成立，再求 在给定范围上的最大值． 【详解】原命题等价于对 都有 ， 又 ，当 时取到最大值 ， 所以需要 ，此时不等式对范围内每个 都成立，故 ． 14. 若命题“存在实数 ，使 ”是真命题，则实数 的取值范围是____________． 【答案】 或 【解析】 【分析】存在量词命题为真，等价于二次式的最小值小于零，配方后解关于 的不等式． 【详解】，其最小值为 ， 存在实数 使该式小于零，等价于 ，即 ， 解得 或 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. （13分）证明：对于实数 ，， 且 的充要条件是 且 ． （1）证明充分性：若 且 ，则 且 ； （2）证明必要性：若 且 ，则 且 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．综合（1）（2）知 且 的充要条件是 且 ． 【解析】 【分析】充要条件的证明必须分两段：先由条件推出结论（充分性），再由结论推出条件（必要性），两段都不能少． 【详解】（1）若 且 ，由两个正数之和为正得 ，由两个正数之积为正得 ，充分性成立． （2）若 且 ，由 知 ， 同号，即同为正值或同为负值． 若 且 ，则 ，这与 矛盾； 所以只能 且 ，必要性成立． 综上， 且 的充要条件是 且 ． 【点睛】写充要条件的证明要先标明“充分性”“必要性”，必要性常用反证法：先由乘积的符号得同号，再排除同为负的情形． 16. （15分）已知命题 ：对任意 ，都有 ；命题 ：存在 ，使 ． （1）若 是真命题，求实数 的取值范围； （2）若 是真命题，求实数 的取值范围； （3）判断命题 与 能否同时为真命题，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）不能同时为真命题，因为 恰好是 的否定． 【解析】 【分析】因为范围内的 都是正数，可以把参数分离出来： 恒成立型求最小值， 有解型求最小值后取严格不等号． 【详解】（1）当 时 ，由 得 ，需要对范围内每个 都成立， 又 （因为 ），当 时取到最小值 ， 所以 ． （2） 为真即存在 使 ，只需 大于 的最小值 ，所以 ． （3）命题 是命题 的否定，一个命题与它的否定不可能同时为真，所以 与 不能同时为真命题． 【点睛】“恒成立”对应 不超过最小值（可取等号），“有解”对应 大于最小值（不能取等号），等号能否取到是这两类问题的关键差别． 17. （15分）已知命题 ：无论 取什么实数，式子 的值都大于 ；命题 ：方程 有实数解． （1）若 与 都是真命题，求实数 的取值范围； （2）若 与 恰有一个是真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1）；（2） 或 ． 【解析】 【分析】先分别求出 真、 真时 的条件（都用配方法），再按“同时真”取交集、“恰有一个真”分两类取并集． 【详解】 为真： 对任意实数 成立，等价于 ，即 ； 为真： 有实数解，等价于 ，即 ． （1）两者都真，需 且 ，所以 ． （2）若 真 假，则 且 ，得 ；若 假 真，则 且 ，得 ； 所以 的取值范围是 或 ． 【点睛】“恰有一个为真”是分类讨论题：两类情形分别求解，最后取并集；千万不要把两类情形的条件取交集． 18. （17分）已知命题 ：存在实数 ，使 成立；命题 ：对任意 ，都有 成立． （1）写出命题 的否定； （2）若命题 的否定是真命题，求实数 的取值范围； （3）若 与 都是真命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1）命题 的否定是“对任意实数 ，都有 ”； （2）；（3）． 【解析】 【分析】“存在型不等式不成立”转化为“恒成立”，用配方求最值；“对任意 有 ”只需在端点处成立即可确定 的下界． 【详解】（1）存在量词命题的否定是全称量词命题：对任意实数 ，都有 ． （2）该否定为真，即 对任意实数 成立，只需 ，所以 ． （3） 为真即存在实数 使 ，也就是 有解，只需 ，得 ； 为真即在 上都成立 ，其中 时要求最严格，得 ； 两者都真，需 且 ，即 ． 【点睛】由“存在”型命题的否定为真求参数，本质是把“有解”换成“恒成立”，再用配方求最值，注意等号能否取到． 19. （17分）定义：设 ， 是两个命题，若 是 的充分不必要条件，则称 是 的“强条件”；若 是 的必要不充分条件，则称 是 的“弱条件”；若 是 的充要条件，则称 与 “等价”．已知命题 ：，命题 ：，其中 为实数． （1）当 时，指出命题 与 的关系； （2）若 是 的弱条件，求 的取值范围； （3）是否存在实数 ，使 是 的强条件？请说明理由． 【答案】（1） 是 的弱条件（等价地， 是 的强条件）；（2）；（3）不存在，理由见解析． 【解析】 【分析】新定义只是把“充分不必要”“必要不充分”“充要”换了名字，所以一律翻译成两个对应区间的包含关系来判断． 【详解】命题 对应区间 （长度为 ），命题 对应区间 （长度为 ）． （1）当 时 ，它是 的真子集，所以 能推出 、 推不出 ，即 是 的强条件， 是 的弱条件． （2） 是 的弱条件，即 是 的必要不充分条件，等价于 是 的真子集， 于是 且 ，得 ；此时 的长度为 ， 的长度为 ，两者不可能相等，真包含必然成立，所以 ． （3）若 是 的强条件，则 是 的真子集，但 的长度 大于 的长度 ，一个较长区间的包含于较短区间是不可能的， 所以不存在这样的实数 ． 【点睛】处理新定义题的关键是“翻译”：把新名词换回课本语言（充分、必要、充要），再用集合的包含关系比较区间端点． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年高一数学章节测试卷 第二章 常用逻辑用语 拔高卷（一） 用时：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“若 ， 都是偶数，则 是偶数”及其逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　） A. B. C. D. 2. “对任意实数 ，都有 ”成立的充要条件是（　　） A. B. C. D. 3. 若命题“存在实数 ，使 ”是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 4. “ 且 ”是“ 且 ”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 既不充分也不必要条件 D. 充要条件 5. 已知命题 ：存在实数 ，使 ；命题 ：对任意实数 ，都有 ．若 与 恰有一个是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A. 或 B. C. 或 D. 或 6. 命题 ：若实数 ， 满足 ，则 ．下列判断正确的是（　　） A. 是真命题，它的逆命题是假命题 B. 是假命题，它的逆命题是真命题 C. 是真命题，它的逆命题也是真命题 D. 与它的逆命题都是假命题 7. 已知 ，，若“”是“”的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 若命题“对任意 ，都有 ”是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知 ， 为实数，下列结论正确的是（　　） A. “”是“”的充分不必要条件 B. “”是“”的充分条件 C. “ 且 ”是“ 且 ”的充分不必要条件 D. “”是“”的必要条件 10. 下列命题中是真命题的是（　　） A. 存在实数 ，使 B. 对任意实数 ，都有 C. 存在正整数 ，使 D. 对任意实数 ，，都有 11. 已知 ：，：，：，则下列结论正确的是（　　） A. 是 的充分条件 B. 是 的充分条件 C. 是 的充分条件 D. 是 的必要条件 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 命题“若 且 ，则 ”的逆否命题是____________． 13. 若命题“对任意 ，都有 ”是真命题，则实数 的取值范围是____________． 14. 若命题“存在实数 ，使 ”是真命题，则实数 的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 证明：对于实数 ，， 且 的充要条件是 且 ． （1）证明充分性：若 且 ，则 且 ； （2）证明必要性：若 且 ，则 且 ． 16. 已知命题 ：对任意 ，都有 ；命题 ：存在 ，使 ． （1）若 是真命题，求实数 的取值范围； （2）若 是真命题，求实数 的取值范围； （3）判断命题 与 能否同时为真命题，并说明理由． 17. 已知命题 ：无论 取什么实数，式子 的值都大于 ；命题 ：方程 有实数解． （1）若 与 都是真命题，求实数 的取值范围； （2）若 与 恰有一个是真命题，求实数 的取值范围． 18. 已知命题 ：存在实数 ，使 成立；命题 ：对任意 ，都有 成立． （1）写出命题 的否定； （2）若命题 的否定是真命题，求实数 的取值范围； （3）若 与 都是真命题，求实数 的取值范围． 19. 定义：设 ， 是两个命题，若 是 的充分不必要条件，则称 是 的“强条件”；若 是 的必要不充分条件，则称 是 的“弱条件”；若 是 的充要条件，则称 与 “等价”．已知命题 ：，命题 ：，其中 为实数． （1）当 时，指出命题 与 的关系； （2）若 是 的弱条件，求 的取值范围； （3）是否存在实数 ，使 是 的强条件？请说明理由． 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $