专题2.1 认识一元二次方程（4大知识点+7大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题2.1 认识一元二次方程 知识点 1：一元二次方程的定义   1. 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。   2. 三个必备条件（必须同时满足）：①是整式方程，分母不能含有未知数；②只含有一个未知数；③化简整理后未知数最高次数为 2。   3. 常见反例：分式方程、含有两个未知数、化简后最高次数不是 2 的方程，都不属于一元二次方程。 知识点 2：一元二次方程的一般形式   1. 一般形式：（为常数，）。是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。   2. 重要说明：是核心条件，可以等于 0；各项连同前面的符号一起看待；任何一元二次方程都可以整理化为一般形式。   3. 三种特殊形式 特殊情况 方程形式 限制条件 知识点 3：一元二次方程的解（根）   1. 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。   2. 性质：把根代入原方程，等式一定成立；一元二次方程可以无实数根、有两个相等实数根、两个不相等实数根。   3. 代入规则：若是方程的根，则一定满足，可以用于整体代入、降次计算。 知识点 4：估算一元二次方程的近似解（夹逼法）   1. 核心思想：列表代入取值，利用代数式值的正负变化，不断缩小未知数取值范围，逼近方程的解，教材称为夹逼法。   2. 操作步骤：①化为一般形式；②结合实际意义确定未知数大致范围；③列表取值，观察代数式正负；④不断缩小区间，得到近似解。   3. 实际问题注意：估算得到的解必须符合现实意义，负数、超出实际范围的值要舍去。 【基础必考题型】 【题型 1】一元二次方程概念辨析 1.核心知识点   一元二次方程三个必备条件；整式方程识别；化简之后再判断；区分一元二次、一元一次、分式方程。 2.解题方法技巧   ①先对原式去括号、移项、合并同类项化简，再判断；   ②看分母是否含未知数，分母含未知数直接排除；   ③检查未知数个数、化简之后最高次数；   ④注意没有说明时，不能直接判定是一元二次方程。 【例题1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）下列方程中，不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东济南·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【题型 2】一般形式下识别各项系数 1.核心知识点   二次项、一次项、常数项定义；系数包含符号；一般形式的要求。 2.解题方法技巧   ①必须先化成一般形式，再识别系数，不能直接看原始未整理方程；   ②一次项或者常数项为 0 时，对应系数就是 0；   ③区分 “二次项” 和 “二次项系数”，项是代数式，系数是数字。 【例题2】.（26-27九年级上·山东济南·开学考试）把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题2-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程化为一般形式为________________，其中二次项系数 ________，一次项系数 ________，常数项 ________． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．2， B．2，1 C．2，或，1 D．2，0 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3 0 1 1 7 0 4 【题型 3】检验并判断方程的根 1.核心知识点   一元二次方程根的定义；数值代入计算；等式成立判断。 2.解题方法技巧   ①将待检验数值完整代入方程左右两边；   ②分别计算左右代数式结果，两边相等即为方程的根；   ③一个一元二次方程最多存在两个实数根。 【例题3】.（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）方程的解是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【变式题3-3】.（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D．无法确定 【培优高频题型】 【题型 4】根据定义求方程中的参数 1.核心知识点   一元二次方程定义；二次项系数不为 0 的隐含条件；方程次数要求。 2.解题方法技巧   ①未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的等式；   ②必须额外增加条件：二次项系数不等于 0，舍去使二次项系数为 0 的参数解；   ③看清题意区分：是 “一元二次方程” 还是 “一元一次方程”，两种情况条件不一样。 【例题4】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·重庆·开学考试）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 【变式题4-2】.（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·江苏宿迁·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型 5】由方程的根求参数的值 1.核心知识点   一元二次方程根的含义；代入法求字母参数；一元二次方程隐含。 2.解题方法技巧   ①把已知根代入原方程，得到关于参数的新方程；   ②解出参数之后，回代检验是否满足一元二次方程条件；   ③若根为 0，可以直接代入简化计算。 【例题5】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（     ） A．2 B． C．3 D． 【变式题5-1】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）若是方程的一个根，则a的值为（     ） A．2 B． C．1 D．0 【变式题5-2】.（2026·辽宁阜新·二模）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【压轴素养题型】 【题型 6】利用方程的根整体代入求值 1.核心知识点   方程根的定义；整体思想；代数式化简；不直接求未知数的值。 2.解题方法技巧   ①把根代入方程，得到可以整体使用的等式；   ②对所求代数式变形，凑出等式里面的整体部分；   ③整体替换，不需要解出未知数具体数值再代入。 【例题6】.（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·重庆·开学考试）若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·广西百色·期中）已知a是方程的解，则的值是__________． 【题型 7】夹逼法估算方程近似解 1.核心知识点   夹逼思想；代数式求值；根据正负缩小解的取值范围；实际问题取值取舍。 2.解题方法技巧   ①实际问题先排除无意义负数解；   ②列表代入，观察代数式由正变负或者负变正，解就在这两个自变量之间；   ③按照题目精度要求，多次缩小区间；   ④估算结束检验，看结果是否符合现实约束。 【例题7】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·周测）根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【变式题7-2】.（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【变式题7-3】.（2025九年级上·全国·专题练习）根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 易错点 1、判断一元二次方程时，没有先化简，直接看原始式子做判断；忽略二次项系数这个隐藏条件。 2、确定各项系数的时候，没有化成一般形式，同时漏掉系数前面的正负符号。 3、参数题，只满足未知数次数等于 2，忘记舍去二次项系数等于 0的解。 4、混淆方程的 “项” 和 “项的系数”，把当成一次项系数。 5、估算方程近似解，忽略实际情境，保留负数、不符合现实条件的解。 6、整体代入、降次题型，强行求出未知数，计算量大，容易出现计算错误。 重点 1、掌握一元二次方程定义的三个条件，能够准确识别一元二次方程。 2、会将方程整理为一般形式，正确识别二次项、一次项、常数项及其系数。 3、理解一元二次方程根的含义，熟练掌握代入求值、整体代入的基础方法。 4、可以从几何、生活、传统文化情境抽象出一元二次方程，建立数学模型。 5、掌握夹逼估算法，会列表格估算一元二次方程的近似解。 难点 1、含参数的一元二次方程，综合判断次数与二次项系数的约束条件，完整取舍参数解。 2、降次化简、换根推理，利用方程根做代数式变形，发展代数推理能力。 3、从复杂实际、跨学科、新定义探究情境提取等量关系，建立一元二次方程模型。 4、夹逼法估算近似解，理解逐步逼近的数学思想，结合实际筛选有效解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．方程化为一元二次方程的一般形式是（     ） A． B． C． D． 3．观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 二、填空题 4．已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为________． 5．已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 6．若是方程的一个根，则___________． 三、解答题 7．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 8．已知是方程的一个根，求代数式的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 认识一元二次方程 知识点 1：一元二次方程的定义   1. 定义：等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程。   2. 三个必备条件（必须同时满足）：①是整式方程，分母不能含有未知数；②只含有一个未知数；③化简整理后未知数最高次数为 2。   3. 常见反例：分式方程、含有两个未知数、化简后最高次数不是 2 的方程，都不属于一元二次方程。 知识点 2：一元二次方程的一般形式   1. 一般形式：（为常数，）。是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项。   2. 重要说明：是核心条件，可以等于 0；各项连同前面的符号一起看待；任何一元二次方程都可以整理化为一般形式。   3. 三种特殊形式 特殊情况 方程形式 限制条件 知识点 3：一元二次方程的解（根）   1. 定义：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫根。   2. 性质：把根代入原方程，等式一定成立；一元二次方程可以无实数根、有两个相等实数根、两个不相等实数根。   3. 代入规则：若是方程的根，则一定满足，可以用于整体代入、降次计算。 知识点 4：估算一元二次方程的近似解（夹逼法）   1. 核心思想：列表代入取值，利用代数式值的正负变化，不断缩小未知数取值范围，逼近方程的解，教材称为夹逼法。   2. 操作步骤：①化为一般形式；②结合实际意义确定未知数大致范围；③列表取值，观察代数式正负；④不断缩小区间，得到近似解。   3. 实际问题注意：估算得到的解必须符合现实意义，负数、超出实际范围的值要舍去。 【基础必考题型】 【题型 1】一元二次方程概念辨析 1.核心知识点   一元二次方程三个必备条件；整式方程识别；化简之后再判断；区分一元二次、一元一次、分式方程。 2.解题方法技巧   ①先对原式去括号、移项、合并同类项化简，再判断；   ②看分母是否含未知数，分母含未知数直接排除；   ③检查未知数个数、化简之后最高次数；   ④注意没有说明时，不能直接判定是一元二次方程。 【例题1】.（26-27九年级上·江苏南京·阶段检测）下列是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元二次方程要满足以下条件：只含1个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，据此可得到答案． 【详解】解：选项A，含,两个未知数，不符合题意． 选项B，只含一个未知数，的最高次数为2，是整式方程，符合题意． 选项C，未说明，当时不是二次方程，不符合题意． 选项D，不是等式，不属于方程，不符合题意． 【变式题1-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）下列方程中，不是一元二次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0）逐项判断即可． 【详解】解：A．，是一元二次方程，故该选项不符合题意； B．方程写成一般形式为，是一元二次方程，故该选项不符合题意； C．方程，左边是分式形式，不是一元二次方程，故该选项符合题意； D．方程，写成一般形式为，是一元二次方程，故该选项不符合题意． 【变式题1-2】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从是否为整式方程、未知数个数、未知数最高次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：选项A：中未知数最高次数为1，不符合题意； 选项B：不是整式方程，且含有两个未知数和，不符合题意； 选项C：是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为2，符合题意； 选项D：中未知数最高次数为3，不符合题意； 故答案为C． 【变式题1-3】.（25-26八年级下·山东济南·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：选项A：，是整式方程，只含一个未知数，且的最高次数为， 满足一元二次方程的所有条件，正确； 选项B：含有两个未知数，不满足定义，错误； 选项C：分母含有未知数，不是整式方程，不满足定义，错误； 选项D：未知数的最高次数为，不满足定义，错误. 【题型 2】一般形式下识别各项系数 1.核心知识点   二次项、一次项、常数项定义；系数包含符号；一般形式的要求。 2.解题方法技巧   ①必须先化成一般形式，再识别系数，不能直接看原始未整理方程；   ②一次项或者常数项为 0 时，对应系数就是 0；   ③区分 “二次项” 和 “二次项系数”，项是代数式，系数是数字。 【例题2】.（26-27九年级上·山东济南·开学考试）把一元二次方程化成一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：整理得， 所以二次项系数为4，一次项系数为，常数项为． 【变式题2-1】.（2026九年级上·全国·专题练习）一元二次方程化为一般形式为________________，其中二次项系数 ________，一次项系数 ________，常数项 ________． 【答案】 2 1 【分析】将原方程化为一般形式，对应即可确定各项系数． 【详解】移项，得， 所以, , ． 【变式题2-2】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别是（    ） A．2， B．2，1 C．2，或，1 D．2，0 【答案】C 【分析】先将一元二次方程化为一般形式，再根据一元二次方程的二次项系数、一次项系数的定义，求解即可． 【详解】解：∵， 整理得，， 此时二次项系数为，一次项系数为； ∵， 整理得，， 此时二次项系数为，一次项系数为， ∴一元二次方程的二次项系数和一次项系数分别为，或，． 【变式题2-3】.（26-27九年级上·全国·课后作业）把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 【答案】 方程 一般形式 二次项系数 一次项系数 常数项 3 0 1 1 7 0 4 【分析】先将各方程一元二次方程一般形式，再利用一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项的定义解答即可． 【详解】解：方程可化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：3，，0； 方程可化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：1，1，； 方程可化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为：7，0，4． 【题型 3】检验并判断方程的根 1.核心知识点   一元二次方程根的定义；数值代入计算；等式成立判断。 2.解题方法技巧   ①将待检验数值完整代入方程左右两边；   ②分别计算左右代数式结果，两边相等即为方程的根；   ③一个一元二次方程最多存在两个实数根。 【例题3】.（25-26九年级上·江西南昌·阶段检测）下列选项中是一元二次方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将题中的一元二次方程通过因式分解得到或，解得x的值，再对应选项中的值即可． 【详解】解：， 或， 解得：，． 故选：C． 【变式题3-1】.（26-27九年级上·甘肃天水·阶段检测）方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把先移项，再因式分解后，解出即可得答案． 【详解】解： 移项得：， 因式分解得：， ∴或， ∴，． 【变式题3-2】.（26-27九年级上·江苏南京·单元测试）一元二次方程的解是（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】利用因式分解法把方程转化为或，然后解两个一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 【变式题3-3】.（25-26九年级上·福建福州·阶段检测）一元二次方程的解是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据题意可得或，再求出解即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∴，． 【培优高频题型】 【题型 4】根据定义求方程中的参数 1.核心知识点   一元二次方程定义；二次项系数不为 0 的隐含条件；方程次数要求。 2.解题方法技巧   ①未知数的最高次数等于 2，列出关于参数的等式；   ②必须额外增加条件：二次项系数不等于 0，舍去使二次项系数为 0 的参数解；   ③看清题意区分：是 “一元二次方程” 还是 “一元一次方程”，两种情况条件不一样。 【例题4】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若是关于x的一元二次方程，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列条件求解． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴需满足， 由解得或又由得， ∴． 【变式题4-1】.（26-27九年级上·重庆·开学考试）若方程是关于x的一元二次方程，则m的值为（     ） A．3 B． C．3或 D．0 【答案】A 【分析】一元二次方程，二次项系数不为0，未知数的最高次数是2． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴，且， 由得， 即或， 由得， ∴． 【变式题4-2】.（25-26八年级下·安徽阜阳·阶段检测）若关于的方程是一元二次方程，则________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，未知数最高次数为2，且二次项系数不为0，据此列方程与不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程 ∴ 由得：或 解得或 由，∴ ∴． 【变式题4-3】.（25-26九年级下·江苏宿迁·阶段检测）若方程是关于的一元二次方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程二次项系数不为0的要求，即可求解． 【详解】∵ 方程是关于的一元二次方程． ∴ 二次项系数不能为，即 ． 解得 ． 【题型 5】由方程的根求参数的值 1.核心知识点   一元二次方程根的含义；代入法求字母参数；一元二次方程隐含。 2.解题方法技巧   ①把已知根代入原方程，得到关于参数的新方程；   ②解出参数之后，回代检验是否满足一元二次方程条件；   ③若根为 0，可以直接代入简化计算。 【例题5】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）如果是一元二次方程的一个根，那么常数k的值是（     ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】将代入原方程，求解关于的一元一次方程. 【详解】解：把代入，得， 整理得，解得. 【变式题5-1】.（26-27九年级上·广西南宁·开学考试）若是方程的一个根，则a的值为（     ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【详解】解：将代入方程， 得， 整理得， 解得． 【变式题5-2】.（2026·辽宁阜新·二模）若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为______． 【答案】 【分析】已知是给定一元二次方程的一个根，将代入原方程，可得到关于的一元一次方程，解该方程即可得到的值． 【详解】由题意，将代入方程， 得 ， 整理得 ， 即 ， 解得 ． 【变式题5-3】.（25-26八年级下·安徽阜阳·期中）若关于的一元二次方程的一个根是，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】解：∵是一元二次方程 的一个根， ∴将代入原方程得， 解得． 【压轴素养题型】 【题型 6】利用方程的根整体代入求值 1.核心知识点   方程根的定义；整体思想；代数式化简；不直接求未知数的值。 2.解题方法技巧   ①把根代入方程，得到可以整体使用的等式；   ②对所求代数式变形，凑出等式里面的整体部分；   ③整体替换，不需要解出未知数具体数值再代入。 【例题6】.（25-26八年级上·上海黄浦·期中）若是方程的一个根，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的特征．把代入方程得到，将原式转化为，然后代入求值即可． 【详解】解： 是方程的一个根， ∴， ， ， 故答案为：． 【变式题6-1】.（25-26九年级上·陕西安康·阶段检测）若是关于的一元二次方程的一个根，则______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的定义得到满足的等式，通过整体变形计算所求代数式的值． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根， ∴将代入方程得 ， ∴整理得 ， 将等式两边同时乘以，得 ． 【变式题6-2】.（26-27九年级上·重庆·开学考试）若是关于的一元二次方程的一个实数根，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到的值，将所求代数式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：是关于的一元二次方程的一个实数根， 将代入方程得， ， 可得：， 把代入， 可得：原式． 【变式题6-3】.（25-26八年级下·广西百色·期中）已知a是方程的解，则的值是__________． 【答案】2005 【分析】先求出，再代入计算即可． 【详解】解：是方程的解， ， ， ． 【题型 7】夹逼法估算方程近似解 1.核心知识点   夹逼思想；代数式求值；根据正负缩小解的取值范围；实际问题取值取舍。 2.解题方法技巧   ①实际问题先排除无意义负数解；   ②列表代入，观察代数式由正变负或者负变正，解就在这两个自变量之间；   ③按照题目精度要求，多次缩小区间；   ④估算结束检验，看结果是否符合现实约束。 【例题7】.（26-27九年级上·广东深圳·开学考试）观察下面的表格，一元二次方程的一个解的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：方程的解是使的值为1的． ∵当时，，当时，． ∴方程的一个解的取值范围是． 【变式题7-1】.（26-27九年级上·全国·周测）根据表格中的对应值，判断关于x的方程的一个解x的取值范围是（     ） x 3 4 5 0.5 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴二次函数的图象与轴的一个交点在之间， ∴关于的方程的一个解的取值范围是 【变式题7-2】.（2026·山东聊城·模拟预测）根据表格，判断关于x的方程的一个解的范围是（   ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 0.84 2.29 3.76 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由表格找到的值在两个相邻处分别小于和大于，则方程的解就在这两个之间． 【详解】解： 由表格可知：当时，， 当时，， 方程的一个解的取值范围为． 【变式题7-3】.（2025九年级上·全国·专题练习）根据下列表格的对应值： 可以判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】B 【分析】本题考查利用函数值的连续性估算方程近似解，需关注函数值跨过目标值的区间． 通过比较表格中的值与1的大小关系，确定函数值从小于1到大于1的区间，从而得到方程解的范围． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴方程的一个解的范围是， 故选：B． 易错点 1、判断一元二次方程时，没有先化简，直接看原始式子做判断；忽略二次项系数这个隐藏条件。 2、确定各项系数的时候，没有化成一般形式，同时漏掉系数前面的正负符号。 3、参数题，只满足未知数次数等于 2，忘记舍去二次项系数等于 0的解。 4、混淆方程的 “项” 和 “项的系数”，把当成一次项系数。 5、估算方程近似解，忽略实际情境，保留负数、不符合现实条件的解。 6、整体代入、降次题型，强行求出未知数，计算量大，容易出现计算错误。 重点 1、掌握一元二次方程定义的三个条件，能够准确识别一元二次方程。 2、会将方程整理为一般形式，正确识别二次项、一次项、常数项及其系数。 3、理解一元二次方程根的含义，熟练掌握代入求值、整体代入的基础方法。 4、可以从几何、生活、传统文化情境抽象出一元二次方程，建立数学模型。 5、掌握夹逼估算法，会列表格估算一元二次方程的近似解。 难点 1、含参数的一元二次方程，综合判断次数与二次项系数的约束条件，完整取舍参数解。 2、降次化简、换根推理，利用方程根做代数式变形，发展代数推理能力。 3、从复杂实际、跨学科、新定义探究情境提取等量关系，建立一元二次方程模型。 4、夹逼法估算近似解，理解逐步逼近的数学思想，结合实际筛选有效解。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元二次方程的定义判断即可，一元二次方程需满足三个条件：是整式方程，只含一个未知数，未知数最高次数为2． 【详解】解：一元二次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程． 选项A：，只含1个未知数，未知数最高次数为2，且是整式方程，符合一元二次方程的定义； 选项B：含有两个未知数，不符合一元二次方程的定义； 选项C：分母含有未知数，是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义； 选项D：未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不符合一元二次方程的定义． 综上，故选A． 2．方程化为一元二次方程的一般形式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 3．观察下列表格，求一元二次方程的一个近似解是（   ） 0.6 0.9 1.2 1.5 1.8 2.1 0.24 0.75 1.44 2.3 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了估算一元二次方程的解．通过观察表格中的值与方程右边的1.1比较，确定解所在的范围即可． 【详解】解：∵ 当时，， 当时，， ∴ 方程的解在和之间， 即． 故选：C． 二、填空题 4．已知是一元二次方程的一个实数根，求的值为________． 【答案】2028 【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的一个实数根， ， 即， ∴． 5．已知是关于的一元二次方程，则的值为___． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟知一元二次方程的定义是解答的关键． 根据一元二次方程的定义，方程中的最高次数必须 2，且二次项系数不能为零．因此，需满足指数且系数． 【详解】解：由方程是关于的一元二次方程，得的最高次数为2，即， 解得． 又因为二次项系数，即， 所以， 当时，方程为，满足一元二次方程的定义． 故答案为：． 6．若是方程的一个根，则___________． 【答案】2023 【分析】根据一元二次方程根的定义得到，展开所求式子后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∵， ∴. 三、解答题 7．已知关于x的方程． (1)当m为何值时，此方程是一元一次方程？ (2)当m为何值时，此方程是一元二次方程？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义解答即可； （2）根据一元二次方程的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且， 即且， ∴； （2）解：∵关于x的方程是一元二次方程， ∴， 解得 8．已知是方程的一个根，求代数式的值． 【答案】11 【分析】将代入方程中，得，再化简，得到，最后代入数值6，即可求解． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴ ， ， ， ， ． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $