专题03正方形的性质与判定期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年北师大版九年级数学上册

专题03正方形的性质与判定期中复习讲义 1.理解正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，明确正方形兼具矩形、菱形的全部性质，是特殊的矩形与菱形。 2.掌握正方形性质：四条边相等，四个角都是直角；对角线相等、互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；清楚轴对称与中心对称特点。 3.熟练掌握正方形的判定方法，理清判定的逻辑链条，能从平行四边形、矩形、菱形三个不同起点判定正方形，规范书写证明过程。 4.会结合勾股定理，利用正方形性质完成角度、线段长度、图形面积的计算。 5.能够区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，厘清四者之间的从属关系，避免概念混淆。 6.会处理正方形常见综合模型，例如正方形折叠、正方形中全等证明等题型，完成几何推理与计算。 7.把握易错点：判定正方形必须同时满足矩形 + 菱形的特征，不可只满足单一条件；解题注意正方形对角线带来的 45° 角的运用。 题型 考察方向 难度 题型一 正方形性质理解 ★ 题型二 根据正方形的性质求角度 ★★ 题型三 根据正方形的性质求线段长 ★★ 题型四 根据正方形的性质求面积 ★★ 题型五 根据正方形的性质证明 ★★ 题型六 正方形折叠问题 ★★★★ 题型七 求正方形重叠部分面积 ★★★★ 题型八 正方形的判定定理理解 ★ 题型九 添一个条件使四边形是正方形 ★★ 题型十 证明四边形是正方形 ★★★ 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 ★★★ 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 ★★★ 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 ★★★ 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 ★★★ 题型十五 中点四边形 ★★★ 题型十六 特殊）平行四边形的动点问题 ★★★★ 题型十七 四边形中的线段最值问题 ★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:正方形的定义（课本核心） 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形。 一句话秒懂：正方形 = 矩形 + 菱形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形，堪称四边形 “顶配图形”。 知识点02:正方形五大全能性质（必考重点） 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03.正方形的判定（核心 知识点04:正方形计算公式（直接套用） 1.周长：C=4×边长 2.面积两种算法：S=边长×边长 S=×对角线2 3.边长与对角线关系：正方形对角线 =边长 知识点05:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 高频易错避雷区 1.误区：对角线相等且垂直的四边形是正方形 ❌错！必须加前提：平行四边形 2.误区：有一个直角的菱形不是正方形 ❌错！直接判定为正方形 3.混淆点：矩形看直角、等对角线；菱形看等边、垂对角线；正方形全部都满足。 题型一：正方形性质理解 1．正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行 B．对角相等 C．对角线互相平分D．对角线互相垂直 【答案】D 【分析】本题考查正方形与平行四边形的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键． 平行四边形的通用性质为：对边平行，对角相等，对角线互相平分，通过对比性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A.对边平行，正方形和平行四边形都具有，不符合题意； B.对角相等，正方形和平行四边形都具有，不符合题意； C.对角线互相平分，正方形和平行四边形都具有，不符合题意； D.正方形的对角线互相垂直平分，而一般平行四边形的对角线仅互相平分，不一定垂直，则对角线互相垂直是正方形具有而平行四边形不一定具有的性质，符合题意． 2．如图，正方形的边长为，平行于轴，点的坐标为，则点的坐标为_______________． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形性质以及正方形的性质，根据正方形的性质及边长结合已知推出轴，轴，继而确定点的横、纵坐标．解题的关键是明确正方形的各条边相等，能根据图形找出它们之间的关系． 【详解】解：∵正方形的边长为，平行于轴， ∴，即，轴， ∴轴，轴， ∵点的坐标为， ∴点的横坐标为，纵坐标为：， ∴点的坐标为． 故答案为：． 3．如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为______． 【答案】12 【分析】本题考查的是正方形的性质，多边形内角与外角，先求解正多边形的1个内角度数，得到正多边形的1个外角度数，再结合外角和可得答案，关键是正方形性质的应用． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， 正边形的一个外角为， 的值为． 故答案为：12． 题型二：根据正方形的性质求角度 4．在正方形中，，相交于点O，根据正方形的性质：对角线相等且互相垂直平分，得______． 【答案】/度 【分析】正方形的内角为，对角线平分正方形的内角，据此计算的度数． 【详解】解：∵ 四边形是正方形， ∴ ，对角线平分，在上， ∴． 5．如图，是正方形的边延长线上一点，且，则__________． 【答案】 【分析】先利用正方形对角线性质求出的度数，再结合等腰三角形性质与三角形外角定理求出． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 6．如图，在正方形内部以为边作等边，连接交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得出，，再根据三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴． 题型三：根据正方形的性质求线段长 7．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线AC的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正方形对角线求边长，菱形作垂线构造含直角三角形，再用勾股定理求解． 【详解】解：原来为正方形时设边长为a， 由勾股定理有，即，解得， 即， 当学具变为菱形时，过点C作，交延长线于点M， ∵四边形为菱形且， ∴， ∴， 由作图得， ∴， ∴， 由勾股定理有，即， ∴ ∴在中，由勾股定理有，即， 故C选项符合题意． 8．如图，正方形的对角线、相交于点O，是直角三角形，，，分别交，于点，．若四边形的面积是3，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正方形的性质和是直角三角形，可证得，将四边形的面积转化为的面积，得到的长，从而计算出对角线的长． 【详解】解：∵正方形的对角线、相交于点， ∴，，， ∵是直角三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴． 9．如图，在正方形中，点P是上一点，过点P作于点E， 于点F，连接，若，则的最小值为___________ ． 【答案】 【分析】先证明四边形为矩形，连接,可得到,当点P运动到中点时， ,此时可得到最小值，再代入具体数值计算，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接． ∵ ， ， ∵四边形为正方形， ∴, ∴四边形为矩形， ∴, 当点P运动到中点时，, 此时有最小值，即有最小值， ∵， ∴, ∴, ∴, ∴最小值为． 题型四：根据正方形的性质求面积 10．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】通过两个小正方形的面积，分别求出正方形的边长，则可求最大的正方形的边长，再用大正方形面积减去两个小正方形面积求解即可． 【详解】解：∵小正方形的面积为， ∴小正方形的边长为， ∵大一点的正方形的面积为， ∴大一点的正方形的边长为， 则最外边的大正方形的边长为， ∴， ∴， 则留下的阴影部分的面积为 ． 11．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是____________． 【答案】 【分析】本题考查的是中心对称，正方形的性质，连接，根据中心对称的定义可知，阴影的面积等于正方形面积差的四分之一． 【详解】解：连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是4和3， ∴正方形的面积分别为和， ∴图中阴影部分的面积． 12．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为，则两个正方形重叠部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设与交于点，与交于点，根据题意可得，结合正方形的性质证明，则两个正方形重叠部分的面积等于，即正方形面积的四分之一，已知正方形的边长，可据此求出重叠部分的面积． 【详解】解：如图，设与交于点，与交于点， 正方形、正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ， 则两个正方形重叠部分的面积为 ． 题型五：根据正方形的性质证明 13．如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（   ） A．3 B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查正方形与折叠，含30度角的直角三角形，根据正方形的性质，折叠的性质，得到，进而得到，，设，则，，即可得到，求解即可．解题的关键是掌握正方形的性质和折叠的性质． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵将四边形沿折叠，点恰好落在边上， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：． 故选：B． 14．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________． 【答案】2 【分析】设，连接，，求出，然后在和中，由勾股定理得出方程，解方程即可，熟练掌握翻折变换的性质和正方形的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键． 【详解】解：设， 连接，，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴. ，， ∵， ∴， 在中，， 在中，， 由折叠的性质得：， ∴， 即， 解得：， 即． 故答案为：2． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设正方形的边长为，与轴相交于，先判断四边形是矩形，得出，，，根据折叠的性质得出，，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，在中，利用勾股定理构建关于的方程，求出的值，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，与轴相交于， 正方形的边在轴上， 四边形是矩形， ，，， 折叠， ，， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 在中，， ， 解得， ，， 在中，， ， 解得， ， 点的坐标为． 题型六：正方形折叠问题 16．如图，边长为 4cm 的正方形 ABCD 先向上平移 2cm ，再向右平移1cm ，得到正方形 A ' B 'C ' D ' ， 此时阴影部分的面积为____.    【答案】6cm2 【分析】将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′，可得阴影部分是矩形，且可求阴影部分的长和宽，则面积能求出． 【详解】∵将边长为4cm的正方形ABCD先向上平移2cm，再向右平移1cm，得到正方形A′B′C′D′， ∴平移的性质可得阴影部分是矩形， ∵根据题意得：阴影部分的宽为4-2=2cm，长为4-1=3cm， ∴S阴影部分=2×3=6 cm2， 故答案为6cm2. 【点睛】本题考查正方形的性质，平移的性质，关键是理解图形变化的所表达的意义． 17．将边长为2的正方形和短边长为1的矩形按如图所示的方式摆放，则重合部分的面积是_______． 【答案】 【分析】连接正方形对角线，由边长为2得，点到对角线的距离．根据矩形的性质和判定得，则．再进行计算即可得，最后即可计算重合的面积． 【详解】解：如图，连接，交于点G，交于点H， 四边形是正方形， ，，， ∴， ∴， ∴ 解得， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵，且， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．如图，点在正方形的对角线上，且，正方形的两边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，证明△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解即可． 【详解】解：作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，    ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°， 又∵∠EPM=∠EQN=90°， ∴∠PEQ=90°， ∴∠PEM+∠MEQ=90°， ∵四边形是正方形， ∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°， ∴∠PEM=∠NEQ， ∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°， ∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形， 在△EPM和△EQN中，， ∴△EPM=△EQN(ASA)， ∴S△EQN=S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积， ∵正方形ABCD的边长为a， ∴AC=a， ∵， ∴EC=， ∴EP=PC=， ∴正方形PCQE的面积=×=， 四边形EMCN的面积=， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN． 题型七：求正方形重叠部分面积 19．操作性试题，如图，在正方形中，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形的性质得出，由作图可知，即可得出，可证明是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得出答案． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是正方形， ， ∵分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴． 20．如图，在正方形中，若，点E在上，点F在上，则①；②；③，④．其中一定成立的是_______． 【答案】①②③④ 【分析】延长至点G，使得，连接，根据正方形性质证明，得，可得，可判定，得，可得，故①正确；设正方形边长为x，结合①结论可得，故，因此②正确；由①知，，，得，即得，故③正确；由①知，，即得，故④正确． 【详解】如图，延长至点G，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴①正确； 设正方形边长为x，则， 由①知，， ∴， ∴， ∴②正确； 由①知，，， ∴， ∴， ∴③正确； 由①知，， ∴， 即， ∴④正确， ∴正确的有①②③④． 21．如图，是正方形的两条对角线，的交点，过点．若图中阴影部分的面积为，则正方形的周长为______． 【答案】 【分析】设正方形的边长为，由，可知阴影部分面积等于的面积，进而求出边长，得到正方形的周长． 【详解】解：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，． 在和中， ， ， ， ， ， 解得， 正方形的周长为． 题型八：正方形的判定定理理解 22．下列结论错误的是（     ） A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 【答案】C 【分析】正方形需同时满足矩形与菱形的特征，以此为依据判断各选项． 【详解】解：A、有一组邻边相等的矩形是正方形，判断正确，不符合题意； B、对角线互相垂直的矩形是正方形，判断正确，不符合题意； C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，不是正方形，判断错误，符合题意； D、对角线相等的菱形是正方形，判断正确，不符合题意． 23．如图，将一个矩形对折两次，沿着图中的虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，则剪切线与折痕所夹的大小为（）      A． B． C． D． 【答案】B 【分析】要想成为一个正方形，那么就必须展开后为的角，通过折叠我们知道剪下的四边形四边相等，有一个角为就为正方形． 【详解】解：剪切线与折痕所成的角的大小等于为就可以得到一个正方形． ， 故选：B． 【点睛】本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案． 24．如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是_____． 【答案】有一组邻边相等的矩形是正方形 【详解】根据翻折变换及正方形的判定方法进行分析即可得其判定方法是：有一组邻边相等的矩形是正方形． 故答案为有一组邻边相等的矩形是正方形. 题型九：添一个条件使四边形是正方形 25．如图，菱形的对角线相交于点，添加一个条件能使菱形变为正方形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴添加能使菱形变为正方形，故A符合题意； 添加，，都不能使菱形变为正方形，故B，C，D不符合题意． 26．汝城古祠堂窗花常用菱形、正方形造型．如图，现有一个菱形窗花，对角线与交于点O，试添加一个条件__________使菱形窗花正方形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据正方形的判定定理添加条件即可． 【详解】解：添加条件， 四边形是菱形， 当时，菱形是正方形； 添加条件， 四边形是菱形， ∴， 又∵， ∴， 菱形是正方形； 同理可得，添加条件，，，也可使菱形是正方形； 添加， 四边形是菱形， 当时，菱形是正方形； 同理可得，添加条件，，，也可使菱形是正方形． 27．在菱形中，连接，交于点，添加下列一个条件，仍不能使菱形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】有一个内角为直角的菱形是正方形，对角线相等的菱形是正方形． 【详解】解：如图： 选项A中、选项B中，均能使菱形为正方形，不符合题意； 对选项C：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴菱形为正方形，不符合题意； 对选项D：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，不能使菱形为正方形，符合题意． 题型十：证明四边形是正方形 28．下列说法中不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的菱形是正方形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查命题与定理，正方形的判定等知识，根据正方形判定方法，一一判断即可． 【详解】解：A、对角线互相垂直的菱形是正方形，是假命题，推不出正方形，本选项符合题意． B、有一个角是直角的菱形是正方形是真命题，本选项不符合题意． C、有一组邻边相等的矩形是正方形是真命题，本选项不符合题意． D、对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形，是真命题，本选项不符合题意． 故选：A． 29．剪纸，我县传统民间艺术，如图是边框为正八边形的剪纸图案，如图正八边形是其剪纸图案外边框，则四边形的形状是________． 【答案】正方形 【分析】利用正八边形的性质证明，即可得到结论． 【详解】解：∵正八边形， ∴，， ∴，， ∴，， 同理可得：， ∴， ∴四边形是正方形． 30．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是矩形的性质，正方形的判定，熟练掌握正方形的判定方法是解本题的关键，根据各选项添加条件结合正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， A、当时，则矩形是正方形，不符合题意； B、当时，则， ∴， ∴， ∴矩形是正方形，不符合题意； C、当时，则矩形是正方形，不符合题意； D、当时，不能判定矩形是正方形，符合题意； 故选：D． 题型十一：根据正方形的性质与判定求角度 31．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（    ） A．135° B．90° C．75° D．60° 【答案】D 【分析】根据正方体的概念和特性可知AB，AC和左面上的对角线形成一个等边三角形，进而即可求解 【详解】连接BC， ∵AC、AB、BC是正方形的对角线， ∴AC=AB=BC， ∴△ABC为等边三角形． ∴∠BAC=60°． 故选D． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质、正方形与正方形的性质；证明△ABC为等边三角形是解题的关键． 32．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查矩形与折叠，正方形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质，折叠的性质，是解题的关键，先求出的度数，折叠，推出四边形是正方形，进而得到，根据三角形的外角的性质，折叠的性质和平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：在矩形中，，． 沿折叠，点C恰好落在边上的点处，， 四边形是正方形， ． 由三角形的外角性质，得． 由翻折的性质，得，． 故答案为：． 33．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据旋转的性质，求得∠BAE=38°，根据正方形的性质，求得∠DBA=45°，∠ABH=135°，利用四边形的内角和定理计算即可． 【详解】根据旋转的性质，得∠BAE=38°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DBA=45°，∠ABH=135°， ∵四边形AEFG是正方形， ∴∠E=90°， ∴∠DHE=360°-90°-38°-135°=97°， 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，四边形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 题型十二：根据正方形的性质与判定求线段长 34．如图，正方形的边长为12，，分别为，边上的点，且，，分别为，边上的点，且交，于点，，则的长为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理可求AE的长，通过证明四边形AFCE是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：正方形的边长为12， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，利用面积法求GH的长是本题的关键． 35．如图，在正方形中，点在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．若，，则的长度为________． 【答案】 【分析】过点作，交延长线于点，作于点，先证出，则，，再得出，进而可得，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，作于点， ∴， ∵四边形是正方形，， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， 由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， ∴， ∴在中，． 36．如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作于，于，利用正方形对角线的性质证，结合证，得，再利用等腰直角三角形性质与角度和差关系，推导的度数． 【详解】解：过点作于，于． 则， 四边形是正方形，是对角线， ，， ∴四边形是矩形， ∵，，， ， ∴四边形是正方形， ． ， ， ． 在和中， ， ， ，． ，， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． ． 题型十三：根据正方形的性质与判定求面积 37．如图，在正方形的各边上顺次截取，若四边形面积是10，则正方形的面积为________． 【答案】16 【分析】利用SAS可证△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH，从而证出四边形为正方形，然后利用勾股定理即可求出AH，从而求出AD，最后根据正方形的面积公式即可求出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD为正方形 ∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠B=∠C=∠D=90° ∵ ∴AH=BE=CF=DG ∴△AHE≌△BEF≌△CFG≌△DGH ∴EH=FE=GF=HG，∠AEH=∠BFE ∴四边形为菱形， ∵∠BFE＋∠BEF=90° ∴∠AEH＋∠BEF=90° ∴∠HEF=90° ∴四边形为正方形 ∵四边形面积是10， ∴ ∵AH2＋AE2= ∴AH2＋32= 解得：AH=1或-1（不符合实际，舍去） ∴AD=AH＋HD=4 ∴正方形的面积为 故答案为：16． 【点睛】此题考查的是正方形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理，掌握正方形的判定及性质、全等三角形的判定及性质和勾股定理是解决此题的关键． 38．如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】先证明四边形为正方形，得出，根据勾股定理求出，根据求出结果即可． 【详解】解：∵在菱形中，， ∴四边形为正方形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴ ． 39．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 【答案】B 【分析】过点E作于点P，于点Q，由正方形的性质得到，，，根据勾股定理求得，从而得到，证明四边形是正方形，得到，，，进而证得，得到，从而，根据勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：过点E作于点P，于点Q， ∵正方形的边长为3， ∴，，， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 在中，，， 又， ∴， 解得（负值舍去）， ∴， ∴． 题型十四：根据正方形的性质与判定证明 40．如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理，连接交于O，可知，根据四边形是正方形，，，可得四边形是矩形，故，从而，即得，故． 【详解】解∶连接交于O．如图∶ 正方形的对称性可知，， 四边形是正方形， ， 四边形是矩形， ． ． ． 故选∶A． 41．如图，已知正方形的边长为8，点E为中点，点P在对角线上，且，则的长为__________．    【答案】 【分析】过点P作于F，作于G，判断出四边形是正方形，根据正方形的性质可得，，再根据同角的余角相等求出，然后利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，设，表示出BF，再列出方程求解得到，然后根据正方形的对角线等于边长的倍计算即可得解． 【详解】如图，过点P作于F，作于G，    ∵， ∴四边形为矩形， ∵四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∵正方形的边长为8， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理，利用全等三角形的性质是解题关键． 42．如图，正方形ABCD边长为4，P是正方形内一动点，且，则的最小值是______． 【答案】 【分析】过点P作，由可得，得PE=1，PF=3，过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，可得出四边形PFCN是矩形，得CN=PF=3，延长CB到K，使NK=CN=3，连接DK，根据两点之间线段最短故可知的最小值为DK的长，根据勾股定理可求解 【详解】解：如图，过点P作，交AB于点E，交CD于点F， ∵四边形是正方形， ∴，，，， ∴ ∵，， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴，， 过点P作MN//AB交AD于点M，交BC于点N，则， ∴∠ ∴四边形是矩形， ∴四边形是矩形， ∴， ∵∠， 延长CB到K，使NK=CN=3，则有： 连接DK，当在一条直线上时，，当不在一条直线上时，， 故当共线时， 又N是CK的中点，， ∴PN是CK的垂直平分线， ∴CP=PK， 所以的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，矩形的判断与性质，勾股定理以及线段的垂直平分线的判断与性质等知识，掌握正方形的性质，正确做出辅助线是解题的关键． 题型十五：中点四边形 43．如图，，，，分别是矩形四边中点，已知，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．26 C．30 D．40 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形的性质，全等三角形的判定与性质，中点四边形，熟知矩形的对边相等且各角都是直角是解答此题的关键． 先根据E，F，G，H分别是矩形各边的中点得出，，故可得出，根据即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵E，F，G，H分别是矩形各边的中点，，， ，． 在与中， ∵， ． 同理可得， ． 故选：A． 44．如图，在四边形中，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（     ） A．60 B．48 C．24 D．96 【答案】C 【分析】证明四边形是矩形，，然后利用矩形面积公式求解． 【详解】解：∵点，，，分别为边，，和的中点， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积等于． 45．法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形的各边中点会得到平行四边形，与原四边形的对角线关系密切，因此该平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．如图，四边形的两条对角线、互相垂直，、、、是四边形各边的中点．如果，，那么瓦里尼翁平行四边形的面积为________． 【答案】 【分析】利用三角形中位线性质得到，，，，然后结合证明四边形是矩形，进而求解即可． 【详解】解：∵、、、是四边形各边的中点， ∴，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴瓦里尼翁平行四边形的面积为． 题型十六：（特殊）平行四边形的动点问题 46．已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在射线上以每秒1个单位长度的速度运动．设动点P的运动时间为t秒，当________时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形． 【答案】5或15 【分析】根据点的坐标得出相关线段的长度，利用矩形的性质得出相等线段，最后利用平行四边形的判定和性质列出方程求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵点D是的中点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴,， 当时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， 解得或． 47．如图，四边形中，，．点从点A出发，以的速度向点D运动；点从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ）    A．当时， B．当时， C．当或时， D．当时，四边形的最大面积为 【答案】C 【分析】根据点、点的速度及、的长，分别用表示出、、、的长，根据值，利用平行四边形及矩形的判定定理可判断、选项正确，利用选项的结论、矩形的性质及勾股定理可判断选项错误，根据梯形的面积公式及一次函数的性质可判断选项正确，即可得答案． 【详解】∵点的速度为，点的速度为，， ∴，，，， 当时，，， ∴， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴，故选项正确，不符合题意， 如图，过点作于，    ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， 当时，，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，故选项正确，不符合题意， 由选项可知：当时，四边形是平行四边形， ∴， 如图，当时，过点作于，    ∴，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴，故选项错误，符合题意， ∵，， ∴， ，， ∵其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，四边形的面积最大，最大面积为，故选项正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查四边形中的动点问题、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及一次函数的性质，正确表示出各线段的长，熟练掌握平行四边形、矩形的判定定理及一次函数的性质是解题关键． 48．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过正方形性质证明两组三角形全等，推导出确定动点的运动轨迹，再取中点构造定长线段，结合勾股定理与三角形三边关系，进而求出线段长度的最小值． 【详解】解：四边形是正方形，是对角线， ，，， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 在中，， 即是直角三角形，， 取的中点，连接、， 在中，是斜边的中点， ， 正方形边长为，即， ， 是中点， ， 又，， ， 在中，根据三角形三边关系：两边之差小于第三边，即， 当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最小值， ． 题型十七：四边形中的线段最值问题 49．如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，由矩形和勾股定理得，当点在上时，有最小值为的长，再结合折叠可得，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 在矩形中，，，E是边的中点， ，，     ， ， 当点在上时，有最小值为的长， 折叠， ， 的最小值为． 50．如图，在矩形中，E、F分别为、上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】连接、、，根据矩形的性质和勾股定理，得出，利用直角三角形的斜边中线，得出，证明四边形是矩形，则，当点在上时，有最小值为． 【详解】解：如图，连接、、， 矩形，，， ，，， ， ， ， 在中，O为的中点， ， ，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即当点在上时，有最小值为． 51．如图，正方形的边长为8，点E，F分别为边，上两点，平分，连接，分别交，于点G，M，点P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，则的最小值为______． 【答案】 【分析】先证三角形全等得到垂直关系，再证全等求出长度，利用角平分线性质作线段等量代换，借助垂线段最短结合等腰直角三角形求得最小值． 【详解】 四边形是正方形， ，． ， 在和中 ． ． ， ， ，即． 平分， ． ，， 在和中 ． ． 过点作于． 平分，，， ． ． 依据垂线段最短，点M到直线的距离为垂线段的长。 ∵直线与线段相交，交点落在动点P的活动范围之内， ∴当，，三点共线，且时，取得最小值． 过点作于． 在是正方形， 平分， ∴， 为等腰直角三角形，． 在中，由勾股定理得， ， ， ， ． 的最小值为． 解答题 52．如图，正方形的边长为6，、分别在边、上．将、分别沿、折叠，使、都落在处（点、的对应点为，且恰好在上）． (1)求的度数； (2)求的周长． 【答案】(1) (2)12 【分析】（1）首先利用正方形的性质得到，然后结合折叠的性质求解； （2）首先得到，然后结合折叠的性质求解． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形 ∴ 由折叠得，， ∴； （2）解：∵正方形的边长为6 ∴ 由折叠得，， ∴， ∴的周长． 53．如图，正方形的对角线相交于点O，O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想这是为什么，并说明理由． 【答案】如图所示，当正方形旋转到与相交于点时，所形成的与全等，所以，而的面积等于正方形面积的，所以两个正方形重叠部分的面积，等于一个正方形面积的．同理可得：当正方形旋转到与（）相交于点时，两个正方形重叠部分的面积，等于一个正方形面积的．所以无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的． 理由如下： 当正方形旋转到与相交于点时， 正方形和正方形都是正方形， 、， ， ， 在和中： （）． ， ， ． 即两个正方形重叠部分的面积，等于一个正方形面积的． 同理可得：当正方形旋转到与（）相交于点时， 两个正方形重叠部分的面积，等于一个正方形面积的． 所以无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的． 【分析】正方形绕点O转动，与相邻的对角线形成的对应三角形全等，进而得到：无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的． 【详解】略 54．如图①，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （i）求证：矩形是正方形； （ii）连接，，如图③，若正方形的边长为3，，求的长． 【答案】(1)证明：∵四边形为正方形， ，， 又∵， ， ． (2)（i）证明：如图，作于点M，于点N， ， ∴四边形是矩形， ． ∵点E是正方形对角线上的点， ， ． ， ， ． 又∵， ， ， 又∵四边形是矩形， ∴矩形是正方形． （ii） 【分析】（1）根据正方形的性质得到，，然后证明，即可得到； （2）（i）作于点M，于点N，利用角平分线的性质得到，证明，得到，即可证明矩形是正方形； （ii）证明，得到，，然后求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：（i）略； （ii）∵四边形和四边形是正方形， ，． ， ． ， ，． 又， ， ∵正方形的边长为3， ∴， ∴， ， ∵， ． ∴在中，由勾股定理得，． 55．如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 【答案】(1) (2) 解：如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形， ， ∴，， ， ， ， ， ． 【分析】（1）连接，由折叠性质可知，，，证明，作于T，设，则，，在中由勾股定理得方程，于是得到结论； （2）如图2，作交延长线与K，由条件可知四边形为正方形，证明，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：如图1．连接，由折叠性质可知， ，， ，， ， ∵当 P 为 的中点 ∴ ∴ ， ， ， 作于T，设，则，， 在中由勾股定理得， 解得：， ； （2）略 【点睛】此题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键． 56．如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用（1）中积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在梯形中，，，，，是上一点，且，，则______ 【答案】(1) 证明：∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴； (2) 解：成立，理由： 由（1）得， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 即； 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴； (3)5 【分析】（1）由正方形的性质可得四边相等，四个角都为直角，且，易证，再由全等三角形对应边相等即可求证； （2）由（1）可得与，再推导得出，由可得，所以，进而得出结论； （3）作垂线构造正方形，套用 (2) 结论，设未知数，由勾股定理列出方程，再求解即可． 【详解】（1）略； （2）略； （3） 过点作，交延长线于点，取，连接． ∵，，， ∴四边形是矩形，又， ∴四边形是正方形，； 由（1）（2）模型结论：， ∵， ∴， 设，则， 即， 在中，有勾股定理， 即， ∴解得， ∴． 57．如图（1），在平面直角坐标系中，轴于，轴于，点，，过点作分别交线段、于、两点． (1)若，求证：． (2)如图（2），且，，求的值． 【答案】(1) 证明：∵轴，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为边长为4的正方形， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． (2)的值为 【分析】本题是一道全等三角形的综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法，正确的寻找出全等的条件是解决此类问题的关键． （1）根据条件证出四边形为边长为4的正方形，然后证明即可； （2）将绕点顺时针旋转，证出，根据全等三角形的面积相等得出，然后利用进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：将绕点顺时针旋转， ∴， 又∵， ∴点、、三点共线， 又∵， 则，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由（1）知四边形为边长为4的正方形， ∴， ∴， ∴的值为． 58．如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． (1)求证：； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)能， (3)，见解析 【分析】本题考查菱形的判定与性质，矩形的性质，含角的直角三角形的性质，能够利用代数式表示相关边的长度是解题的关键． （1）根据在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半，即可证得； （2）由（1）易证四边形为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形为菱形，即可求解； （3）根据矩形的性质即可求解． 【详解】（1）解：在中，， ． 又， ； （2）解：能，时，四边形能够成为菱形．理由如下： ， ． 由勾股定理得，， ， ， ， 又， 四边形为平行四边形， 若使四边形为菱形，则需， 即， 解得：． 即当时，四边形为菱形； （3）当秒时，四边形为矩形．理由如下： 当时， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴平行四边形为矩形， 由（1）可知，，, 则此时，解得． 59．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫作“中方四边形”．      【概念理解】 (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【性质探究】 (2)如图，若四边形是“中方四边形”，观察图形，证明且． 【拓展应用】 (3)如图，已知四边形是“中方四边形”，，，，分别是，，，的中点，对角线，交于点． ①试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． ②若线段的长为，请直接写出的最小值． 【答案】(1)④ (2)证明：∵四边形是“中方四边形”， ∴四边形是正方形， ∴，， ∵E，F，G，H分别是，，，的中点， ∴，，，， ∴，； (3)解：①．（或．） 理由如下：四边形是“中方四边形”， 四边形是正方形， ，， ． ，分别是，的中点， ， ．（或）； ② 【分析】（1）根据当原四边形对角线互相垂直且相等时得到的四边形是正方形分析即可； （2）由中位线的性质可得：，，，，结合正方形的性质可得结论； （3）①由题意得四边形是正方形，再根据等腰直角三角形性质与三角形的中位线的性质即可证得结论． ②令与的交点为，连接、，当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长，得到，，再根据①可知，从而计算的最小值，进而求解 【详解】（1）解：在平行四边形、矩形、菱形、正方形中只有正方形是“中方四边形”， 理由如下：因为正方形的对角线相等且互相垂直，所以其中点四边形是正方形； （2）略 （3）解：①略； ②连接、； 由①可知，． 当点在上(即、、共线)时，最小，最小值为的长， 的最小值， 由题意可知；为正方形， ， ，， ， ∵，分别是，的中点， ∴，， ， 的最小值， 即时，最小，即最小； ∵线段的长度为6， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03正方形的性质与判定期中复习讲义 1.理解正方形定义：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形，明确正方形兼具矩形、菱形的全部性质，是特殊的矩形与菱形。 2.掌握正方形性质：四条边相等，四个角都是直角；对角线相等、互相垂直平分，每条对角线平分一组对角；清楚轴对称与中心对称特点。 3.熟练掌握正方形的判定方法，理清判定的逻辑链条，能从平行四边形、矩形、菱形三个不同起点判定正方形，规范书写证明过程。 4.会结合勾股定理，利用正方形性质完成角度、线段长度、图形面积的计算。 5.能够区分平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质与判定，厘清四者之间的从属关系，避免概念混淆。 6.会处理正方形常见综合模型，例如正方形折叠、正方形中全等证明等题型，完成几何推理与计算。 7.把握易错点：判定正方形必须同时满足矩形 + 菱形的特征，不可只满足单一条件；解题注意正方形对角线带来的 45° 角的运用。 题型 考察方向 难度 题型一 正方形性质理解 ★ 题型二 根据正方形的性质求角度 ★★ 题型三 根据正方形的性质求线段长 ★★ 题型四 根据正方形的性质求面积 ★★ 题型五 根据正方形的性质证明 ★★ 题型六 正方形折叠问题 ★★★★ 题型七 求正方形重叠部分面积 ★★★★ 题型八 正方形的判定定理理解 ★ 题型九 添一个条件使四边形是正方形 ★★ 题型十 证明四边形是正方形 ★★★ 题型十一 根据正方形的性质与判定求角度 ★★★ 题型十二 根据正方形的性质与判定求线段长 ★★★ 题型十三 根据正方形的性质与判定求面积 ★★★ 题型十四 根据正方形的性质与判定证明 ★★★ 题型十五 中点四边形 ★★★ 题型十六 特殊）平行四边形的动点问题 ★★★★ 题型十七 四边形中的线段最值问题 ★★★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:正方形的定义（课本核心） 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形。 一句话秒懂：正方形 = 矩形 + 菱形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，还是特殊的平行四边形，堪称四边形 “顶配图形”。 知识点02:正方形五大全能性质（必考重点） 类别 性质描述 几何语言 图示 边 四条边都相等；对边平行 AB=BC=CD=DA，AB∥CD，AD∥BC 角 四个角都是直角（90∘） ∠A=∠B=∠C=∠D=90∘ 对角线 1.相等且互相垂直平分 2.每条对角线平分一组对角 3. 分成 4 个全等的等腰直角三角形 1.AC=BD，AC⊥BD，AO=OC，BO=OD 2.∠BAC=∠DAC=45∘∠ABD=∠CBD=45∘ 3.△AOB≅△BOC≅△COD≅△DOA 对称性 既是中心对称图形，又是轴对称图形（4 条对称轴） 中心对称：点 O 是对称中心轴对称：对称轴为直线 AC、BD、过对边中点的两条直线 知识点03.正方形的判定（核心 知识点04:正方形计算公式（直接套用） 1.周长：C=4×边长 2.面积两种算法：S=边长×边长 S=×对角线2 3.边长与对角线关系：正方形对角线 =边长 知识点05:中点四边形 1、定义 依次连接任意四边形各边中点所得的四边形，叫做中点四边形 如上图四边形 ABCD，点 E,F,G,H 分别是边 AB,BC,CD,DA 的中点，顺次连接 E,F,G,H，则四边形 EFGH 叫做四边形 ABCD 的中点四边形。 2.中点四边形形状结论（必考表格） 原四边形对角线的关系 中点四边形 EFGH 的形状 一句话记忆 无特殊关系（任意四边形） 平行四边形 任意→平行 对角线相等 菱形 相等→菱形 对角线互相垂直 矩形 垂直→矩形 对角线相等且互相垂直 正方形 相等且垂直→正方形 高频易错避雷区 1.误区：对角线相等且垂直的四边形是正方形 ❌错！必须加前提：平行四边形 2.误区：有一个直角的菱形不是正方形 ❌错！直接判定为正方形 3.混淆点：矩形看直角、等对角线；菱形看等边、垂对角线；正方形全部都满足。 题型一：正方形性质理解 1．正方形具有而平行四边形不一定具有的性质是（    ） A．对边平行 B．对角相等 C．对角线互相平分D．对角线互相垂直 2．如图，正方形的边长为，平行于轴，点的坐标为，则点的坐标为_______________． 3．如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为______． 题型二：根据正方形的性质求角度 4．在正方形中，，相交于点O，根据正方形的性质：对角线相等且互相垂直平分，得______． 5．如图，是正方形的边延长线上一点，且，则__________． 6．如图，在正方形内部以为边作等边，连接交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 题型三：根据正方形的性质求线段长 7．小明用四根相同长度的木条制作了一个正方形学具（如图1），测得对角线，将正方形学具变形为菱形（如图2），，则图2中对角线AC的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的对角线、相交于点O，是直角三角形，，，分别交，于点，．若四边形的面积是3，则的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形中，点P是上一点，过点P作于点E， 于点F，连接，若，则的最小值为___________ ． 题型四：根据正方形的性质求面积 10．如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为___________． 11．如图，正方形和正方形的对称中心都是点，其边长分别是4和3，则图中阴影部分的面积是____________． 12．如图，正方形的对角线相交于点，点又是另一个正方形的一个顶点．如果两个正方形的边长均为，则两个正方形重叠部分的面积为（     ） A． B． C． D． 题型五：根据正方形的性质证明 13．如图，在正方形中，，点E，F分别在边，上，，若将四边形沿折叠，点恰好落在边上，则的长度为（   ） A．3 B．6 C． D． 14．如图，四边形是边长为9的正方形纸片，将其沿折叠，使点落在边上的点处，点的对应点为点，且，则的长为____________． 15．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，点的坐标为，点在边上．将沿折叠，点落在点处．若点的坐标为，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 题型六：正方形折叠问题 16．如图，边长为 4cm 的正方形 ABCD 先向上平移 2cm ，再向右平移1cm ，得到正方形 A ' B 'C ' D ' ， 此时阴影部分的面积为____.    17．将边长为2的正方形和短边长为1的矩形按如图所示的方式摆放，则重合部分的面积是_______． 18．如图，点在正方形的对角线上，且，正方形的两边，分别交，于点，，若正方形的边长为，则重叠部分四边形的面积为（    ）    A． B． C． D． 题型七：求正方形重叠部分面积 19．操作性试题，如图，在正方形中，分别以点，为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接，则的度数为（     ） A． B． C． D． 20．如图，在正方形中，若，点E在上，点F在上，则①；②；③，④．其中一定成立的是_______． 21．如图，是正方形的两条对角线，的交点，过点．若图中阴影部分的面积为，则正方形的周长为______． 题型八：正方形的判定定理理解 22．下列结论错误的是（     ） A．有一组邻边相等的矩形是正方形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形 C．有一个角是直角的平行四边形是正方形 D．对角线相等的菱形是正方形 23．如图，将一个矩形对折两次，沿着图中的虚线剪下一个角，为了得到一个正方形，则剪切线与折痕所夹的大小为（）      A． B． C． D． 24．如图所示，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形上的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB与AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个大的正方形，他判定的方法是_____． 题型九：添一个条件使四边形是正方形 25．如图，菱形的对角线相交于点，添加一个条件能使菱形变为正方形的是（    ） A． B． 26．汝城古祠堂窗花常用菱形、正方形造型．如图，现有一个菱形窗花，对角线与交于点O，试添加一个条件__________使菱形窗花正方形． 27．在菱形中，连接，交于点，添加下列一个条件，仍不能使菱形成为正方形的是（     ） A． B． C． D． 题型十：证明四边形是正方形 28．下列说法中不正确的是（    ） A．对角线互相垂直的菱形是正方形 B．有一个角是直角的菱形是正方形 C．有一组邻边相等的矩形是正方形 D．对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形 29．剪纸，我县传统民间艺术，如图是边框为正八边形的剪纸图案，如图正八边形是其剪纸图案外边框，则四边形的形状是________． 30．如图，在矩形中，对角线，相交于点，若要使矩形成为正方形，添加的条件不正确的是（    ） A． B． C． D． 题型十一：根据正方形的性质与判定求角度 31．如图，在正方体的两个面上画了两条对角线、，则等于（    ） A．135° B．90° C．75° D．60° 32．如图所示，在矩形中，是上一点，交于点F，将沿折叠，点C恰好落在边上的点处，则的度数为________． 33．如图，将正方形绕点A顺时针旋转，得到正方形，的延长线交于点H，则的大小为（    ） A． B． C． D． 题型十二：根据正方形的性质与判定求线段长 34．如图，正方形的边长为12，，分别为，边上的点，且，，分别为，边上的点，且交，于点，，则的长为（    ） A．6 B． C． D． 35．如图，在正方形中，点在边上，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．若，，则的长度为________． 36．如图，在正方形中，点是上一点，连接，过点作交于点，连接，若，则的度数是（） A． B． C． D． 题型十三：根据正方形的性质与判定求面积 37．如图，在正方形的各边上顺次截取，若四边形面积是10，则正方形的面积为________． 38．如图，在菱形中，，点E在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B．3 C． D． 39．如图，点E在正方形的对角线上，且，的两直角边，分别交，于点M，N．若正方形的边长为3，则重叠部分（即四边形）的面积为（     ） A．3 B．4 C．8 D． 题型十四：根据正方形的性质与判定证明 40．如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（   ） A． B． C． D． 41．如图，已知正方形的边长为8，点E为中点，点P在对角线上，且，则的长为__________．    42．如图，正方形ABCD边长为4，P是正方形内一动点，且，则的最小值是______． 题型十五：中点四边形 43．如图，，，，分别是矩形四边中点，已知，，则四边形的面积是（   ） A．20 B．26 C．30 D．40 44．如图，在四边形中，点，，，分别为边，，和的中点，顺次连接，，和得到四边形．若，，，则四边形的面积等于（     ） 45．法国数学家瓦里尼翁发现，顺次连接四边形的各边中点会得到平行四边形，与原四边形的对角线关系密切，因此该平行四边形也被称为瓦里尼翁平行四边形．如图，四边形的两条对角线、互相垂直，、、、是四边形各边的中点．如果，，那么瓦里尼翁平行四边形的面积为________． 题型十六：（特殊）平行四边形的动点问题 46．已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，，点D是的中点，动点P在射线上以每秒1个单位长度的速度运动．设动点P的运动时间为t秒，当________时，以P、O、D、B为顶点的四边形为平行四边形． 47．如图，四边形中，，．点从点A出发，以的速度向点D运动；点从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒，下列结论错误的是（    ）    A．当时， B．当时， C．当或时， D．当时，四边形的最大面积为 48．如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是（     ） A． B． C． D． 题型十七：四边形中的线段最值问题 49．如图，在矩形中，，，E是边的中点，F是线段边上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 50．如图，在矩形中，E、F分别为、上的动点，且，O为的中点，于点Q，于点P，连接．若，，则的最小值为______． 51．如图，正方形的边长为8，点E，F分别为边，上两点，平分，连接，分别交，于点G，M，点P是线段上的一个动点，过点P作，垂足为N，连接，则的最小值为______． 解答题 52．如图，正方形的边长为6，、分别在边、上．将、分别沿、折叠，使、都落在处（点、的对应点为，且恰好在上）． (1)求的度数； (2)求的周长． 53．如图，正方形的对角线相交于点O，O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．无论正方形绕点O怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的．想一想这是为什么，并说明理由． 54．如图①，四边形为正方形，点E为对角线上一点，连接，． (1)求证：； (2)如图②，过点E作，交边于点F，以，为邻边作矩形． （i）求证：矩形是正方形； （ii）连接，，如图③，若正方形的边长为3，，求的长． 55．如图，已知，为线段上一动点．将沿翻折至，延长交射线于点． (1)如图1，当为的中点时，求出的长． (2)如图2，延长交于点，连接，求证：． 56．如图1，在正方形中，是上一点，是延长线上一点，且． (1)求证：； (2)若点在上，且，则成立吗？为什么？ (3)运用（1）中积累的经验和知识，完成下题： 如图2，在梯形中，，，，，是上一点，且，，则______ 57．如图（1），在平面直角坐标系中，轴于，轴于，点，，过点作分别交线段、于、两点． (1)若，求证：． (2)如图（2），且，，求的值． 58．如图，在Rt中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位长的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位长的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒．过点作于点，连接． (1)求证：； (2)四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，直接写出相应的值；如果不能，说明理由． (3)当为何值时，四边形为矩形？请说明理由． 59．定义：对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫作原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫作“中方四边形”．      【概念理解】 (1)下列四边形中一定是“中方四边形”的是________．（填序号） ①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形． 【性质探究】 (2)如图，若四边形是“中方四边形”，观察图形，证明且． 【拓展应用】 (3)如图，已知四边形是“中方四边形”，，，，分别是，，，的中点，对角线，交于点． ①试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． ②若线段的长为，请直接写出的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $