精品解析：湖南长沙市望城区第一中学2026-2027学年高三上学期10月质量检测数学试题

2026年下学期高三10月质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 自然数满足条件的有，即， 又， 所以. 2. 若，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，取，则，故A错误； 对于B，由于，所以，故B错误； 对于C，由可得，又，所以，故C正确； 对于D，由于且，所以，故D错误. 3. 已知是等比数列，若，则（ ） A. 4 B. 16 C. 24 D. 64 【答案】D 【解析】 【分析】利用等比数列的等比中项性质得到，代入已知计算即可得结果. 【详解】设的公比为，则，，， 故， 因此. 4. 已知函数是偶函数，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数满足对定义域内任意恒成立的性质，化简等式求解参数. 【详解】，因为 ，即 ，所以的定义域为， 已知为偶函数，故，因为，所以 ， 所以 ， 因为分母相同且不恒为0，因此需对任意都有 ，故，解得. 5. 已知函数相邻零点间的距离为，且函数在上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据正切函数相邻零点距离求得周期确定的值，再利用正切函数的单调递增区间建立关于的不等式，求解得到的最小值. 【详解】函数相邻零点间的距离为，故周期， 则，解得，即. 在上单调递增且，有， 得的取值范围为，故的最小值为. 6. 已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】由的图象关于点对称，可得为奇函数;结合可得，从而的周期为,再将化到上求值. 【详解】设，则的图象关于点对称， 故，即，所以. 由，将换成，得， 所以，即是周期为的函数. ，且， 所以. 7. 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角函数的和差公式与倍角公式化简即可得解. 【详解】 . 故选：C. 8. 已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，，由向量的数量积运算得，根据新定义得，设，利用辅助角公式结合三角函数性质求解. 【详解】设，， 由，得，所以，即， 所以， 设，则，即， 所以根据辅助角公式，，所以，即的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先求解原不等式的解集，再根据必要不充分条件的逻辑关系，逐一判断选项即可. 【详解】由，得，即，也即， 等价于，解得. 设“”的必要不充分条件为，则能推出，且不能推出. 即是对应集合的真子集. 对于A，不能推出，不符合要求. 对于B，能推出，且不能推出，符合要求. 对于C，能推出，且不能推出，符合要求. 对于D，不能推出，不符合要求. 10. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数求最值，结合已知可得，可判断A；利用单调性可判断BC；将目标不等式转化为，构造函数，利用导数求最值可判断D. 【详解】对A，，当时，，当时，， 所以在上单调递增，在单调递减， 所以当时取得最大值，解得，A正确； 对B，由上可知，在上单调递增，在单调递减， 因为，所以，B错误； 对C，因为，所以，所以，C正确； 对D，当时，，不等式成立， 当时，， 记，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在 上单调递减， 所以当时，取得最大值， 综上，当时，不等式成立，D正确. 故选：ACD 11. 已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 4是的一个周期 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用，，及是偶函数，经过等量代换可推出，可得为偶函数，判断A选项；推出可判断B选项；由的周期性可求解C选项；利用可求解D选项. 【详解】由，用代入，得， 又，两式相加得， 由是偶函数，得，代入上式，得， 可得，所以，即， 因为，则， 所以，所以为偶函数，A选项错误； 由，得， 又，两式相减得， 所以，因此，即4是的一个周期，B选项正确； 由，可得，所以， 由可得，所以， 由，，可得， 由，，可得. 所以，C选项正确； 由上面推导可知， 因为奇数的平方可表示为，所以奇数的平方除以4的余数为1， 同理可得偶数的平方除以4的余数为， 所以，D选项正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则的最小值为________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，，将目标式变形得：， ， 当且仅当，即时等号成立， 故，即的最小值为8. 13. 在平行四边形中，是中点，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】利用向量线性运算将、用基底、表示，对比系数求得后代入求解即可. 【详解】根据向量加法的平行四边形法则可得：①； 因为是中点，故， 又平行四边形中，因此：， 则②； 将②代入①，整理得：； 又，因此，； 所以. 14. 已知函数，数列为公差不为0的等差数列，若，则________． 【答案】5 【解析】 【分析】通过研究函数的性质得出函数的对称性和单调性，通过反证法证出即可. 【详解】设函数，定义域为， 又因为， 所以函数为奇函数． 又因为，所以函数在上单调递增． 又因为， 所以函数的图象是由函数的图象向右平移1个单位得到的， 所以函数的图象关于点成中心对称， 即，且在上也单调递增． 因为数列为等差数列，且， 所以必有． 下面用反证法证明． 假设， 当时，则； 由，则有，所以， 即；同理， 即有，与已知矛盾； 当时，则；由，则有，所以，即； 同理，即有，与已知矛盾． 所以必有，所以． 故答案为：5. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的倾斜角为，求的值； （2）求函数的单调区间． 【答案】（1） （2） 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，结合切线倾斜角计算斜率，列方程求解a； （2）对函数求导后分类讨论参数a的取值，根据导数符号确定对应单调区间. 【小问1详解】 由，得， 因为曲线在点处切线的倾斜角为，因此切线斜率， 所以，代入得，解得. 【小问2详解】 函数的定义域为，，分两类讨论： ① 当时，对任意，，因此恒成立，此时在上单调递增，无单调递减区间； ② 当时，令，即，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，当时，的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是. 16. 已知函数． （1）若，且，求的值； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由辅助角公式可得，由同角关系可得，，利用和差公式求解即可； （2）根据三角函数的图象变换可得，再结合正弦函数的图象性质求出值域即可. 【小问1详解】 ，因为，所以， ，所以，， 所以 . 【小问2详解】 函数的图象向右平移个单位长度可得， 再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象， 所以， 因为，所以， 所以，所以. 17. 对于函数． （1）判断函数的单调性并用定义证明； （2）是否存在实数使函数为奇函数？ （3）在（2）的条件下，函数为奇函数，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）函数在上单调递增. 证明：函数定义域为， 设，且. ， ，，，又， ，即， 故在上单调递增. （2）存在，； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用单调性的定义进行证明，注意取值、作差、变形、定号、下结论等步骤； （2）运用奇函数定义，结合指数的运算性质，解方程即可求解； （3）首先根据（2）求得：，然后根据，恒成立，只需满足即可，最后再通过换元法结合均值不等式求解的最小值即可求解的最大值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 已知函数为奇函数. 所以，即， 得：，解得：. 【小问3详解】 由（2）的计算结果可得：当为奇函数时，. 即. 又，不等式恒成立，即，恒成立， 令，由，得，即得：，恒成立. 设， 由， 当且仅当，即时等号成立. 由此可得：的最小值为， 综上可得：要使，恒成立，只需满足. 因此可得：的最大值为. 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 【答案】（1）证明如下： 数列中，， 当时，， 两式相减得，即， ∴， ∵，即， ∴， ∴数列是以3为首项，3为公比的等比数列， ∴， ∴； （2）①； ②. 【解析】 【分析】（1）根据给定的递推公式，利用及构造法推理得证，进而求出通项公式. （2）①由（1）求出，再利用裂项相消法求和；②由①求出，借助单调性求出的最小值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由（1）知，，， . ②由①知，，， ， 而数列单调递增，则， 因此，由存在，使得，得， 所以的取值范围是. 19. 已知函数有两个极值点，，且， （1）求实数的取值范围； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1） （2） 因为是函数的两个极值点，则有：①，②， ①②得：，即， 要证，即证， 即证，即证：， 即证，令，且， 即证， 令，则， 而， 因为，所以，，则，所以， 所以在上单调递增，又因为，所以， 即在时成立，所以成立； （3） 由（2）知，当时，， 取时，有， 所以有：， 则有， 即， 所以， 即． 【解析】 【分析】（1）对函数进行求导，转化为在上有两个不相等变号根，再构造函数，研究零点的个数，即可求出答案； （2）根据题意将，代入中，将两式相减得到，则要证明的不等式可化为，令，构造函数，只需证明即可； （3）由（2）知，当时,，取，可得到，利用累加法即可证明. 【小问1详解】 ，定义域为， 若函数有两个极值点， 则有在上有两个不相等变号根， 令，则， 当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以至多有一个实根，不符合题意； 当时，令，得，当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，取最小值，且最小值为， 又因为当时，，当时，， 所以若在上有两个不相等变号根，只需，即． 综上，当时，函数有两个极值点， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期高三10月质量检测 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是等比数列，若，则（ ） A. 4 B. 16 C. 24 D. 64 4. 已知函数是偶函数，则实数（ ） A. 1 B. 2 C. 0 D. 5. 已知函数相邻零点间的距离为，且函数在上单调递增，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知的图象关于点对称，且对，都有成立，当时，，则（ ） A. 2 B. 0 C. 1 D. 3 7. 的值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 8. 已知向量，满足，定义，若，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. “”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的最大值为1，则（ ） A. B. 当时， C. D. 当时， 11. 已知函数，的定义域均为，且，.若是偶函数，，则（ ） A. 是奇函数 B. 4是的一个周期 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，，且，则的最小值为________． 13. 在平行四边形中，是中点，，则________． 14. 已知函数，数列为公差不为0的等差数列，若，则________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知函数． （1）若曲线在点处的切线的倾斜角为，求的值； （2）求函数的单调区间． 16. 已知函数． （1）若，且，求的值； （2）将函数的图象向右平移个单位长度，然后再将所得图象上的所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求函数在区间上的值域． 17. 对于函数． （1）判断函数的单调性并用定义证明； （2）是否存在实数使函数为奇函数？ （3）在（2）的条件下，函数为奇函数，对任意，不等式恒成立，求实数的最大值． 18. 已知数列的前n项和为，且． （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）记，记数列的前n项和为． ①求； ②若存在，使得，求的取值范围． 19. 已知函数有两个极值点，，且， （1）求实数的取值范围； （2）证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $