精品解析：湖南长沙市周南中学2026-2027学年高三上学期十月数学月课时作业

长沙市周南中学2026年下学期高三年级十月 数学科月课时作业 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】已知，， 则，即. 2. 向量，的夹角为，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的模长平方公式计算即可求解. 【详解】， 由，，两向量夹角为， 可得， 所以， 所以. 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由题设，. 4. 数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，可求得，计算可求得的最小值. 【详解】令，因为，所以解得， 所以数列的前3项为负，从第4项起为正， 所以的最小值为. 故选：D. 5. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 6. 如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在平面内，作，与DE交于点，连接CF，证明MFCN是平行四边形，根据梯形中位线可求MF长度，从而得到答案. 【详解】如图所示，在平面内，作，与DE交于点，连接CF，则，所以共面，因为∥平面CDE，由线面平行的性质知，所以MFCN是平行四边形，所以. 又是的中点，所以MF是梯形的中位线， 设，则，即， 所以，所以. 故选：B. 7. 如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，作出截面并求出其面积. 【详解】在正方体中，取的中点，的中点，连接， 由是的中点，得，则四边形为平行四边形， ，由是的中点，得， 梯形是正方体被平面所截得的截面， ，， 所以所求截面的周长是. 故选：B 8. 若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列的定义得数列是一个等差数列，应用等差数列前n项和公式及下标和的性质得到，最后应用基本不等式求目标式最大值，注意取值条件. 【详解】根据题意，若数列满足（常数），则称为调和数列， 已知数列为调和数列，令，则， 即数列是一个等差数列，设其通项为，公差为， 已知，即等差数列的前项和为， 根据等差数列求和公式，得，解得， 由等差数列的下标性质，得，即， 由，所以 当且仅当时，等号成立，此时，即， 此时公差，数列为常数列，前项和为，符合题意， 综上，的最大值为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若是等差数列，是的前项和，则 B. 已知随机变量服从正态分布，若，则 C. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则有 D. 已知随机变量的分布列为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合等差数列前项和性质、正态分布对称性、独立事件的条件概率性质、离散型随机变量分布列的归一性，逐一验证四个选项的正误得出结论. 【详解】根据等差数列前项和公式与性质：对任意奇数，有. 此处，因此，A正确. 正态分布的对称轴为，由对称性得，因此，B错误. 抛掷两枚硬币的结果相互独立，事件（第一枚正面朝上）和事件（第二枚反面朝上）互不影响： ，，，因此，C正确. 根据离散型分布列的性质，所有概率之和为，利用裂项相消求和： 解得，且所有概率均在范围内，符合分布列要求，D正确. 11. 如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质可得线面垂直，进而可得线线垂直，从而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，根据点面距离公式求解A，根据向量的夹角公式求解BD，根据外接球的性质求解半径，即可根据体积公式求解C. 【详解】因为菱形中，为的中点，所以， 即将沿折起后，，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，则，，两两垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，. 对于A，设平面的法向量为，则 取，得， 所以点到平面的距离为，A正确； 对于B，与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，取的中点为，则，所以为三棱锥 的外接球球心，，C错误； 对于D，设直线与平面所成的角为， 则，D正确. 故选:ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 现有一组数据1，2，3，3，4，4，4，6，6，7，则这组数据的第70百分位数为_________． 【答案】5 【解析】 【分析】根据数据百分位数的定义进行求解即可. 【详解】将这组数据从小到大排列为：1，2，3，3，4，4，4，6，6，7 已知数据的样本容量， 由于，故这组数据的第70百分位数为第7个数与第8个数的平均值，即. 故这组数据的第70百分位数为5. 13. 设为数列的前项和，且，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】借助数列与的关系可得，从而可得数列的通项公式，即可得解. 【详解】当时，有， 则， 即，整理得， 故， 又，则， 故，则， 故. 14. 如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为的大球放置在底面半径和高均为的圆柱内，球与圆柱下底面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入______个小球． 【答案】15 【解析】 【分析】根据题给条件球与圆柱空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，过球心与圆柱底面圆心的平面截得该图形的平面图，利用几何边、角关系计算求解. 【详解】如图，过球心与圆柱体底面圆心的平面截得该图形的平面图， 设球的半径为，实心小球的半径为，则 , 所以 解得． 因为小球球心在以为圆心，为半径的圆上， ， 周长为. 设该工艺品可放置小球数量为n，则： ，即 ， 所以该工艺品最多可放入15个小球． 故答案为：15. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． （1）求和； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1），. （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为，则， 由等差数列求和公式得， 化简得， 因为且,所以是常数， 因此是等比数列，设其公比为，则， 即数列是以为首项，为公比的等比数列， 由等比数列通项公式得， 所以，. 【小问2详解】 因为， 设数列的前项和为，则 所以数列的前项和为. 16. 2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施投送任务.已知某救援队每架无人机投送生活物资的成功率为，投送抢险设备的成功率为.各架无人机投送成功与否相互独立. （1）救援队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率； （2）救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 【解析】 【小问1详解】 设事件“至少1架投送成功”，则事件“2架投送全部失败”， 可得，故. 【小问2详解】 由题意得， 即得的分布列为. 用表格表示的分布列，如下表所示. 0 1 2 3 由期望公式得 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，四边形是边长为2的正方形，，． （1）求AB的长； （2）若二面角的正切值为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证明平面，则有，由，求得； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，向量法表示二面角的余弦值，可求出的值． 【小问1详解】 三棱柱中，平面ABC，则平面ABC， 平面ABC，所以． 又，，平面，所以平面， 因为平面，所以， 而，故，故． 【小问2详解】 由平面ABC，， 以为原点，的方向为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz， 因为，所以， 故，因为，故． 易知是平面的法向量． 因为． 设是平面的法向量、所以 即，取，得， 所以， 因为二面角的正切值为，故余弦值为， 则，解得. 18. 已知函数，其导函数为． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有三个不同的极值点，，，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据导数的运算法则，结合导数的几何意义进行求解即可； （2）根据导数的运算法则，结合函数极值点的定义、构造函数法、数形结合思想进行求解即可. 【小问1详解】 当时，， 因为， 所以曲线在点处的切线方程为，化为一般式为 ； 【小问2详解】 ， 显然函数的定义域为全体正实数. ， 令，得，或， 令， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 且当时，，当时，， 函数图象如下图所示： 因为函数有三个不同的极值点，，， 所以函数与直线有两个不同的交点，且这两个交点的横坐标不能是， 所以由数形结合思想可得， 实数a的取值范围为 19. 设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为3，记点M的轨迹为W，O为坐标原点． （1）求轨迹W的方程； （2）过点的动直线与W的左、右支交于P，Q两点，且与直线交于点C．过点F作直线，直线与直线，分别交于点D，E． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）若的面积与的面积之比为，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明：设直线的方程为，，，则． 由得，． 故， 直线的方程为，直线的方程为， 由解得． 同理解得． 故， 因此．即点F是线段的中点， 因此为定值． （ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）直接利用题目中所给的条件即可求解，注意自变量的取值范围； （2）方法一：联立方程，利用韦达定理和三角形的面积公式进行求解； 方法二：用几何比例关系，把面积比转化成线段比进行求解； 方法三：将面积比转化成线段比，结合向量共线，代入曲线方程进行求解. 【小问1详解】 设动点为． 则由直线，斜率之积为3，得， 整理可得． 因此轨迹W的方程为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）方法一：不妨假设点P在第二象限，点Q在第一象限， 此时，，得． 由题意（*）． 由（ⅰ）得，． 代入（*）化简得， 得，即， 解得或（舍去）， 因此，代入双曲线方程得． 由对称性可得当点Q在第四象限时，，． 因此点Q的坐标为． 方法二：由题意， 利用结合，可得． 不妨设，则， 得，， 得． 因此，得． 解得（负值舍去）． 故，因此，代入双曲线方程得， 因此点Q的坐标为． 方法三：不妨设，，． 因为利用结合，得， 由，得， 化简得，解得． 因此． 故，因此，代入双曲线方程得， 因此点Q的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长沙市周南中学2026年下学期高三年级十月 数学科月课时作业 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 向量，的夹角为，，，则（ ） A. B. C. 3 D. 7 3. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，则（ ） A. B. C. D. 或 4. 数列的通项公式为，为其前n项和，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（ ） A. B. C. 16 D. 18 6. 如图，在三棱柱中，点在棱上，且分别是棱的中点，点在棱上，若平面CDE，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（ ） A. B. C. D. 8. 若数列满足（，为常数），则称数列为调和数列．已知数列为调和数列，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 若是等差数列，是的前项和，则 B. 已知随机变量服从正态分布，若，则 C. 分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设“第一枚正面朝上”，“第二枚反面朝上”，则有 D. 已知随机变量的分布列为，则 11. 如图，菱形的边长为2，，为边的中点，将沿折起，折叠后点的对应点为，使得平面平面，连接，，则下列说法正确的是（ ） A. 点到平面的距离为 B. 与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的外接球的体积为 D. 直线与平面所成角的正弦值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 现有一组数据1，2，3，3，4，4，4，6，6，7，则这组数据的第70百分位数为_________． 13. 设为数列的前项和，且，，则_________． 14. 如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为的大球放置在底面半径和高均为的圆柱内，球与圆柱下底面相切．为增加观赏效果，设计师想在圆柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入______个小球． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，且满足，，数列满足，． （1）求和； （2）若，求数列的前项和． 16. 2026年夏季广西遭遇特大洪水，道路受阻，数百名无人机飞手奔赴灾区，使用无人机实施投送任务.已知某救援队每架无人机投送生活物资的成功率为，投送抢险设备的成功率为.各架无人机投送成功与否相互独立. （1）救援队安排2架无人机投送生活物资，求至少1架投送成功的概率； （2）救援队安排3架无人机投送抢险设备，记投送成功的无人机数量为随机变量，求的分布列和数学期望. 17. 如图，在三棱柱中，平面ABC，四边形是边长为2的正方形，，． （1）求AB的长； （2）若二面角的正切值为，求的值． 18. 已知函数，其导函数为． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若函数有三个不同的极值点，，，求实数a的取值范围． 19. 设A，B两点的坐标分别为，，直线，相交于点M，且它们的斜率之积为3，记点M的轨迹为W，O为坐标原点． （1）求轨迹W的方程； （2）过点的动直线与W的左、右支交于P，Q两点，且与直线交于点C．过点F作直线，直线与直线，分别交于点D，E． （ⅰ）证明：为定值； （ⅱ）若的面积与的面积之比为，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $