精品解析：湖南省部分学校2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 不等式的整数解的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 将四本不同的书分给甲、乙两人，若每本书都分出去，且每人至少一本，则不同的分法有（ ） A. 11种 B. 12种 C. 13种 D. 14种 4. 在中，，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，若一个圆恰好经过，和三点，则该圆的半径为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知随机事件，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，关于的方程有4个实数根，，，（），若，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线：，则下列说法正确的是（ ） A. 的焦点在轴上 B. 的渐近线方程为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为 10. 已知向量（）与，函数，若与是的两个极值点，且在区间内没有极值点，则（ ） A. B. 的单调递减区间为（） C. 将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象 D. 的最大值为 11. 某功率放大器的输出幅度值与输入幅度值满足模型：，其中参数，由功率放大器电路的特性决定，则下列说法正确的是（ ） A. 若输出幅度值与输入幅度值是一一对应的，则当输入幅度值为时，输出幅度值也为 B. 若输出幅度值为正数当且仅当输入幅度值为正数，则一定有 C. 若，，输出曲线与系统安全运行边界有个交点 D. 若，且当输入幅度值在内时，输出幅度值不超过，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数__________． 13. ，则______． 14. 已知正方形的边长为2，点，分别在边，上（不含端点），且，将沿直线翻折为，则多面体体积的最大值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 （1）将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； （2）依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，，，点在棱上，，点是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知是由复数构成的数列，满足，且，其中是虚数单位，设． （1）求数列的通项公式； （2）记的虚部为，判断数列的前1000项有多少项在数列中． 附：若，其中，，，则． 18. 已知抛物线：（）与直线在第一象限交于点，为坐标原点，． （1）求的方程． （2）已知点，直线与交于另外一点．若上恰有4个不同的点，，，，使得，，，的面积均为定值，求的取值范围． （3）已知点，是上异于的两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点． 19. 对于函数，记，（）．若是使无零点的最小正整数，则称是“阶单调函数”． （1）判断函数是几阶单调函数； （2）若函数（）是阶单调函数，记，当实数，变化时，求的最小值； （3）设，函数，当时，恒成立，且存在，使得，试用表示，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 不等式的整数解的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先因式分解求出不等式的解集，再数出其中的整数. 【详解】由 得 ，解得 . 所以不等式的整数解为 ，共个. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，，则. 3. 将四本不同的书分给甲、乙两人，若每本书都分出去，且每人至少一本，则不同的分法有（ ） A. 11种 B. 12种 C. 13种 D. 14种 【答案】D 【解析】 【详解】若甲分1本，乙分3本，则共有种； 若甲分2本，乙分2本，则共有种； 若甲分3本，乙分1本，则共有种； 综上，共有种不同的分法． 4. 在中，，，且的面积为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形面积公式求，再根据余弦定理求. 【详解】由条件可知，，则， 根据余弦定理. 5. 已知椭圆：的左、右焦点分别为，，上顶点为，若一个圆恰好经过，和三点，则该圆的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】椭圆标准方程为，，由题得，， 根据椭圆参数关系，计算得，即， 由此左焦点，右焦点，上顶点，设过三点的圆的方程为，. 将三个点的坐标分别代入方程，得到： ，解得，，. 圆的一般方程对应的半径公式，代入参数计算：. 6. 已知函数，则“”是“为奇函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义，求出的值，再结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】已知函数，若是奇函数，则有， 即，得到，化简得， 要使等式对定义域内的恒成立，则必须满足，解得或， 当时，函数，定义域满足，即，关于原点对称； 当时，函数，定义域满足，即，关于原点对称； 所以，若，则是奇函数；若是奇函数，则或； 因此“”是“为奇函数”的充分不必要条件，故A正确. 7. 已知随机事件，满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用条件概率公式及并事件的概率公式即可. 【详解】因为， 所以. 所以 则. 所以. 8. 已知函数，关于的方程有4个实数根，，，（），若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用换元分层法，令，分析内层函数单调性确定两根均大于，由推出，结合韦达定理即可求解. 【详解】，定义域为. 令， 当时，，，单调递减，值域为； 当时，，，单调递增，值域为. 因为有4个实数根，，，（）， 所以有两个大于的不等实根， 所以，则；，则. 由得，即，则. 所以. 由得. 则，即. 所以，解得. 由得. 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知双曲线：，则下列说法正确的是（ ） A. 的焦点在轴上 B. 的渐近线方程为 C. 的离心率为 D. 的虚轴长为 【答案】ABD 【解析】 【详解】已知双曲线 ，，因此 ，，因此 ，由，得 ， A.双曲线方程中 项符号为正， 项符号为负，对应焦点在 轴上，A正确； B.焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为 ，代入 、，得 ，B正确； C.双曲线离心率 ，代入 、，得 ，而非 ，C错误； D.双曲线的虚轴长为 ，代入 ，得虚轴长 ，D正确. 10. 已知向量（）与，函数，若与是的两个极值点，且在区间内没有极值点，则（ ） A. B. 的单调递减区间为（） C. 将的图象向左平移个单位长度后，得到的图象 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据平面向量的数量积与模的坐标表示、辅助角公式化简得到，进而结合三角函数的性质及题设得到，可得，再根据诱导公式判断A；根据正弦函数的单调性判断B；根据函数的平移判断C；化简得到，进而求解判断D. 【详解】由，， 因为与是的两个极值点，且在区间内没有极值点， 所以，则，即，则. 对于A，由，故A错误； 对于B，令，得， 则的单调递减区间为（），故B正确； 对于C，将的图象向左平移个单位长度后， 得到，故C正确； 对于D，由C知，， 则， 因为，所以时，取得最大值，故D正确. 11. 某功率放大器的输出幅度值与输入幅度值满足模型：，其中参数，由功率放大器电路的特性决定，则下列说法正确的是（ ） A. 若输出幅度值与输入幅度值是一一对应的，则当输入幅度值为时，输出幅度值也为 B. 若输出幅度值为正数当且仅当输入幅度值为正数，则一定有 C. 若，，输出曲线与系统安全运行边界有个交点 D. 若，且当输入幅度值在内时，输出幅度值不超过，则 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，举反例即可；对于B，利用函数零点和符号确定、的关系；对于C，利用图象关于原点对称的性质及导数判断交点个数；对于D，取边界值检验D项，并证明该值确实满足原不等式． 【详解】对于A，取，则，该函数严格递增，输出幅度值与输入幅度值一一对应，但，A错误． 对于B，由题意得当且仅当． 又，因此，． 若，不妨设，取，则，，，所以，与题意矛盾． 因此一定有，B正确． 对于C，此时，其图象与边界均关于原点对称，只需判断右半平面的交点个数． 当时，，由得，故交点横坐标满足 由，列增减表如下： − + ↘ ↗ 由表可知，方程在内恰有2个不同的解，对应2个交点． 当时，，由边界方程得，故交点横坐标满足 由，，且，知该区间恰有个交点． 边界上，且、、时均非交点，故右半平面恰有个交点． 结合关于原点的对称性，共有个交点，C正确． 对于D，当时，． 取，则当时， 所以当时，对任意均有，但不满足，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量，，若，则实数__________． 【答案】 【解析】 【详解】，则， 即， 解得， 因，，则， 解得． 13. ，则______． 【答案】 【解析】 【分析】依题意利用两角和的正切公式化简得到，再利用两角和的正弦公式将展开，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再整体代入计算可得； 【详解】解：已知，整理得，即 所以 故答案为：． 14. 已知正方形的边长为2，点，分别在边，上（不含端点），且，将沿直线翻折为，则多面体体积的最大值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由设，将几何条件转化为一元参数；利用面面垂直时点到平面距离最大这一翻折性质，确定到底面的最大高为到的距离；以五边形为底，写出体积关于的一元函数；求导利用单调性得到最大值. 【详解】设，由条件可得， 因为在边上且不含端点，正方形边长为，因此， 在中，斜边，的面积为， 底面五边形的面积为， 翻折过程中，点在过点且垂直于的平面内运动， 因此点到底面的距离，不会超过点到直线的垂线段长度， 当且仅当平面平面时，取得最大值， 由三角形等面积法，点到直线的距离为， 即点到底面的最大高为， 故多面体是以五边形为底、为顶点的五棱锥， 体积公式为，将高的最大值代入，得到体积为， ，令，解得，即（负根舍去）， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 因此时，体积取得最大值，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 随着人工智能技术的快速发展，学习助手逐渐成为学生课后学习的新工具．某校为了解工具对数学成绩的影响，随机抽取了该校名高二学生进行问卷调查，得到的列联表如下： 数学成绩优秀 数学成绩不优秀 经常使用工具 不经常使用工具 （1）将样本频率视为概率，从该校经常使用工具的学生中随机抽取人，求这人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率； （2）依据的独立性检验，分析使用工具与数学成绩是否有关． 附：． 【答案】（1） （2）使用工具与数学成绩有关 【解析】 【小问1详解】 由表中数据可知，经常使用工具的学生中，数学成绩优秀的概率为，数学成绩不优秀的概率为． 所以人中数学成绩优秀的人数比不优秀的人数多的概率为． 【小问2详解】 零假设为：使用工具与数学成绩无关． 根据列联表中的数据，得． 因为，所以依据的独立性检验，我们推断不成立，即认为使用工具与数学成绩有关． 16. 如图，在四棱锥中，平面，四边形为矩形，，，点在棱上，，点是的中点． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为平面，平面，所以，. 又因为四边形为矩形，所以． 因此两两互相垂直， 所以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图， 则，，，，，. 因为，所以， 又，所以，即是的中点，所以. 因为，，, 所以，， 所以，即，， 又因为，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件建立空间直角坐标系，用向量的方法证明线面垂直可得； （2）直接用向量的方法计算线面角可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设平面的法向量为． 因为，， 所以，令，得，． 设直线与平面所成的角为，，， ，， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知是由复数构成的数列，满足，且，其中是虚数单位，设． （1）求数列的通项公式； （2）记的虚部为，判断数列的前1000项有多少项在数列中． 附：若，其中，，，则． 【答案】（1） （2）375 【解析】 【分析】（1）将递推式两边同减，凑出与的等比结构，先求，再取模的平方即得； （2）把化为三角形式，用棣莫弗定理展开，分离虚部得到；其模长部分每 8 项缩小为，余弦部分以 8 为周期，故只需考察前 8 项，再用组求和. 【小问1详解】 由，得，即． 又，所以． 所以． 所以． 因为，，所以． 【小问2详解】 （2）由（1）可得． 因为，所以． 所以， 即． 数列的前8项：，，，，，，，，前8项中有3项在中． 又， 所以从开始每8项有3项在中． 又，所以数列的前1000项有项在数列中． 18. 已知抛物线：（）与直线在第一象限交于点，为坐标原点，． （1）求的方程． （2）已知点，直线与交于另外一点．若上恰有4个不同的点，，，，使得，，，的面积均为定值，求的取值范围． （3）已知点，是上异于的两点，且以为直径的圆过点，证明：直线过定点． 【答案】（1） （2） （3）设，．易知，，则，同理． 因为以为直径的圆过点，所以，所以， 整理，得．（*） 设直线：，代入，得， 则，． 代入（*）中，得，整理得． 于是直线：，过定点． 【解析】 【分析】（1）由题意确定坐标，进而可求解； （2）确定，再考虑与平行的直线：，代入，联立计算求解即可； （3）设，．通过垂直关系，得到，再设：，联立抛物线方程，结合韦达定理即可求解. 【小问1详解】 由得或所以． 由题意得，解得． 故的方程为． 【小问2详解】 由题意可知直线的方程为． 代入，得，解得或18．由（1）知，故． 因此． 考虑与平行的直线：，代入，得， 令，得．即时，与相切． 此时与直线的距离． 当在上方时，与恒有两个交点． 当在下方时，若，与有两个交点；若，与有一个交点；若，与没有交点． 因为面积相同的三角形有4个，所以． 又，所以，即的取值范围为． 【小问3详解】 略 19. 对于函数，记，（）．若是使无零点的最小正整数，则称是“阶单调函数”． （1）判断函数是几阶单调函数； （2）若函数（）是阶单调函数，记，当实数，变化时，求的最小值； （3）设，函数，当时，恒成立，且存在，使得，试用表示，并证明． 【答案】（1）阶单调函数 （2） （3） 由题意知，，． 因为当时，恒成立，且存在，使得， 即恒成立，且. 令，则在上恒成立，且． 因此是的最小值点，也是极小值点，所以． 由，得． 由，得． 所以，解得或． 又因为，因此. 下面证明： 因为且，所以角的终边在第三象限， 即（），因为，所以①． 又因为， 由，得， 即（），且在上恒成立，所以， 于是．② 综合①②，得，所以． 【解析】 【分析】（1）根据“阶单调函数”的定义及零点存在性定理判断可得； （2）先由函数是阶单调函数，利用导数讨论得，进而将问题转化为曲线：上的点到直线：上的点的距离.再构造函数，用导数判断成立，得曲线在切线上方（除切点以外），再用点到直线间的距离公式计算可得. （3）令，由条件可得在上恒成立，且及，进而可得.证明：先由三角函数值的正负号可得角（），进而可得；又由，再结合条件可得，从而可得及. 【小问1详解】 因为，得， 易得，所以不是阶单调函数． ，则，， 由零点存在性定理得在上存在零点，所以不是阶单调函数． ，因为，所以，无零点， 所以是阶单调函数． 【小问2详解】 由函数，的定义域为， 且，． 因为是阶单调函数，所以在上无零点． 若，当充分大时，必存在，， 所以有零点，不符合条件． 若，当充分大时，必存在，， 同理，不符合条件． 所以，． 验证：的零点为，，无零点，符合题意． 表示曲线：上的点到直线：上的点的距离． 由，可得，令，得，切点为， 则曲线上与直线平行的切线方程为． 设，则， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数在处取得极小值也是最小值， 即，所以，因此曲线在切线上方（除切点以外）． 直线在切线下方，故最短距离即为切点到直线的距离， 所以的最小值为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $