精品解析：河南省洛阳市洛龙区第二高级中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段性检测数学试题

洛阳二高高一年级数学学科阶段性学习诊断 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 一元二次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 5. 函数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值4 D. 最小值4 6. 已知命题， 则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 8. 若不等式的解集是，则m的范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式中解集为R的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. ab的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 11. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的解集为或 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则与的大小关系是________． 13. 已知，，，，若，则__________ 14. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集,集合，集合. （1）当时，求，； （2）若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 16. 已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立. （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若q和p一真一假，求实数m的取值范围. 17. 已知. （1）若.求证：； （2）若，求的最小值. 18. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 19. 已知二次函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳二高高一年级数学学科阶段性学习诊断 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，， 所以. 2. 下列命题正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值排除错误选项，利用差比较法判断正确选项. 【详解】A选项，时，，但，A选项错误； B选项，时，，但，B选项错误； C选项，时，，但，C选项错误； D选项，，，， 所以，D选项正确. 故选：D 3. 一元二次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 解得， 所以一元二次不等式的解集为. 4. 已知，则的最大值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可求最大值. 【详解】因为，要使根式有意义，则，所以，解得． 又，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为2． 故选：C. 5. 函数有（ ） A. 最大值 B. 最小值 C. 最大值4 D. 最小值4 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】解：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以函数有最小值. 故选：D 6. 已知命题， 则命题成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求解二次不等式，得命题成立的充要条件，根据充分不必要条件的定义可得正确答案. 【详解】由，得，解得. 对于A，因为 ，所以是命题成立的一个必要不充分条件，所以A错误； 对于B，因为 ，所以是命题成立的一个必要不充分条件，所以B错误； 对于C，因为 ，所以是命题成立的一个充分不必要条件，所以C正确； 对于D，是命题成立的充要条件，所以D错误. 故选：C. 7. 已知，，若时，关于的不等式恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】注意到原题条件等价于当时，恒成立，当时，恒成立，故当时，，从而得，由此结合基本不等式即可求解. 【详解】设，， 因为，所以当时，； 当时，； 时，； 由不等式恒成立，得或， 即当时，恒成立， 当时，恒成立， 所以当时，， 则，即， 则当时，，当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为． 故选：C． 8. 若不等式的解集是，则m的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】当，即时，原不等式可化为恒成立，满足不等式解集为， 当，即时，若不等式的解集是， 则，解得， 综上所述，的取值范围为 二、多选题.本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列不等式中解集为R的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据题意，利用一元二次不等式的解法来逐项判断即可. 【详解】对于A：中，则解集为R，故A正确； 对于B：中，则解集为R，故B正确； 对于C：中，则解集为或，故C错误； 对于D：中，则解集为或，故D错误. 故选：AB. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. ab的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】直接利用基本不等式即可判断A项B项正误；对平方后再应用基本不等式即可判断C项正误；应用“1”的代换，将展开再应用基本不等式即可求解． 【详解】对于A，B,因为，，且， 所以，当且仅当时，等号成立，即的最大值为， 所以即的最大值是，故A错误，B正确； 对于C，因为，，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最大值是，故C正确； 对于D，因为， 当且仅当，即时，等号成立， 即的最小值是，故D正确． 故选：BCD. 11. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的解集为 D. 的解集为或 【答案】ABC 【解析】 【分析】由题意可得的两个根为1和3，且，利用韦达定理得，再逐个分析判断即可. 【详解】因为不等式的解集为或， 所以的两个根为1和3，且， 由韦达定理得，得， 因为，所以A正确， 因为，所以B正确， 不等式可化为，因为，所以，得， 所以的解集为，所以C正确， 不等式可化为，因为， 所以，即，得， 所以不等式的解集为，所以D错误. 故选：ABC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则与的大小关系是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用作差法可得与的大小. 【详解】，故， 故答案为：. 13. 已知，，，，若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等求得，进而求得. 【详解】依题意，，所以或. 由解得，与集合元素的互异性矛盾. 由解得或（与集合元素的互异性矛盾，舍去）， 则，所以. 故答案为： 14. 若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由可得原不等式等价于，两边平方，利用均值不等式求解即可. 【详解】因为，所以，所以不等式可化为， 设，，则，则， 因为，所以，当且仅当时取等号， 所以，即，所以， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设全集,集合，集合. （1）当时，求，； （2）若命题，命题，若是的充分不必要条件，求实数m的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）当时，求得，结合交集和补集的概念与运算，即可求解； （2）根据题意，转化为集合是的真子集，列出不等式组，即可求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 当时，集合，且， 可得， 或 【小问2详解】 由是的充分不必要条件，则集合是的真子集， 则满足且等号不同时成立，解得， 经验证，当时，满足集合是的真子集， 所以实数m的取值范围是. 16. 已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立. （1）若p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若q和p一真一假，求实数m的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对，不等式恒成立，转化为令，则，求出，解不等式即可得出答案. （2）若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案. 【小问1详解】 对，不等式恒成立， 令，则， 当时，即，解得. 因此，当p为真命题时，m的取值范围是. 【小问2详解】 若q为真命题，则存在，使得成立，所以； 故当命题q为真时，. 又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p真q假时，由，得； 当p假q真时，由或，且，得. 综上所述，m的取值范围为. 17. 已知. （1）若.求证：； （2）若，求的最小值. 【答案】（1） 由，所以. 所以 ， 当且仅当，时取等号， 即，由此得证. （2）4 【解析】 【分析】（1）结合基本不等式证得不等式成立. （2）结合基本不等式转化已知条件，从而求得的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 依题意，， 所以，当且仅当时等号成立， 整理得，解得， 所以的最小值为. 18. 数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ （2）若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】（1）100个，30万元 （2）每月生产不小于70个人形机器人 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得平均每个人形机器人的成本，再利用基本不等式求解即可； （2）由题意可知月利润，解一元二次不等式可得结果. 【小问1详解】 设平均每个人形机器人的成本为万元， 根据题意有， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. 【小问2详解】 设月利润为万元， 则有， 由题知，整理得，解得. 故该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 19. 已知二次函数. （1）求关于的不等式的解集； （2）若关于的不等式的解集中恰有3个整数，求实数的取值范围； （3）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解法分类讨论求解即可； （2）根据一元二次不等式解法结合题意分类讨论求解即可； （3）由题意参变分离可得对恒成立，换元令，可得，利用基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 因为， 当时，，此时不等式的解集为或， 当时，，此时不等式的解集为， 当时，，此时不等式的解集为或， 综上：当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或； 【小问2详解】 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 当时，，此时不等式的解集为，不符合题意； 当时，，此时不等式的解集为， 要使解集中恰有3个整数，则，解得， 综上：实数的取值范围为或 【小问3详解】 当时，不等式恒成立， 整理可得对恒成立， 又因为，可得对恒成立， 令，则， 可得， 因为，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以， 可得．所以的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $