精品解析：河南洛阳市第一高级中学2026～2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

洛阳一高2026级高一数学月考（2026.10） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 集合，，，则等于　（ ） A. {1,4,5,6} B. {1,5} C. {4} D. {1,2,3,4,5} 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，的最小值是 D. 当时，的最小值为1 4. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（  ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程 有两个相等的实数根；④方程 的两根是 ，.其中正确结论有（ ）个. A. B. C. D. 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知 ，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，则 D. 若 ，，则 ， 10. 设全集，集合，若，则（ ） A. B. C. 的真子集个数为32 D. 11. 已知实数满足，则（    ） A. B. C. D. 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，且，则的值为_____. 13. 不等式的解集为_________． 14. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是__________. 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分） 15. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 16. 已知全集，集合，，. （1）求，； （2）若，求的取值范围. 17. 已知关于的不等式（）. （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若不等式的解集是，求的取值范围； （3）若不等式的解集是，求的取值范围. 18. （1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式（） 19. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 洛阳一高2026级高一数学月考（2026.10） 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1. 集合，，，则等于　（ ） A. {1,4,5,6} B. {1,5} C. {4} D. {1,2,3,4,5} 【答案】B 【解析】 【分析】先计算出，再由交集定义计算． 【详解】由题意所以． 故选： B 【点睛】本题考查集合的综合运算，掌握并理解集合运算“交并补”是解题关键． 2. 已知命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】根据全称命题的否定即可得到答案. 【详解】根据全称命题的否定得到命题的否定为， . 故选：C. 3. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时，的最小值是 D. 当时，的最小值为1 【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式及其口诀“一正二定三相等”分析可得. 【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，故A错误； 当时，，当且仅当，即时等号成立，故B正确； 当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故C错误； 当时，，当且仅当，即时等号成立，但已知条件中，等号不成立，故D错误． 故选：B. 4. 已知a，b为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】因为等价于，即， 则或， 所以当时，成立， 当时，不一定成立， 如，满足，但不满足， 故“”是“”的充分不必要条件. 5. 已知命题p：“，”，命题q：“，”．若命题和命题q都是真命题，则实数a的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先考虑均为真命题得到的取值范围，然后根据的真假性得到关于的不等式，即可求解出的取值范围. 【详解】若，，则， ∴． 若，， 则， 解得或． ∵命题和命题q都是真命题， ∴或， ∴． 故选D． 【点睛】本题考查根据全称命题、特称命题的真假求解参数范围，难度一般.利用命题的真假求解参数范围时，可先考虑命题都为真的情况下对应的参数范围，然后再根据实际的命题真假得到关于参数的不等式（注：若命题为假，只需对为真时参数范围取补集），由此求解出参数范围. 6. 已知正实数满足时，有恒成立，则的最大值为（  ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求出的最小值，再代入解不等式即可． 【详解】解：因为正实数满足， 所以， 当且仅当时，等号成立，即时，等号成立， 因为正实数满足时，有恒成立， 所以，即， 即，得最大值为8． 7. 已知二次函数 的图象如图所示，下列结论：①；②；③方程 有两个相等的实数根；④方程 的两根是 ，.其中正确结论有（ ）个. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象确定开口方向、零点和顶点，求出 ，再逐项判断. 【详解】图象开口向下，所以；与 轴交于，， 可设 .顶点横坐标为，纵坐标为 ，所以，则. 于是 ，故，. ① ，正确； ② ，错误； ③ 方程，即，有两个相等的实根，正确； ④ 令，方程化为，解得或， 所以或，不是和，错误.正确的有①③，共 个. 8. 若，，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合基本不等式及“”的代换，两次利用基本不等式可得最值. 【详解】已知，，， 则， 又，当且仅当，即时，等号成立， 所以， 故， 由，当且仅当，即时等号成立， 则， 当且仅当，，时等号成立， 即的最小值为. 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9. 已知 ，，，，则下列命题正确的是（ ） A. 若 ，，则 B. 若 ，，则 C. 若 ，则 D. 若 ，，则 ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】逐项利用不等式的基本性质判断，注意不等式两边同乘或同除以一个数时符号的影响. 【详解】A 项，取 ，，，，满足 ，， 但 ，， 不成立，A 错误. B 项，由 得 .又，两边同除以，得， 所以，即，B 正确. C 项， 时，，，所以；而，故，C 正确. D 项，.因为，所以，从而，即 异号； 又，所以，，D 正确. 10. 设全集，集合，若，则（ ） A. B. C. 的真子集个数为32 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意知，作出Venn图，如图，依次判断选项即可. 【详解】由题意知，作出Venn图，如图． 由图可知，故A正确，B错误； 集合的真子集个数为，C错误； ，故，D正确. 故选：AD 11. 已知实数满足，则（    ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用已知条件结合基本不等式计算判断选项A；利用有解，由判别式构造不等式，解不等式，判断选项B；由已知条件得出，进而求解判断选项C；由求出，结合已知条件计算求解． 【详解】已知，由基本不等式， 当时，，解得，当且仅当时取等号， 当时，，解得，当且仅当时等号成立， ，故A正确； 因为关于的方程有解，所以 因此，故B错误； 由，即由上可得， 所以，， 所以，故C正确； 因为，由选项A知， 由，得，故D正确． 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知集合，，且，则的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据集合相等得到或，分别求出、的值，再检验即可. 【详解】因为，，且， 所以或， 解得或或 ， 根据集合的元素的互异性可得，且， 所以，此时，，满足， 所以. 故答案为： 13. 不等式的解集为_________． 【答案】 【解析】 【分析】因式分解后，结合数轴穿根法求解即可. 【详解】原不等式等价于：,根据数轴穿根法,可得不等式的解集是. 故答案为： 14. 若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件及一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】不等式，可化为 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 当，不等式解集为，不符合题意， 当，即时，， 解集中含有两个整数解，， 综上得. 故答案为：. 四、解答题（共5小题，第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题17分，第19题17分，共77分） 15. 已知集合，，． （1）若，求实数的取值集合； （2）若“，都有”为真命题，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先化简集合，由得，分和两类情况讨论求的取值； （2）由题意可得，求解中方程的根，结合包含关系求解即可. 【小问1详解】 解方程，得或，故． 因为，所以． 当时，，满足； 当时，方程的解为，则， 若，解得；若，解得． 综上所述，实数的取值集合为． 【小问2详解】 由得，解得或． 因为“，都有“为真命题，则，且． 当，即时，，显然，符合条件； 当时，，由得，解得，此时，符合条件． 综上所述，实数或． 16. 已知全集，集合，，. （1）求，； （2）若，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先求集合，根据集合的交集和并集运算即可求解； （2）由得，分和两种情况讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意得：， 所以， 由， 所以， 所以，； 【小问2详解】 ∵，∴ 又，， ①当时，，∴， ②当时，则，解得， 综上所述，的取值范围为. 17. 已知关于的不等式（）. （1）若不等式的解集是，求的值； （2）若不等式的解集是，求的取值范围； （3）若不等式的解集是，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据二次不等式的解集，判断二次函数图像开口方向和判别式的范围，解集为“除一个数外的全体实数”需开口向下且，列出方程，求出结果即可； （2）解集为需开口向下且，列出不等式，求出结果即可； （3）解集为空集需开口向上且，列出不等式，求出结果即可； 【小问1详解】 不等式的解集为 ，说明抛物线开口向下且与 轴只有一个交点， 故 且 ，即，得， 因为，得. 【小问2详解】 不等式的解集为，需且，即，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 不等式的解集为，需且，即，解得. 所以的取值范围为. 18. （1）求不等式的解集； （2）解关于的不等式（） 【答案】（1）； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）把分式不等式通过移项、通分，转化为二次不等式，进而求出结果. （2）对原不等式进行因式分解，再根据参数范围，讨论不等式的解集. 【详解】（1）由得，即， 即，解得，所以不等式解集为. （2）当时，原不等式为，解集为. 当时，可得， 若，则，不等式等价于，解集为； 若，则，解集为； 若，则，解集为； 若，则，解集为. 19. 已知函数. （1）关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集; （2）已知，当时，， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围; ②求的最小值. 【答案】（1）当时，不等式的解集为;当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为. （2）①，②36 【解析】 【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集； （2）由条件得，再利用基本不等式求解问题. 【小问1详解】 因为关于的不等式的解集为， 所以，即 所以不等式可转化为， 又，所以，即， 当，即时，解得; 当，即时，解得; 当，即时，解得， 综上所述:当时，不等式的解集为; 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【小问2详解】 因为当时，，所以， 即，所以， ①若存在正实数a，b，使不等式有解，则， ， 当且仅当，即时，， 所以，解得或， 即的取值范围是. ②由，可得， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为36. 【点睛】关键点点睛：第（2）问中，若存在正实数a，b，使不等式有解，则，利用基本不等式求出，则，可解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $