2026-2027学年人教版九年级数学上册 期中模拟试卷

2026-2027学年度第一学期人教版九年级期中模拟试卷 一．选择题（共10小题） 1．下列图形中，属于中心对称图形是（　　） A．赵爽弦图B．七巧板 C．河图洛书 D．杨辉三角 2．一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．4，﹣81，0 B．4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81 3．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2是由抛物线y＝﹣3x2平移得到的，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 4．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB，OC，若∠A＝60°，则∠OBC的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 5．深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术，一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．50（1+x）＝150 B．50（1﹣x）2＝150 C．50（1+x）2＝150 D．50（1+x）3＝150 6．若关于x的一元二次方程ax2+（2a﹣1）x﹣2＝0的两根相等，那么a等于（　　） A．﹣0.5 B．0.5 C．0.5或﹣0.5 D．﹣0.5或0 7．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　） A． B． C． D． 9．如图，玻璃水杯截面图的左右轮廓线AC，BD可看作某抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，该抛物线的顶点在y轴上．将盛有部分水的该玻璃水杯倾斜45°时，水面正好经过点B（即∠ABP＝45°）．下列结论中，错误的是（　　） A．此抛物线的解析式为y＝x2﹣16 B．直线PB的解析式为y＝x﹣4 C．点P到杯口AB的距离为5cm D．点P到点D的距离为cm 10．如图1，运动点Q从A处出发，沿线段AB向目的地B处运动．设AQ为x（0≤x≤n），PQ2为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．则n的值是（　　） A．23 B．24 C．25 D．26 二．填空题（共6小题） 11．已知点A（a，﹣2）与点B（3，b）关于原点对称，则a+b的值等于_______ ． 12．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根为1，则另一个根是_____ ． 13．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D．若AB＝10，AC＝7，则BD的长为 _____ ． 14．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是_________________ ． 15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点（2，0）．下列说法：①abc＞0；②﹣2b+c＝0；③ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜2；④（m为任意实数）．其中正确的是________ ．（填序号） 16．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝4，点D，E分别是边BC，AB的中点，将△ADE绕点A顺时针旋转α°（45＜α＜180），连接BD，并取其中点F，连接EF，当△ABD为直角三角形时，线段EF的长为____________________ ． 三．解答题（共8小题） 17．解下列方程： （1）x2+10x+25＝0； （2）x2﹣2x﹣1＝0． 18．如图，某小区有一块长16m，宽10m的矩形场地，准备沿平行于两边的方向横、纵各修建一条同样宽的小路，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为135m2，求小路的宽． 19．已知抛物线：y＝kx2﹣3x﹣1． （1）若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为 ___________________ ； （2）若抛物线交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），当x1+x2＝﹣3时． ①则k的值为 _______ ，抛物线的对称轴为直线 ____________________ ； ②若直线y＝n与该抛物线有公共点，则n的取值范围为 ____________________ ． 20．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，，连CE交直径AB于点F，BC交AD于点G． （1）求证：AD⊥CE； （2）若点G为AD中点，AF＝2，求AD的长． 21．如图，是由边长为1的小正方形组成的4×5的网格，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，每个任务的画线不得超过2条． （1）如图1，点P是AC与网格线的交点． ①在图1中，画点D，使四边形ABDC为平行四边形； ②在①的基础上，在BC上画点O，使射线PO平分平行四边形ABDC的面积； （2）在图2中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G； （3）在（2）的基础上，画点A关于点G的中心对称点M． 22．消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图，A、B为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点．已知点A与点C的垂直距离与水平距离均为12米，水流在与点A水平距离为4米处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求原水流所在抛物线的解析式； （2）若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4米处的B着火点？请说明理由； （3）将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A正上方3米，求m的取值范围． 23．如图，已知正方形FGCE与正方形ABCD共顶点C（GC＜BC），且CG在正方形ABCD的内部，连接DE、BG，直线BG交DE于点H． （1）如图（1），求证：△BGC≌△DEC； （2）如图（2），连接CH，请用一个等式表示线段DH、BH、CH之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图（2），若，当线段CH的长最大时，直接写出线段DH的长． 24．抛物线y＝﹣x2﹣（2m﹣3）x﹣m2+3m+4与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C． （1）如图1，当m＝0时，直接写出点A，B，C的坐标； （2）在（1）的条件下，若点P在抛物线上，∠PCB＝∠ACO，求P点的坐标； （3）如图2，当﹣1＜m＜4时，若H是抛物线上B，C之间的一点（不与B，C重合），直线AH，BH分别交y轴于M，N两点，在点H运动过程中，总有CN＝3CM，求m的值． 2026-2027学年度第一学期人教版九年级期中模拟试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 1．下列图形中，属于中心对称图形是（　　） A．赵爽弦图 B．七巧板 C．河图洛书 D．杨辉三角 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【解答】解：选项B、C、D的图形不能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项A的图形能找到一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 故选：A． 【点评】本题主要考查了中心对称图形，关键是找出对称中心． 2．一元二次方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．4，﹣81，0 B．4，0，81 C．4，0，﹣81 D．﹣4，0，﹣81 【分析】先把方程化为一般形式，再根据一元二次方程一般式解答即可． 【解答】解：（2x+3）（2x﹣3）＝72， 整理，得4x2﹣81＝0， 故方程（2x+3）（2x﹣3）＝72的二次项系数是4、一次项系数是0、常数项是﹣81， 故选：C． 【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项． 3．抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2是由抛物线y＝﹣3x2平移得到的，下列平移方式中，正确的是（　　） A．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位 【分析】先根据二次函数的性质得两抛物线的顶点坐标，然后通过顶点的平移可确定抛物线的平移． 【解答】解：抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（0，0），抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2的顶点坐标为（1，﹣2）， ∵点（0，0）先向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到点（1，﹣2）， ∴把抛物线y＝﹣3x2先向右移1个单位，再向下平移2个单位可得抛物线y＝﹣3（x﹣1）2﹣2 故选：B． 【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 4．如图，△ABC内接于⊙O，连接OB，OC，若∠A＝60°，则∠OBC的度数为（　　） A．30° B．35° C．40° D．45° 【分析】先根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，得∠BOC＝120°，再结合BO＝CO，以及三角形内角和性质进行列式计算，即可作答． 【解答】解：∵∠A＝60°，， ∴∠BOC＝2×60°＝120°， ∵BO＝CO， ∴， 故选：A． 【点评】本题考查了三角形内角和性质，圆周角定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 5．深度求索（DeepSeek）是一家专注人工智能领域的中国科技公司，致力于开发先进的大语言模型和生成式AI技术，一经发布，便占据各大手机应用市场下载榜首位．据统计，该软件首日在某平台的下载量为50万次，第二天、第三天下载量连续增长，第三天为150万次．设下载量的日平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是（　　） A．50（1+x）＝150 B．50（1﹣x）2＝150 C．50（1+x）2＝150 D．50（1+x）3＝150 【分析】利用该软件第三天在某平台的下载量＝该软件首日在某平台的下载量×（1+下载量的日平均增长率）2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：50（1+x）2＝150． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 6．若关于x的一元二次方程ax2+（2a﹣1）x﹣2＝0的两根相等，那么a等于（　　） A．﹣0.5 B．0.5 C．0.5或﹣0.5 D．﹣0.5或0 【分析】由题意得到a≠0，Δ＝（2a﹣1）2+4×2a＝（2a+1）2＝0，然后解关于a的方程得到a的值． 【解答】解：根据题意有：a≠0，Δ＝0， ∴Δ＝（2a﹣1）2+4×2a＝（2a+1）2＝0，即a＝﹣0.5 故选：A． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的定义． 7．在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定a、b的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【解答】解：联立二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝bx﹣a， 消去y得，ax2+a＝0， ∴Δ＝﹣4a2＜0，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令ax2+bx＝0， 解得：x1＝0，， ∴二次函数y＝ax2+bx与x轴的交点坐标为（0，0）或，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过一、三、四象限，则b＞0，﹣a＜0，即a＞0，b＞0，矛盾，故不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＞0，b＜0，一次函数图象经过二、三、四象限，则b＜0，﹣a＜0，即a＞0，b＜0，故正确，符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的图象，一次函数的图象，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，D、E分别是AC、BC上的一点，且DE＝3，若以DE为直径的圆与斜边AB相交于M、N，则MN的最大值为（　　） A． B． C． D． 【分析】由题意可知，C、O、G三点在一条直线上OG最小，MN最大，再由勾股定理求得AB，然后由三角形面积求得CF，最后由垂径定理和勾股定理即可求得MN的最大值． 【解答】解：过O作OG⊥AB于G，连接OC、OM， ∵DE＝3，∠ACB＝90°，OD＝OE， ∴OCDE， 只有C、O、G三点在一条直线上OG最小， ∵OM， ∴只有OG最小，GM才能最大，从而MN有最大值， 过C作CF⊥AB于F， ∴G和F重合时，MN有最大值， ∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4， ∴AB5， ∵AC•BCAB•CF， ∴CF， ∴OG＝CF﹣OC， ∴MG， ∴MN＝2MG， 故选：D． 【点评】本题考查了勾股定理，垂线段最短，垂径定理等知识，正确作出辅助线，得出C、O、G三点在一条直线上OG最小是解题的关键． 9．如图，玻璃水杯截面图的左右轮廓线AC，BD可看作某抛物线的一部分，杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm，该抛物线的顶点在y轴上．将盛有部分水的该玻璃水杯倾斜45°时，水面正好经过点B（即∠ABP＝45°）．下列结论中，错误的是（　　） A．此抛物线的解析式为y＝x2﹣16 B．直线PB的解析式为y＝x﹣4 C．点P到杯口AB的距离为5cm D．点P到点D的距离为cm 【分析】依据题意得A（﹣4，0），B（4，0），C（﹣2，﹣12），D（2，﹣12），可求抛物线的解析式为y＝x2﹣16，再求出直线PB的解析式，联立即可求出点P坐标，继而可判断结论． 【解答】解：∵杯口AB＝8cm，杯底CD＝4cm，且AB∥CD，杯深12cm， ∴A（﹣4，0），B（4，0），C（﹣2，﹣12），D（2，﹣12）， 设轮廓线AC，BD所在抛物线的解析式为y＝ax2+k， 记BP与y轴的交点为E，把A（﹣4，0）、C（﹣2，﹣12）代入得：， 解得：， ∴y＝x2﹣16，故A说法正确，不符合题意； ∵∠ABP＝45°， ∴∠OEB＝∠ABP＝45°， ∴OB＝OE， ∴E（0，﹣4）， 设直线PB的解析式为y＝mx+n， 把B（4，0）、E（0，﹣4）代入得： 解得：， ∴直线PB：y＝x﹣4，故B说法正确，不符合题意； 由x2﹣16＝x﹣4解得x1＝﹣3，x2＝4（舍去）， 当x＝﹣3，y＝﹣3﹣4＝﹣7， ∴P（﹣3，﹣7），此时点P到杯口AB的距离为7cm，故C说法不正确，符合题意； ∴PD5（cm），故D说法正确，不符合题意． 故选：C． 【点评】本题考查二次函数的应用，正确求出抛物线的表达式是解题的关键． 10．如图1，运动点Q从A处出发，沿线段AB向目的地B处运动．设AQ为x（0≤x≤n），PQ2为y．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点D（m，81），且经过E（1，225）和F（n，225）两点．则n的值是（　　） A．23 B．24 C．25 D．26 【分析】如图，过点P作PG⊥AB于点G，在AB上取点H，使AH＝1，连接PA、PH、PB，根据题意和图象可知PH2＝225，PG2＝81，再根据勾股定理可求得m的值，最后根据抛物线的对称性即可求得n的值． 【解答】解：如图，过点P作PG⊥AB于点G，在AB上取点H，使AH＝1，连接PH、PA、PB， ∵E（1，225）， ∴当x＝1时，动点Q运动到了点H的位置， 则由图象可知，PH2＝225， 当点Q运动到点G的时候，PQ2最小，即PG2＝81，HG＝m﹣1， ∵GH2+PG2＝PH2， ∴（m﹣1）2+81＝225， 解得m＝﹣11（舍去）或m＝13， ∵y关于x的函数图象经过E（1，225）和F（n，225）两点，最低点D（m，81）， ∴点E、F关于抛物线的对称轴对称，抛物线的对称轴为直线x＝m＝13， ∴n＝13+（13﹣1）＝25． 故选：C． 【点评】本题考查了二次函数的应用，勾股定理，垂线段最短，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．已知点A（a，﹣2）与点B（3，b）关于原点对称，则a+b的值等于　﹣1　 ． 【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案． 【解答】解：∵点A（a，﹣2）与点B（3，b）关于原点对称， ∴a＝﹣3，b＝2， 则a+b的值为：﹣3+2＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确记忆横纵坐标的符号关系是解题关键． 12．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根为1，则另一个根是　3　 ． 【分析】设方程的另一个根是m，利用两根之和等于，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设方程的另一个根是m， 根据题意得：1+m＝4， 解得：m＝3， ∴方程的另一个根是3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了根与系数的关系以及解一元一次方程，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于，两根之积等于”是解题的关键． 13．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别为P，C，D．若AB＝10，AC＝7，则BD的长为 　3　 ． 【分析】先根据切线长定理求出AP，进而求出PB，再根据切线长定理解答即可． 【解答】解：∵AB，AC是⊙O的切线，AC＝7， ∴AP＝AC＝7， ∵AB＝10， ∴PB＝AB﹣AP＝10﹣7＝3， ∵BP，BD是⊙O的切线， ∴BD＝BP＝3， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是切线的性质，掌握切线长定理是解题的关键． 14．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝60°，将菱形ABCD绕点A逆时针方向旋转，对应得到菱形AEFG，点E在AC上，EF与CD交于点P，则DP的长是　1　 ． 【分析】连接BD交AC于O，由菱形的性质得出CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD，由直角三角形的性质求出OBAB＝1，OAOB，得出AC＝2，由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°，得出CE＝AC﹣AE＝22，证出∠CPE＝90°，由直角三角形的性质得出PECE1，PCPE＝3，即可得出结果． 【解答】解：连接BD交AC于O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD＝AB＝2，∠BCD＝∠BAD＝60°，∠ACD＝∠BAC∠BAD＝30°，OA＝OC，AC⊥BD， ∴OBAB＝1， ∴OAOB， ∴AC＝2， 由旋转的性质得：AE＝AB＝2，∠EAG＝∠BAD＝60°， ∴CE＝AC﹣AE＝22， ∵四边形AEFG是菱形， ∴EF∥AG， ∴∠CEP＝∠EAG＝60°， ∴∠CEP+∠ACD＝90°， ∴∠CPE＝90°， ∴PECE1，PCPE＝3， ∴DP＝CD﹣PC＝2﹣（3）1； 故答案为：1． 【点评】本题考查了菱形的性质、旋转的性质、含30°角的直角三角形的性质、平行线的性质等知识；熟练掌握旋转的性质和菱形的性质是解题的关键． 15．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，对称轴为直线且经过点（2，0）．下列说法：①abc＞0；②﹣2b+c＝0；③ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜2；④（m为任意实数）．其中正确的是　②③④　 ．（填序号） 【分析】先根据抛物线开口向下、与y轴的交点位于y轴正半轴a＜0，c＞0，再根据对称轴可得b＝﹣a＞0，由此可判断说法①；将点（2，0）代入二次函数的解析式可判断说法②；根据二次函数的对称性可知抛物线也经过点（﹣1，0），结合图象得到当﹣1＜x＜2时，ax2+bx+c＞0，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判断说法④，即可得出答案． 【解答】解：∵抛物线开口向下，与y轴的交点位于y轴正半轴， ∴c＞0，a＜0， ∵， ∴b＝﹣a＞0， ∴abc＜0，故①不正确； 把点（2，0）代入y＝ax2+bx+c得，4a+2b+c＝0， 将a＝﹣b代入4a+2b+c＝0得，﹣2b+c＝0，故②正确； ∵，且经过点（2，0）， ∴抛物线也经过点（﹣1，0）， ∴当﹣1＜x＜2时，ax2+bx+c＞0， ∴ax2+bx+c＞0的解集是﹣1＜x＜2，故③正确； 当时，y的最大值为， ∴ab+c≥am2+bm+c，即，故④正确； 综上，正确的是②③④． 故答案为：②③④． 【点评】本题主要考查了利用二次函数的图象判断式子的符号、二次函数的图象与性质等知识点，从函数图象上得到相关信息是解题的关键． 16．如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC＝4，点D，E分别是边BC，AB的中点，将△ADE绕点A顺时针旋转α°（45＜α＜180），连接BD，并取其中点F，连接EF，当△ABD为直角三角形时，线段EF的长为　或．　 ． 【分析】由题易知AE＝2，AD＝2，再分类讨论画出图形求解即可． 【解答】解：∵AB＝AC＝4，D为BC中点，E为AB中点， ∴BC＝4，ADAB＝2，AE2，且△AED为直角三角形， 当∠ADB＝90°时，如图， 此时α＝90°， ∴∠DAB＝∠DAE＝45°， 过E作EG⊥BD于点G，则EG＝GD， ∵DF， ∴， 在Rt△GEF中，EF； 当∠BAD＝90°时，如图， 此时α＝135°， 如图，延长EA交BC于点H， ∵F是BD中点，H是BC中点， ∴FH∥AC，且FHCD（24）， ∴∠FHE＝∠CAH＝45°， ∴△FEH为直角三角形， ∴EF＝FH； 综上，EF的长为或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 17．解下列方程： （1）x2+10x+25＝0； （2）x2﹣2x﹣1＝0． 【分析】（1）方程左侧为完全平方式，可利用因式分解法求解． （2）利用配方法解方程即可． 【解答】解：（1）由题意得（x+5）2＝0， 解得x1＝x2＝﹣5； （2）x2﹣2x﹣1＝0， x2﹣2x＝1， x2﹣2x+1＝1+1， （x﹣1）2＝2， ， 解得，． 【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的因式分解法和配方法是解题的关键． 18．如图，某小区有一块长16m，宽10m的矩形场地，准备沿平行于两边的方向横、纵各修建一条同样宽的小路，其余部分种草，如果使草坪部分的总面积为135m2，求小路的宽． 【分析】设小路的宽为xm，则其余部分可合成长为（16﹣x）m，宽为（10﹣x）m的矩形，根据草坪部分的总面积为135m2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设小路的宽为xm，则其余部分可合成长为（16﹣x）m，宽为（10﹣x）m的矩形， 根据题意得：（16﹣x）（10﹣x）＝135， 整理得：x2﹣26x+25＝0， 解得：x1＝1，x2＝25（不符合题意，舍去）． 答：小路的宽为1m． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 19．已知抛物线：y＝kx2﹣3x﹣1． （1）若抛物线与x轴只有一个公共点，则k的值为 　　 ； （2）若抛物线交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），当x1+x2＝﹣3时． ①则k的值为 　﹣1　 ，抛物线的对称轴为直线 x　 ； ②若直线y＝n与该抛物线有公共点，则n的取值范围为 n　 ． 【分析】（1）利用二次函数的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4k×（﹣1）＝0，然后解不等式和方程得到k的值， （2）根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2，利用根与系数的关系得到x1+x23，可可求出k的值，然后利用抛物线对称轴方程写出对称轴； ②把抛物线y＝﹣x2﹣3x﹣1与直线y＝n有公共点转化为一元二次方程﹣x2﹣3x﹣1＝n有实数解，利用根的判别式的意义得到Δ＝32﹣4（n+1）≥0，然后解不等式即可． 【解答】解：（1）根据题意得k≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4k×（﹣1）＝0， 解得k； 故答案为：； （2）①∵抛物线交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）， ∴一元二次方程kx2﹣3x﹣1＝0的两个根为x1，x2， ∵x1+x23， ∴k＝﹣1， 抛物线的对称轴为直线x， 即直线x； 故答案为：﹣1，x； ②∵抛物线y＝﹣x2﹣3x﹣1与直线y＝n有公共点， ∴一元二次方程﹣x2﹣3x﹣1＝n有实数解， 整理得x2+3x+n+1＝0， ∴Δ＝32﹣4（n+1）≥0， 解得n， 即n的取值范围为n． 故答案为：n． 【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程；Δ＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．也考查了二次函数的性质． 20．如图，AB是⊙O的直径，点C、D、E在⊙O上，，连CE交直径AB于点F，BC交AD于点G． （1）求证：AD⊥CE； （2）若点G为AD中点，AF＝2，求AD的长． 【分析】（1）如图1，连接OD交BC于点M，先根据垂径定理得OD⊥BC，则∠DMG＝90°，根据圆周角定理得∠BCE＝∠BAD，由OA＝OD，得∠BAD＝∠ADO，最后由三角形的内角和定理即可解答； （2）如图2，连接OD交BC于点M，连接BD，根据圆周角定理得∠ACB＝∠ADB＝90°，证明△AHC≌△AHF（ASA），△ACG≌△DMG（AAS），则DM＝AC＝AF＝2，由三角形的中位线定理得OMAC＝1，最后由勾股定理即可解答． 【解答】（1）证明：如图1，连接OD交BC于点M， ∵， ∴OD⊥BC， ∴∠DMG＝90°， ∵， ∴∠BCE＝∠BAD， ∵OA＝OD， ∴∠BAD＝∠ADO， ∴∠ADO＝∠BCE， ∵∠DGM＝∠CGH， ∴∠CHG＝∠DMG＝90°， ∴AD⊥CE； （2）解：如图2，连接OD交BC于点M，连接BD， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝∠ADB＝90°， ∵， ∴∠CAD＝∠BAD， ∵∠AHC＝∠AHF＝90°，AH＝AH， ∴△AHC≌△AHF（ASA）， ∴AC＝AF＝2， ∵点G为AD中点， ∴AG＝DG， ∵∠AGC＝∠DGM，∠ACG＝∠DMG＝90°， ∴△ACG≌△DMG（AAS）， ∴DM＝AC＝2， ∵OD⊥BC， ∴CM＝BM， ∵AO＝OB， ∴OM是△ABC的中位线， ∴OMAC＝1， ∴OD＝2+1＝3， ∵AB＝2OD＝6， 由勾股定理得：BC4， ∴BMBC＝2， Rt△DMB中，BD2， Rt△ADB中，AD2． 【点评】本题考查了圆周角定理，全等三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形，并构建直角三角形解决问题． 21．如图，是由边长为1的小正方形组成的4×5的网格，每个小正方形的顶点叫格点．△ABC的三个顶点都是格点，仅用无刻度直尺在给定的网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，每个任务的画线不得超过2条． （1）如图1，点P是AC与网格线的交点． ①在图1中，画点D，使四边形ABDC为平行四边形； ②在①的基础上，在BC上画点O，使射线PO平分平行四边形ABDC的面积； （2）在图2中，先画点F，使点A绕点F顺时针旋转90°到点C，再画射线AF交BC于点G； （3）在（2）的基础上，画点A关于点G的中心对称点M． 【分析】（1）①结合平行四边形的判定画出点D即可． ②连接AD交BC于点O，则点O即为所求． （2）结合旋转的性质，使点F在线段AC的垂直平分线上，且AF＝CF，再作射线AF即可． （3）延长AB至点E，使BE＝AB，过点E作BC的平分线，交射线AF于点M，则点M即为所求． 【解答】解：（1）①如图1，点D即为所求． ②如图1，连接AD交BC于点O，作射线PO， 此时射线PO平分平行四边形ABDC的面积， 则点O即为所求． （2）如图2，点F和射线AF即为所求． （3）如图2，延长AB至点E，使BE＝AB，过点E作BC的平分线，交射线AF于点M， 则点M即为所求． 【点评】本题考查作图﹣旋转变换、作图—应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 22．消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图，A、B为某建筑物墙面上的两点，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A处着火点．已知点A与点C的垂直距离与水平距离均为12米，水流在与点A水平距离为4米处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求原水流所在抛物线的解析式； （2）若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4米处的B着火点？请说明理由； （3）将水流所在的抛物线向左平移m米，使水流在墙面上的到达点不低于A正上方3米，求m的取值范围． 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）先求出平移后的解析式，再令x＝0，求出y的值与12+4比较即可； （3）先求出抛物线向左平移m米后的解析式，再令x＝0，求出y的值，再令y的值≥12+3，解不等式求出m的取值范围． 【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：y＝a（x﹣4）2+k， 由题意得抛物线经过点C（12，0），A（0，12）， ， 解得：， ∴水流所在抛物线的解析式为：； （2）∵若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2米到点D处， ∴平移后抛物线的解析式为：， ∴当x＝0时，y＝15，即水流过点（0，15）， ∴15＜12+4＝16， 答：水流不经过着火点B，比着火点B低1米； （3）∵将水流所在的抛物线向左平移m米， ∴平移后抛物线的解析式为：， ∴当x＝0时，， ∵水流的到达点不低于A正上方3米， ∴， 解得：2≤m≤6． ∴m的取值范围为2≤m≤6． 【点评】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 23．如图，已知正方形FGCE与正方形ABCD共顶点C（GC＜BC），且CG在正方形ABCD的内部，连接DE、BG，直线BG交DE于点H． （1）如图（1），求证：△BGC≌△DEC； （2）如图（2），连接CH，请用一个等式表示线段DH、BH、CH之间的数量关系，并证明你的结论； （3）如图（2），若，当线段CH的长最大时，直接写出线段DH的长． 【分析】（1）由正方形的性质得出BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝90°，∠GCE＝90°，得出∠BCD＝∠GCE，则可证明△BCG≌△DCE（SAS）； （2）证明△GMC≌△EHC（SAS），得出CM＝CH，∠MCG＝∠HCE，由直角三角形的性质得出结论； （3）由题意知点C、E、H、G在以EG为直径的圆上，当点F与点H重合时，CH为直径时最大，连接BD，设DH＝x，得出，解得，则可得出答案． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，四边形FGCE是正方形， ∴BC＝DC，CG＝CE，∠BCD＝90°，∠GCE＝90°， ∴∠BCD＝∠GCE， ∵∠BCG＝∠BCD﹣∠GCD，∠DCE＝∠GCE﹣∠GCD， ∴∠BCG＝∠DCE， 在△BCG和△DCE中， ∴△BCG≌△DCE（SAS）； （2）解：，理由如下： 在BG上截取GM＝EH， ∵△BCG≌△DCE， ∴∠BGC＝∠DEC， 在△GMC和△EHC中， ， ∴△GMC≌△EHC（SAS）， ∴CM＝CH，∠MCG＝∠HCE， ∴∠MCH＝∠GCE＝90°， ∴， ∵△BCG≌△DCE， ∴BG＝DE， ∴BM＝DH， ∴． （3）解：． 由题意知点C、E、H、G在以EG为直径的圆上，当点F与点H重合时，CH为直径时最大，连接BD，设DH＝x， ∵， ∴， ∵EF＝2， ∴， ∵， ∴BH﹣DH＝4， ∴BH＝x+4， ∵∠BHD＝90°， ∴， ∴2x2+8x﹣4＝0， 解得， ∴． 【点评】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 24．抛物线y＝﹣x2﹣（2m﹣3）x﹣m2+3m+4与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C． （1）如图1，当m＝0时，直接写出点A，B，C的坐标； （2）在（1）的条件下，若点P在抛物线上，∠PCB＝∠ACO，求P点的坐标； （3）如图2，当﹣1＜m＜4时，若H是抛物线上B，C之间的一点（不与B，C重合），直线AH，BH分别交y轴于M，N两点，在点H运动过程中，总有CN＝3CM，求m的值． 【分析】（1）当m＝0时，y＝﹣x2+3x+4，即可求出A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）； （2）求出，过点B作BD⊥BC交直线CP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，可得BE＝DE，由tan∠PCB＝tan∠ACO，得，BE＝DE＝1，设CP的解析式为y＝kx+4，分当CP在 BC 上方，当CP在BC下方，求出的解析式与抛物线解析式联立，求出P点的坐标或； （3）本题可先设出点H（t，n），其中n＝﹣t2﹣2mt+3t﹣m2+3m+4，再分别求出直线AH，BH的解析式，进而得到M、N的纵坐标、，结合C（0，﹣m2+3m+4），最后根据CN＝3CM列出等式求解m的值 【解答】解：（1）A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）；理由如下： 抛物线y＝﹣x2﹣（2m﹣3）x﹣m2+3m+4与x轴交于A，B两点（A在B左侧），与y轴交于C，且m＝0， ∴y＝﹣x2+3x+4， 当y＝0时，得：﹣x2+3x+4＝0， 解得：x＝﹣1或4； 当x＝0时，得：y＝4， ∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）； （2）由（1）知，A（﹣1，0），B（4，0），C（0，4）， ∴OA＝1，OB＝4，OC＝4． ∴． 过点B作BD⊥BC交直线CP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，则∠CBD＝∠BED＝90°， ∴∠DBE＝180°﹣∠CBO﹣∠CBD＝45°， ∴∠BDE＝90°﹣∠DBE＝45°， ∴BE＝DE， ∵∠PCB＝∠ACO， ∴tan∠PCB＝tan∠ACO， ∴，， ∴， 在直角三角形BDE中，由勾股定理得：BE2+DE2＝BD2， ∴BE＝DE＝1， 设CP的解析式为y＝kx+4， 当CP在BC上方时，如图1.1，OE＝OB+BE＝5， ∴D（5，1）， ∴1＝5k+4， 解得：， ∴． 联立得：， 整理得：， 解得：x＝0（不合题意，舍去）或， ∴， ∴； 当CP在BC下方时，如图1.2，OE＝OB﹣BE＝3， ∴D（3，﹣1）， ∴﹣1＝3k+4， 解得：， ∴． 联立得：， 整理得：， 解得：x＝0（不合题意，舍去）或， ∴， ∴， 综上所述，P点的坐标为或； （3）设H（t，n），其中n＝﹣t2﹣2mt+3t﹣m2+3m+4， 对y＝﹣x2﹣（2m﹣3）x﹣m2+3m+4， 令y＝0，则﹣x2﹣（2m﹣3）x﹣m2+3m+4＝0， ∴x2+（2m﹣3）x+m2﹣3m﹣4＝0， ∴（x+m﹣4）（x+m+1）＝0， 解得：x1＝﹣m+4，x2＝﹣m﹣1． 令x＝0，得y＝﹣m2+3m+4， ∵A在B左侧， ∴A（﹣m﹣1，0），B（﹣m+4，0），C（0，﹣m2+3m+4） 设直线AH的解析式为y＝k1x+b1，将点A，点H的坐标分别代入得： ， ②﹣①，得：n＝k1t﹣k1（﹣m﹣1）， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴直线AH的解析式为， 令x＝0，得：， 设直线BH的解析式为y＝k2x+b2，将点B，点H的坐标分别代入得： ， ④﹣③，得：n＝k2t﹣k2（﹣m+4）， 解得：， 把代入③，得， 解得：， ∴直线BH的解析式为， 令x＝0，得：， ∵﹣1＜m＜4， ∴设C的纵坐标为c＝﹣m2+3m+4＝﹣（m﹣4）（m+1）＞0， ∵CM＝|c﹣yM|＝c﹣yM，CN＝|c﹣yN|＝yN﹣c，且CN＝3CM，H在B、C之间， ∴yN﹣c＝3（c﹣yM），即yN+3yM＝4c， ∴， ∴n＝﹣t2﹣（2m﹣3）t﹣m2+3m+4＝﹣（t+m+1）（t+m﹣4）， ∴， ∴﹣（m﹣4）（t+m+1）﹣3（m+1）（t+m﹣4）＝4c， ∴﹣（4m﹣1）t﹣4（m+1）（m﹣4）＝﹣4（m﹣4）（m+1）， ∴﹣（4m﹣1）t＝0， ∵方程对任意t（H运动过程中）恒成立，故含t的系数必须为0， ∴4m﹣1＝0， 解得：， m的值为． 【点评】本题考查了二次函数综合题，待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象和性质、解直角三角形，分类讨论，掌握相关性质是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/10/24 10:19:47；用户：狼的诱惑；邮箱：UID_B6F2C37AC4BC0A081F64DF52B2C648C2@qq.jyeoo.com；学号：24278983 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $