2026-2027学年人教版数学九年级上册期中模拟试卷

2026-2027学年人教版数学九年级上学期 期中模拟试卷 内容：包含九上前四章（一元二次方程、二次函数、反比例函数、旋转） 一、单选题（每题4分） 1．下列数学符号中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点，则下列各点不与该点在同一反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 4．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 5．如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到，当点恰好落在的延长线上时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第7个“龟图”中“〇”的个数为（　　） A．44 B．47 C．50 D．53 7．春节黄金周后，某杂货店生意逐渐转淡，第一天日盈利500元，第三天日盈利405元．若第一天到第三天盈利的日均下降率相同，则这段时间内，该商店每天盈利的下降率为（    ） A． B． C． D． 8．如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图，点E为正方形外一点，连接，连接并延长，与的角平分线交于点F，若，则的长度为（        ） A．8 B．9 C．10 D．11 10．已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题（每题4分） 11．若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值是________． 12．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________． 13．如图，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为________． 14． 若实数，同时满足，，则的值为________ 15． 若一个各个数位都不相同的四位正整数，其千位数字与十位数字之和为10，百位数字与个位数字之和为10，则称这样的四位数为“双十数”．请写出最小的“双十数”______；若m是一个“双十数”，将m的千位数字和十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数n．若是一个完全平方数，则m的最大值是______． 16．如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F..（1）若=,则 ；（2）的最小值为_____________． 三、解答题（第17-18题每题8分，其余每题10分） 17．解下列一元二次方程：(1)； (2)． 18．如图，中，是边上的中线，于点 ， (1)尺规作图：过 作于点，连接（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图形中，求证：四边形是平行四边形． 19．重庆被誉为“最食烟火的人间8D魔幻城市”．为更全面的了解“五一”期间游客对重庆热门景点的游玩满意度，工作人员从多维度设计了满分为100分的问卷，在洪崖洞和磁器口随机采访游客并记录结果．假期结束，工作人员从洪崖洞和磁器口的采访结果中各随机抽取10个数据，并进行整理描述和分析（结果用x表示，共分为四个等级：不满意，比较满意，满意，很满意），下面给出了部分信息： 10名洪崖洞游客的评分结果：76，84，85，87，88，88，88，89，96，99 10名磁器口游客中“满意”等级包含的所有数据为：86，88，89，89，89 抽取的洪崖洞和磁器口游客的游玩满意度统计表 景点满意度 平均数 中位数 众数 洪崖洞 88 88 b 磁器口 88 a 89   根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)若“五一”当天洪崖洞和磁器口的游客分别为3万人和5万人，请你估计“五一”当天有多少万人对这两个景点的满意度为“很满意”； (3)根据以上数据，你认为“五一”当天游客对洪崖洞和磁器口这两个景点的游玩满意度哪一个更高？请说明理由（写出一条理由即可）． 20．先化简，再求值：，其中． 21．如图1，在菱形中，对角线、相交于点O，，，动点P从点A出发，按的顺序运动（不含点A、D），点Q在射线上运动（不含点B），点P、Q同时开始运动，当点P停止运动，点Q同时停止运动．设点P的运动路程为，，连接、，设的面积为，的面积为． (1)直接写出、与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象； (3)结合函数图象，当时，直接写出x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过）． 22．重庆作为山水之城，美丽之地，凭借独一无二的立体城市风貌、两江夜景、特色美食与巴渝文化，持续受到全国游客的青睐．今年国庆，重庆洪崖洞迎来了全国众多游客旅游打卡．洪崖洞一文创店重点推出洪崖洞“浮雕款”和“平面款”冰箱贴，“浮雕款”冰箱贴每个售价是“平面款”冰箱贴每个售价的倍．国庆第一天，“浮雕款”冰箱贴销售额为元，“平面款”冰箱贴销售额为元，且“平面款”冰箱贴比“浮雕款”冰箱贴售出的数量多个． (1)求国庆第一天“浮雕款”冰箱贴、“平面款”冰箱贴每个的售价分别是多少元？ (2)国庆第六天，“浮雕款”冰箱贴每个售价比国庆第一天降低了元，销售数量增加了个；“平面款”冰箱贴每个售价与国庆第一天相同，销量减少了个．已知国庆第六天两款冰箱贴的总销售额与国庆第一天两款冰箱贴的总销售额相等，求的值． 23．小华同学学习函数知识后，对函数通过列表﹣描点﹣连线，画出了如图所示的图象． 请根据图象解答： (1)【观察发现】 ①完成描点，把图象补充完整； ②表格中： ______， ______； ③写出函数的一条性质：______； ④若函数图象上的两点，满足，则．______（填“对或错”） (2)【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n（）个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接，． ①求当时，直线l的解析式和的面积； ②直接用含n的代数式表示的面积．    24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点为直线上方抛物线上的一动点，为y轴上的动点，在的下方，满足，连接，当四边形PCOB面积取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿着射线方向平移个单位长度（即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度）得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为平移后新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 25．在中，，D为平面内一点，连接，以为边作 ，使得，． (1)如图1，点D在内，当点E与点C重合时，，，求△ABC的面积； (2)如图2，，点D在左上方，且B在的延长线上，连接 交于点P，Q为上一点，连接，若，求证： ； (3)如图3，绕点D顺时针旋转恰好与重合，，，连接，点M为线段上靠近E的三等分点，连接，，直线交直线于点N，当面积取最大值时，请直接写出的面积． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年人教版数学九年级上学期 期中模拟试卷 内容：包含九上前四章（一元二次方程、二次函数、反比例函数、旋转） 一、单选题（每题4分） 1．下列数学符号中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．是中心对称图形，故该选项符合题意． 2．已知点，则下列各点不与该点在同一反比例函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ， A、，故选项A不符合题意， B、，故选项B不符合题意， C、，故选项C符合题意， D、，故选项D不符合题意， 故选：C． 3．一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】A 【详解】解：∵中，，，． ∴． ∴方程有两个不相等的实数根． 4．如图，已知抛物线与直线交于，两点，则关于x的不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【详解】∵抛物线与直线交于，， ∴不等式为：或， 故选：． 5．如图，在中，，将绕点顺时针方向旋转得到，当点恰好落在的延长线上时，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由旋转可得，，， ∴，， 即， ∵， ∴, ∴， 故选：． 6．将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第7个“龟图”中“〇”的个数为（　　） A．44 B．47 C．50 D．53 【答案】B 【详解】解：设第n个“龟图”中有个“〇”（n为正整数）． 观察图形，可知：，，，，…， ∴（n为正整数）， ∴． 故选：B． 7．春节黄金周后，某杂货店生意逐渐转淡，第一天日盈利500元，第三天日盈利405元．若第一天到第三天盈利的日均下降率相同，则这段时间内，该商店每天盈利的下降率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：设商店每天盈利的下降率为， 可得， 解得，（舍去）， 即商店每天盈利的下降率是， 8．如图，抛物线与x轴交于点和B，与y轴交于点C．下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∵抛物线的对称轴大于且小于， ∴， ∴， ∴， ∴①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴②错误； ∵抛物线经过点，且开口向上， ∴当时，， ∴当时，， ∴③正确； ∵抛物线经过点， ∴， 又∵， ∴，即， ∴④正确； 综上：正确的结论有2个． 9．如图，点E为正方形外一点，连接，连接并延长，与的角平分线交于点F，若，则的长度为（        ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】解：如图，连接，作于， ∵四边形为正方形，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴． 10．已知整式M：，其中n，，，为自然数，为正整数，且满足，其中表示中最大的数．下列说法： ①满足条件的整式M 中只有4个单项式； ②在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为6； ③当时，满足条件的整式M 共有19个． 其中正确的个数是（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】解：当时，， ∵ ∴； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，，，，，，，； 当时，， ∵， ∴， ∴对应的值为，，，，，，，； 当时， ∵为正整数， ∴，即不满足题意， 综上，满足题意得单项式有，，，，共4个，故①正确； 在所有满足条件的整式M中，整式M 的系数和的最大值为当，对应的值为时，为（或当，对应的值为时），故②正确； 当时，满足条件的整式M 共有个，故③错误； 综上，正确的有2个， 故选：B． 二、填空题（每题4分） 11．若关于的一元二次方程的常数项是0，则的值是________． 【答案】 【详解】解：一元二次方程的常数项是， 由题意，常数项为0， ∴ 解得或． 又∵该方程为一元二次方程， ∴二次项系数，即， ∴． 故答案为：． 12．已知二次函数的部分图象如图所示，则关于的一元二次方程的根为___________． 【答案】， 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，与x轴的一个交点坐标为， ∴二次函数与x轴的另一个交点坐标为， ∵当时，， ∴关于的一元二次方程的根为，． 13．如图，在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，连接，，．若，，则的值为________． 【答案】 【详解】解：如图，过点作轴于点， 设， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵轴于点， ∴设， ∵点位于第二象限， ∴，， ∴， 解得：． 14．若实数，同时满足，，则的值为________ 【答案】 【详解】解： ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， 整理得， 将代入得：， 整理得， ∴， 解得， ∴， 去掉绝对值得， 移项解得，即， 将代入得：， ∴． 15．若一个各个数位都不相同的四位正整数，其千位数字与十位数字之和为10，百位数字与个位数字之和为10，则称这样的四位数为“双十数”．请写出最小的“双十数”______；若m是一个“双十数”，将m的千位数字和十位数字交换位置，百位数字与个位数字交换位置，得到一个新的四位数n．若是一个完全平方数，则m的最大值是______． 【答案】 【详解】解：由“双十数”定义可得最小的“双十数”的千位为，则十位为， 而百位为，则个位为， ∴最小的“双十数”为； 设“双十数”的千位数字为，百位数字为，则十位数字为，个位数字为， ∴， ， ∴， ∵， ∴； ∵是完全平方数，且最大，而，，且，为正整数， ∴， ∵为完全平方数， ∴当最大，则最小，最大，最大， ∴， ∴， ∴当最大时，则， ∴； 故答案为：，； 16．如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，P、Q分别是边、上的动点，且交于点F..（1）若=,则 ；（2）的最小值为_____________． 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）略； （2）如图，过点P作于点M， ∵四边形是正方形 ∴， ∵ ∴四边形是矩形， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵E是的中点 ∴ 将正方形沿翻折得到正方形，连接，过点Q作交于点N，连接 ∴，， 又∵ ∴ ∴ ∵， ∴四边形是平行四边形 ∴， ∴ ∴当点N，Q，E三点共线时，取得最小值，即的长度 ∴ ∵， ∴ ∴的最小值为． 三、解答题（第17-18题每题8分，其余每题10分） 17．解下列一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）解： ∴或 解得，； （2）解： ∴ 解得，． 18．如图，中，是边上的中线，于点 ， (1)尺规作图：过 作于点，连接（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作图形中，求证：四边形是平行四边形． 【详解】（1） （2）证明： ， ． ∵是边上的中线， ∴ ∵在 和 中， ∴． ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形． 19．重庆被誉为“最食烟火的人间8D魔幻城市”．为更全面的了解“五一”期间游客对重庆热门景点的游玩满意度，工作人员从多维度设计了满分为100分的问卷，在洪崖洞和磁器口随机采访游客并记录结果．假期结束，工作人员从洪崖洞和磁器口的采访结果中各随机抽取10个数据，并进行整理描述和分析（结果用x表示，共分为四个等级：不满意，比较满意，满意，很满意），下面给出了部分信息： 10名洪崖洞游客的评分结果：76，84，85，87，88，88，88，89，96，99 10名磁器口游客中“满意”等级包含的所有数据为：86，88，89，89，89 抽取的洪崖洞和磁器口游客的游玩满意度统计表 景点满意度 平均数 中位数 众数 洪崖洞 88 88 b 磁器口 88 a 89    根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：　 　，　 　，　 　； (2)若“五一”当天洪崖洞和磁器口的游客分别为3万人和5万人，请你估计“五一”当天有多少万人对这两个景点的满意度为“很满意”； (3)根据以上数据，你认为“五一”当天游客对洪崖洞和磁器口这两个景点的游玩满意度哪一个更高？请说明理由（写出一条理由即可）． 【答案】(1)89，88，30； (2)2.1 (3)磁器口，理由：磁器口的评分中位数较大（不唯一） 【详解】（1）解：10名洪崖洞游客的评分结果：76，84，85，87，88，88，88，89，96，99， 出现次数最多的是88，出现了三次， ∴众数， 10名磁器口游客中“不满意”和“比较满意”等级均占， ∴（人） 即10名磁器口游客中“不满意”和“比较满意”等级的人数均为1人， 则磁器口游客中“很满意”等级的人数为（人）， 将10名磁器口游客的评分按照从小到大的顺序排列，则中位数为第5和第6位的平均数， 第5和第6位评分分别是89，89， ∴， ，即， 故答案为：89，88，30； （2）解：洪崖洞游客中“很满意”等级的人数所占的百分比为：， 磁器口游客中“很满意”等级的人数所占的百分比为：， （万人），（万人） （万人） 答：“五一”当天有2.1万人对这两个景点的满意度为“很满意”； （3）磁器口，理由：磁器口的评分中位数较大（不唯一）． 20．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【详解】解：原式 ， ∵，代入上式，得． 21．如图1，在菱形中，对角线、相交于点O，，，动点P从点A出发，按的顺序运动（不含点A、D），点Q在射线上运动（不含点B），点P、Q同时开始运动，当点P停止运动，点Q同时停止运动．设点P的运动路程为，，连接、，设的面积为，的面积为． (1)直接写出、与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (2)在平面直角坐标系中，画出和的函数图象； (3)结合函数图象，当时，直接写出x的取值范围（结果保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)；； (2) (3)或． 【详解】（1）解：在菱形中，对角线、相交于点O，，， ，，，， ， 当时，点在上，此时， ； 当时，点在上，此时， ， ； 如图，过点作于点， ， ， ； （2）解： （3）略 22．重庆作为山水之城，美丽之地，凭借独一无二的立体城市风貌、两江夜景、特色美食与巴渝文化，持续受到全国游客的青睐．今年国庆，重庆洪崖洞迎来了全国众多游客旅游打卡．洪崖洞一文创店重点推出洪崖洞“浮雕款”和“平面款”冰箱贴，“浮雕款”冰箱贴每个售价是“平面款”冰箱贴每个售价的倍．国庆第一天，“浮雕款”冰箱贴销售额为元，“平面款”冰箱贴销售额为元，且“平面款”冰箱贴比“浮雕款”冰箱贴售出的数量多个． (1)求国庆第一天“浮雕款”冰箱贴、“平面款”冰箱贴每个的售价分别是多少元？ (2)国庆第六天，“浮雕款”冰箱贴每个售价比国庆第一天降低了元，销售数量增加了个；“平面款”冰箱贴每个售价与国庆第一天相同，销量减少了个．已知国庆第六天两款冰箱贴的总销售额与国庆第一天两款冰箱贴的总销售额相等，求的值． 【答案】(1)“浮雕款”冰箱贴每个售价50元，“平面款”冰箱贴每个售价25元． (2)的值为5． 【详解】（1）解：设国庆第一天“平面款”冰箱贴每个售价为元，则“浮雕款”冰箱贴每个售价为元． 由题意得： 化简得： 解得： 检验：当时，，， 故，是原方程的解． ∴ 答：国庆第一天“浮雕款”冰箱贴每个售价50元，“平面款”冰箱贴每个售价25元． （2）解：国庆第一天“浮雕款”冰箱贴销量为（个），“平面款”冰箱贴销量为（个）． 由题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵ ， ∴ ， 答：的值为5． 23．小华同学学习函数知识后，对函数通过列表﹣描点﹣连线，画出了如图所示的图象． 请根据图象解答： (1)【观察发现】 ①完成描点，把图象补充完整； ②表格中： ______， ______； ③写出函数的一条性质：______； ④若函数图象上的两点，满足，则．______（填“对或错”） (2)【延伸探究】如图2，将过，两点的直线向下平移n（）个单位长度后，得到直线l与函数的图象交于点P，连接，． ①求当时，直线l的解析式和的面积； ②直接用含n的代数式表示的面积．    【答案】(1) ①根据表格描点连线，如图： ②，； ③函数有最大值为4（答案不唯一）； ④错； (2)①，；②． 【详解】（1）解：①略 ②把x，代入函数解析得， ∴； 把代入函数解析式得y， ∴； 故答案为：，； ③由图象知：函数有最大值为4，当时，y随x的增大而增大（答案不唯一）； 故答案为：函数有最大值为4（答案不唯一）； ④观察表格，当时，， ∵， ∴， ∴， ∴不成立； 故答案为：错； （2）解：①设直线的表达式为，则， 解得． ∴直线的表达式为， 当时，直线l的表达式为， 设直线与y轴交于，则的面积的面积， ∴， ∴的面积为；    ②．设直线与轴交于， ∵， ∴的面积的面积，    由题意知，， ∴，∴． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点、点，交y轴于点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)如图，点为直线上方抛物线上的一动点，为y轴上的动点，在的下方，满足，连接，当四边形PCOB面积取最大值时，求点的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿着射线方向平移个单位长度（即向右平移个单位长度，向上平移个单位长度）得到新抛物线，新抛物线的对称轴与轴交于点，点为平移后新抛物线上一动点，当时，请直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的其中一种情况的过程． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)点的坐标为；的最小值为 (3)点的坐标为或 【详解】（1）解：把点、点代入得： ，解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：如图， 抛物线的函数表达式为， 令，得， 点的坐标为， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ， 设点的坐标为， 则点的坐标为， ∵S四边形PCOB=S△BOC+S△BCP，S△BOC为定值 ∴S△BCP取最大值时，四边形PCOB面积才有最大值 ， ， ， ， 当时，四边形PCOB的面积最大，此时点的坐标为． 在上截取，作点关于轴的对称点，连接， 则点的坐标为，点的坐标为，四边形是平行四边形， ,， ， ， 的最小值就是的最小值加上， 当三点在同一直线上时的值最小， 此时，， 的最小值为． （3）解：如图， ， 向右平移个单位，向上平移个单位变为：， 其对称轴为直线，点的坐标为， 过点作轴的垂线，交轴于点，连接， 设点，则，， 点、点， ， ， ， ， ， ， 或， 整理得：或， 或或或， 当点在对称轴左侧时，， 点只能在对称轴的右侧，即， 或， 点的坐标为或． 25．在中，，D为平面内一点，连接，以为边作 ，使得，． (1)如图1，点D在内，当点E与点C重合时，，，，求△ABC的面积； (2)如图2，，点D在左上方，且B在的延长线上，连接 交于点P，Q为上一点，连接，若，求证： ； (3)如图3，绕点D顺时针旋转恰好与重合，，，连接，点M为线段上靠近E的三等分点，连接，，直线交直线于点N，当面积取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点B作交于点M，过点C作交的延长线于点H， ∵，， ∴， 又∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∵， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，即点P为中点， ∴， ∴， 即． (3) 【详解】（1）解：如图，过点D作交于点H， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴设，则， ∴， ∴，即平分， 又∵，， ∴点A，D，H三点共线，则是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴． （2）略 （3）解：由题意知，绕点D顺时针旋转恰好与重合，且始终是顶角为的等腰三角形， ∴如图，始终绕点A旋转，其运动轨迹为圆，此时点M的运动轨迹同样跟随的运动轨迹在变化， 要使的面积取最大值， ∴当与重合时，此时的面积取最大值， 如图，过点A作交的延长线于点K，过点M作交于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，， 又∵是顶角为的等腰三角形， ∴，， ∴， 在中，，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴，即，， ∴，， ∵点M为线段上靠近E的三等分点， ∴， 在中，，由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $