第五章 函数概念与性质 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

苏教版必修第一册　第五章 函数概念与性质　·　拔高版　·　教师版 苏教版高中数学必修第一册　第五章《函数概念与性质》 期中章节复习讲义 · 拔高版（难度系数 0.45）　|　教师版（含解析） 适用范围：5.1 函数的概念和图象，5.2 函数的表示方法，5.3 函数的单调性，5.4 函数的奇偶性。建议用时 100 分钟。 一、知识梳理 本章的主线是“三要素 + 两性质”：定义域、对应关系、值域是函数的存在方式；单调性、奇偶性是函数的图象特征。解题时常用的方法是换元、配凑、分类讨论，以及“定义法证明 + 图象法判断”。 知识点 1　函数的概念与解析式的求法 1．判断同一函数：定义域相同、对应关系相同，二者缺一不可；自变量用哪个字母表示不影响函数本身。 2．求解析式的常用方法：换元法（设 ，解出 再代入）、配凑法（把右边凑成 的式子）、待定系数法（已知函数类型）、方程组法（已知 与 或 的关系）。 3．换元后必须写出新元的取值范围，如令 ，则 ，最终解析式要注明定义域。 4．一次函数设为 （），二次函数设为 （）。 方法提炼： 型求 ，核心是“把右边所有的 都用 表示”，最后把 换成 。 知识点 2　抽象函数的定义域 1． 的定义域指 的取值范围； 的定义域指使 落在 的定义域内的 的取值范围。 2．已知 的定义域为 ，求 的定义域：解不等式 。 3．已知 的定义域为 ，求 的定义域：先求 在 上的值域。 4．多个函数相加时，定义域取各部分定义域的交集。 知识点 3　函数的值域 1．分离常数法： 型先化为“常数 ”，值域为去掉该常数后的全体实数。 2．换元法：含 的函数，令 ，化为二次函数在 上的值域问题。 3．判别式法：分式型 可化为关于 的二次方程，由 求 的范围。 4．基本不等式法：（）型，注意等号能否取到。 知识点 4　分段函数与图象 1．分段函数的本质是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 2．含绝对值的函数： 的图象是把 在 轴下方的部分翻到上方； 的图象是把 的部分沿 轴翻折。 3．分段函数的单调性：既要各段内部单调，还要在分界点处保持“接口”的大小关系一致。 4．解分段不等式（方程）：按段讨论，每段的解必须落在该段范围内。 知识点 5　单调性的证明与含参问题 1．定义法五步：取值、作差、变形、定号、结论。变形时常用因式分解、通分、分子有理化。 2．根式型作差常用分子有理化：。 3．含参单调性： 在 上递增 （用定义转化为 恒成立）。 4．二次函数在给定区间上单调，等价于对称轴不在区间内部（可在端点）。 知识点 6　奇偶性与解析式 1．判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称；不对称即为非奇非偶，无需再算 。 2．已知一侧解析式求另一侧：设 在未知侧，则 在已知侧，利用 转化。 3．若奇函数在 处有定义，则 ，求分段解析式时不可漏掉这一点。 4．含参奇偶性： 为偶函数，则一次项系数 ；定义域关于原点对称也是必要条件。 方法提炼：奇偶性求解析式的三步——设未知侧的 、把 代入已知式、用 反解，最后补上 。 知识点 7　单调性与奇偶性的综合 1．奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反。 2．抽象不等式 ：用奇偶性把 移项为 ，再用单调性“脱去 ”。 3．偶函数的核心结论：，据此可避免按正负分类。 4．“脱去 ”后必须保证自变量都落在定义域内，否则要取交集。 知识点 8　函数性质的综合与抽象函数 1．抽象函数证明奇偶性：令 求 ；令 得 与 的关系。 2．抽象函数证明单调性：设 ，把 写成 的形式，再用已知的符号条件。 3．赋值法是抽象函数的基本功：求 、、 常是解题的第一步。 4．解抽象不等式：先用奇偶性、单调性把不等式化为自变量的不等式，再与定义域取交集。 二、典例精讲（每知识点 2 例 2 变式） 知识点 1　函数的概念与解析式的求法 【例 1】已知 ，求 的解析式。 【解析】设 ，则 。 代入得 。 把 换成 ，得 。 【答案】 【例 2】已知 ，求 的解析式及其定义域。 【解析】设 ，由 得 ，且 ，。 代入得 。 所以 ，定义域为 （换元后新元的范围不能丢）。 【答案】（） 【变式 1】已知 ，求 的解析式。 【解析】因为 ，所以 。 又由基本不等式，，故 ，定义域为 。 【答案】（） 【变式 2】已知 是一次函数，且 ，求 。 【解析】设 （），则 。 比较系数得 且 。 当 时 ，；当 时 ，。 所以 或 。 【答案】 或 知识点 2　抽象函数的定义域 【例 3】已知 的定义域为 ，求 的定义域。 【解析】 中， 相当于 的自变量，必须落在 内。 所以 ，解得 。 即 的定义域为 。 【答案】 【例 4】已知 的定义域为 ，求 的定义域。 【解析】 的定义域指 ，此时 的取值范围是 。 因为 的自变量就是 ，所以 的定义域为 。 【答案】 【变式 3】已知 的定义域为 ，求 的定义域。 【解析】 时，。 所以 的定义域为 。 【答案】 【变式 4】已知 的定义域为 ，求 的定义域。 【解析】需同时满足 与 。 前者得 ，后者得 。 取交集得 ，即定义域为 。 【答案】 知识点 3　函数的值域 【例 5】求函数 的值域。 【解析】分离常数：。 因为 ，所以 。 所以值域为 。 【答案】 【例 6】求函数 的值域。 【解析】令 ，则 ，。 代入得 。 因为 ，当 时取最大值 ，没有最小值。 所以值域为 。 【答案】 【变式 5】求函数 的值域。 【解析】令 ，则 。 代入得 。 该二次函数在 上递增，所以 时取最小值 。 所以值域为 。 【答案】 【变式 6】求函数 的值域。 【解析】因为 ，，由基本不等式 。 当 时取等号，所以值域为 。 【答案】 知识点 4　分段函数与图象 【例 7】已知 （），（），求 ，并解不等式 。 【解析】先算内层：，；再算 ，所以 。 解不等式：当 时，，解得 ；当 时，，即 ，解得 。 所以解集为 。 【答案】；解集 【例 8】已知 ，写出它的单调区间。 【解析】先画 的图象，它在 的部分位于 轴下方。 把位于 轴下方的部分沿 轴翻折，得到 的图象。 由图可得： 在 上递减，在 上递增，在 上递减，在 上递增。 【答案】减区间 、；增区间 、 【变式 7】判断函数 的奇偶性。 【解析】定义域为 ，关于原点对称。 。 所以 是奇函数。 【答案】奇函数 【变式 8】已知 （），（），解方程 。 【解析】当 时，，解得 ，符合 。 当 时，，解得 或 ，其中只有 符合 。 所以方程的解为 或 。 【答案】 或 知识点 5　单调性的证明与含参问题 【例 9】用定义证明：函数 在 上单调递增。 【解析】任取 ，则 （分子有理化）。 因为 ，，所以 ，即 。 所以 在 上单调递增。 【答案】证明见解析 【例 10】已知函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围。 【解析】任取 ，则 。 因为 ，要使 ，需 ，即 对一切 成立。 而 ，故只需 。 所以 的取值范围是 。 【答案】 【变式 9】用定义证明：函数 在 上单调递增。 【解析】任取 ，则 。 因为 ，，所以 ，即 。 所以 在 上单调递增。 【答案】证明见解析 【变式 10】已知函数 在区间 上单调，求实数 的取值范围。 【解析】 的图象开口向上，对称轴为 。 若在 上单调递增，则 ；若单调递减，则 。 所以 或 。 【答案】 或 知识点 6　奇偶性与解析式 【例 11】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 在 上的解析式。 【解析】当 时，由奇函数且 在定义域内，得 。 当 时，，故 。 由 得 。 综上，（）；；（）。 【答案】见解析 【例 12】已知 是定义在 上的偶函数，当 时 ，求 在 上的解析式。 【解析】当 时，，故 。 由偶函数 得 。 所以 （），（）。 【答案】见解析 【变式 11】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 在 上的解析式。 【解析】当 时，。 当 时，，，故 。 所以 （）；；（）。 【答案】见解析 【变式 12】已知 是偶函数，且定义域为 ，求 、 的值。 【解析】偶函数的定义域必须关于原点对称，所以 ，解得 。 此时 。由 得 ，即 。 所以 ，。 【答案】， 知识点 7　单调性与奇偶性的综合 【例 13】已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增。解不等式 。 【解析】由奇函数得 ，所以原不等式化为 。 因为 在 上递增，所以 。 解得 。 【答案】 【例 14】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增。解不等式 。 【解析】由偶函数与单调性， 等价于 。 解得 ，即 。 【答案】 【变式 13】已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增。解不等式 。 【解析】由 在 上递增， 等价于 。 即 ，因式分解得 。 解得 或 。 【答案】 【变式 14】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减。解不等式 。 【解析】由偶函数与单调性， 等价于 。 解得 ，即 。 【答案】 知识点 8　函数性质的综合与抽象函数 【例 15】已知函数 在区间 上单调，求实数 的取值范围。 【解析】 的图象开口向上，对称轴为 。 若在 上单调递增，则 ；若单调递减，则 。 所以 或 。 【答案】 或 【例 16】已知函数 对任意实数 都有 ，且当 时 。 （1）证明： 是奇函数；（2）证明： 在 上单调递减。 【解析】（1）令 ，得 ，故 。 再令 ，得 ，即 ，所以 是奇函数。 （2）任取 ，则 ，故 。 又 ，所以 。 即 ，所以 在 上单调递减。 【答案】证明见解析 【变式 15】已知函数 对任意实数 都有 ，且 ，求 与 。 【解析】。 由 且 ，得 。 【答案】， 【变式 16】已知 是定义在 上的增函数，且对任意 都有 ，。解不等式 。 【解析】由 得 。 又 ，所以原不等式化为 。 因为 在 上递增，所以 ，解得 。 【答案】 三、综合提升 1．已知 ，求 的解析式。 【答案】。【简析】设 ，则 ，代入得 。 2．求函数 的值域。 【答案】。【简析】，因为 ，所以 。 3．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，解不等式 。 【答案】。【简析】当 时 ，得 ；当 时 不满足；当 时 ，即 ，得 。 4．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，。解不等式 。 【答案】。【简析】由偶函数与单调性， 等价于 ，解得 。 5．已知函数 对任意实数 都有 ，且 。求 的值。 【答案】。【简析】由 知 ，故 ，，，和为 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏教版必修第一册　第五章 函数概念与性质　·　拔高版　·　学生版 苏教版高中数学必修第一册　第五章《函数概念与性质》 期中章节复习讲义 · 拔高版（难度系数 0.45）　|　学生版 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿＿＿ 适用范围：5.1 函数的概念和图象，5.2 函数的表示方法，5.3 函数的单调性，5.4 函数的奇偶性。建议用时 100 分钟。 一、知识梳理 本章的主线是“三要素 + 两性质”：定义域、对应关系、值域是函数的存在方式；单调性、奇偶性是函数的图象特征。解题时常用的方法是换元、配凑、分类讨论，以及“定义法证明 + 图象法判断”。 知识点 1　函数的概念与解析式的求法 1．判断同一函数：定义域相同、对应关系相同，二者缺一不可；自变量用哪个字母表示不影响函数本身。 2．求解析式的常用方法：换元法（设 ，解出 再代入）、配凑法（把右边凑成 的式子）、待定系数法（已知函数类型）、方程组法（已知 与 或 的关系）。 3．换元后必须写出新元的取值范围，如令 ，则 ，最终解析式要注明定义域。 4．一次函数设为 （），二次函数设为 （）。 方法提炼： 型求 ，核心是“把右边所有的 都用 表示”，最后把 换成 。 知识点 2　抽象函数的定义域 1． 的定义域指 的取值范围； 的定义域指使 落在 的定义域内的 的取值范围。 2．已知 的定义域为 ，求 的定义域：解不等式 。 3．已知 的定义域为 ，求 的定义域：先求 在 上的值域。 4．多个函数相加时，定义域取各部分定义域的交集。 知识点 3　函数的值域 1．分离常数法： 型先化为“常数 ”，值域为去掉该常数后的全体实数。 2．换元法：含 的函数，令 ，化为二次函数在 上的值域问题。 3．判别式法：分式型 可化为关于 的二次方程，由 求 的范围。 4．基本不等式法：（）型，注意等号能否取到。 知识点 4　分段函数与图象 1．分段函数的本质是一个函数，定义域、值域都是各段的并集。 2．含绝对值的函数： 的图象是把 在 轴下方的部分翻到上方； 的图象是把 的部分沿 轴翻折。 3．分段函数的单调性：既要各段内部单调，还要在分界点处保持“接口”的大小关系一致。 4．解分段不等式（方程）：按段讨论，每段的解必须落在该段范围内。 知识点 5　单调性的证明与含参问题 1．定义法五步：取值、作差、变形、定号、结论。变形时常用因式分解、通分、分子有理化。 2．根式型作差常用分子有理化：。 3．含参单调性： 在 上递增 （用定义转化为 恒成立）。 4．二次函数在给定区间上单调，等价于对称轴不在区间内部（可在端点）。 知识点 6　奇偶性与解析式 1．判断奇偶性先看定义域是否关于原点对称；不对称即为非奇非偶，无需再算 。 2．已知一侧解析式求另一侧：设 在未知侧，则 在已知侧，利用 转化。 3．若奇函数在 处有定义，则 ，求分段解析式时不可漏掉这一点。 4．含参奇偶性： 为偶函数，则一次项系数 ；定义域关于原点对称也是必要条件。 方法提炼：奇偶性求解析式的三步——设未知侧的 、把 代入已知式、用 反解，最后补上 。 知识点 7　单调性与奇偶性的综合 1．奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反。 2．抽象不等式 ：用奇偶性把 移项为 ，再用单调性“脱去 ”。 3．偶函数的核心结论：，据此可避免按正负分类。 4．“脱去 ”后必须保证自变量都落在定义域内，否则要取交集。 知识点 8　函数性质的综合与抽象函数 1．抽象函数证明奇偶性：令 求 ；令 得 与 的关系。 2．抽象函数证明单调性：设 ，把 写成 的形式，再用已知的符号条件。 3．赋值法是抽象函数的基本功：求 、、 常是解题的第一步。 4．解抽象不等式：先用奇偶性、单调性把不等式化为自变量的不等式，再与定义域取交集。 二、典例精讲（每知识点 2 例 2 变式） 知识点 1　函数的概念与解析式的求法 【例 1】已知 ，求 的解析式。 解： 【例 2】已知 ，求 的解析式及其定义域。 解： 【变式 1】已知 ，求 的解析式。 解： 【变式 2】已知 是一次函数，且 ，求 。 解： 知识点 2　抽象函数的定义域 【例 3】已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解： 【例 4】已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解： 【变式 3】已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解： 【变式 4】已知 的定义域为 ，求 的定义域。 解： 知识点 3　函数的值域 【例 5】求函数 的值域。 解： 【例 6】求函数 的值域。 解： 【变式 5】求函数 的值域。 解： 【变式 6】求函数 的值域。 解： 知识点 4　分段函数与图象 【例 7】已知 （），（），求 ，并解不等式 。 解： 【例 8】已知 ，写出它的单调区间。 解： 【变式 7】判断函数 的奇偶性。 解： 【变式 8】已知 （），（），解方程 。 解： 知识点 5　单调性的证明与含参问题 【例 9】用定义证明：函数 在 上单调递增。 解： 【例 10】已知函数 在区间 上单调递增，求实数 的取值范围。 解： 【变式 9】用定义证明：函数 在 上单调递增。 解： 【变式 10】已知函数 在区间 上单调，求实数 的取值范围。 解： 知识点 6　奇偶性与解析式 【例 11】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 在 上的解析式。 解： 【例 12】已知 是定义在 上的偶函数，当 时 ，求 在 上的解析式。 解： 【变式 11】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 在 上的解析式。 解： 【变式 12】已知 是偶函数，且定义域为 ，求 、 的值。 解： 知识点 7　单调性与奇偶性的综合 【例 13】已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增。解不等式 。 解： 【例 14】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增。解不等式 。 解： 【变式 13】已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增。解不等式 。 解： 【变式 14】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减。解不等式 。 解： 知识点 8　函数性质的综合与抽象函数 【例 15】已知函数 在区间 上单调，求实数 的取值范围。 解： 【例 16】已知函数 对任意实数 都有 ，且当 时 。 （1）证明： 是奇函数；（2）证明： 在 上单调递减。 解： 【变式 15】已知函数 对任意实数 都有 ，且 ，求 与 。 解： 【变式 16】已知 是定义在 上的增函数，且对任意 都有 ，。解不等式 。 解： 三、综合提升 1．已知 ，求 的解析式。 2．求函数 的值域。 3．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，解不等式 。 4．已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，。解不等式 。 5．已知函数 对任意实数 都有 ，且 。求 的值。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $