第四章 指数与对数 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

苏教版必修第一册第四章指数与对数·拔高版·学生版 苏教版高中数学必修第一册 第四章《指数与对数》 期中章节复习讲义·拔高版（难度系数0.45) 学生版 班级： 姓名： 得分： 适用范围：4.1指数（根式、分数指数幂、指数幂的运算性质），4.2对数（对数的概念、对数的 运算性质、换底公式)。建议用时100分钟。 一、知识梳理 本章是“运算章”：指数侧的核心是根式与分数指数幂的互化、幂的运算性质；对数侧的 核心是定义（指对互化）、三条运算性质、换底公式。所有复杂的化简题，最终都归结 为“统一形式、合并同类、整体代换”。 知识点1根式与分数指数幂 1.Va的化简必须看n的奇偶：n为奇数时为a;n为偶数时为a。 2.分数指数幂：。=a(a>0),负指数表示倒数，底数必须为正。 3.多重根式由内向外化：如aa先算内层a=a,再合并指数。 4.含字母的化简，若给定字母范围，则绝对值可去掉；未给范围时必须保留绝对值或分类 讨论。 方法提炼：aa这类嵌套结构，一律“从内到外、逐层化成分数指数幂”，每层只做乘法 (指数相加)。 知识点2指数幂的运算与整体代换 1.性质：aa=a, 是=a，af=a,abr-d6(a≥0，b>0). 2.对称结构：a+a与a2+a2x、a3+a3x之间可通过平方、立方关系互相转化。 3.平方若、立方差在指数式中同特适用：矿+w+以-w+ u+y 4.常用代换：令t=a+a,则a2+a2x=t-2,a3x+a3=t2-3t。 知识点3对数的运算性质与化简 1.三条性质：1ogMN=log:M+1og,N:lbg=log:M-lgN:18,Mr=nlo3.M, 第1页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·拔高版·学生版 2.逆用性质：把“和”合成“积”、把“差”合成“商”，是化简lg2+lg2lg5这类式 子的关键。 3.常用恒等：g2+lg5=1:1ogb-loga=1;l1og。b=m1ogb。 4.“同底化”是基本方向：不同底的对数先换成同一底数，再合并。 知识点4换底公式与条件求值 logcb 1.换底公式：l1og。b= logca' 通常取c=10或c=e。 2.连乘型：log。b·logic.loged=logad,链式“约分”。 3.条件求值：把待求式换成与已知相同的底，再用已知量表示；注意log }=-log.b。 4.含两个已知条件时，常把待求真数拆成已知真数的积或商，如28=4×7,35=5×7。 知识点5指对互化与恒等式 1.a=N -b=loga N;al0B.N=N 2,r型聚以r为利时微粉以R,手风，下民网 2.1 3.系数不为1时（如+宁），逐项化为同底对数再合并，观察其是否恰为1g,的某个 整数。 4.解指对混合方程：指数换元后解一元二次，对数方程化为指数式后必须检验定义域。 知识点6对数恒等式的证明 1.证明对数恒等式的通法：设logabi=x,化为a=b,两边取同底对数，解出x。 2.换底公式本身就是这一思想的产物：a'=b→xlog.a=logb。 3.连乘型恒等式：全部换成同一底（如自然对数），分子分母对应约去。 4.书写规范：先设、再化、后算，最后指出各字母的取值范围。 知识点7指数方程与对数方程 1.指数方程：能化为同底的用“同底则指数相等”；不能的用换元t=a(t>0),解一元 二次方程。 2.对数方程：先化为logaf(x=log.gx,再用fx=gx,并检验fx>0、gx>0。 第2页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·拔高版·学生版 3.含对数式相加的方程，先用运算性质合并成单个对数，再化指数式。 4.换元后求出的t必须满足t>0,不符合的根要舍去。 知识点8指数与对数的综合求值 1.条件求值的层次：先由条件确定基本量（如α），再算目标式的各部分，最后合并。 2.分式型目标式：把分子、分母分别用基本量表示，约分后再代入。 3.注意Q>0恒成立，可用于判断取值的正负、舍去不合理的根。 15_1、 4.结果能化简的必须化简（如453），最终答案写成最简形式。 第3页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·拔高版·学生版 二、典例精讲（每知识点2例2变式） 知识点1根式与分数指数幂 【例1】化简x2-4x+4+x+2x+1(x≤-1)。 解： 【例2】化简a2a7(a>0)。 解： 【变式1】已知+a立=3，求+a号的值. 解： 【变式2】化简a+2Va-1(a≥1)。 解： 第4页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·拔高版·学生版 知识点2指数幂的运算与整体代换 3-3 a-a 【例3】化简 （a>0). a-q2 解： 【例4】已知a2x=2+1,求 ax+q3x 的值。 解： 【变式3】已知x>0,且x+x1=3,求x2+x立的值。 解： 【变式4】化简a.a(a>0)。 解： 第5页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·拔高版·学生版 知识点3对数的运算性质与化简 【例5】计算1og25+log425j1og52+log2s4。 解： 【例6】计算lg2+lg2·lg5+lg5。 解： 【变式5】计算 4+1g25 1g2+1g5 解： 【变式6】计算lg2+lg5+2lg2·lg5。 解： 知识点4换底公式与条件求值 【例7】已知lg2=a,求log85(用a表示)。 解： 第6页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·拔高版·学生版 【例8】己知1og147=a,log145=b,求10g3528(用a、b表示)。 解： 【变式7】已知log23=a,求log1218(用a表示)。 解： 【变式8】已知log.bi=logo a(a>0,b>0,a≠b,a≠1，b≠1)，求ab的值。 解： 知识点5指对互化与恒等式 【例9】已知2=3=6，求合+名的值。 解： 第7页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·拔高版·学生版 【例10】已知3=4'=6，求 2+的值。 XV 解： 【变武】已知2=5=10，求的的值。 解： 【变式10】已知l0ga2=m(a>0,a≠1)，求a3m的值。 解： 知识点6对数恒等式的证明 【例11】证明：logb·log.c.log.a=1(a,b,c>0且均不等于1)。 解： 【例12】证明换底公式：1og.60 ·(a>0,a≠1，c>0,c≠1，b>0)。 第8页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·拔高版·学生版 解： 【变式11】证明：logab-log6a=1(a,b>0且均不等于1)。 解： 【变式12】证明：log,b=g1ogb(a>0,a≠1，b>0,n≠0)。 n 解： 知识点7指数方程与对数方程 【例13】解方程log2x2-3x=2。 解： 【例14】解方程4-3·2*+2=0。 解： 第9页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·拔高版·学生版 【变式13】解方程1og2x+1+log2x-1=2。 解： 【变式14】解方程9*-43+3=0。 解： 知识点8指数与对数的综合求值 【例15】已知loga2=m,l0ga3=n(a>0,a≠1)，求a2m+n的值。 解： 例16已知是3，求是+x3的值 x2+x2-2 解： 【变式15】已知10°=2,10°=3，求1020-的值。 第10页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·拔高版·学生版 解： 【变式16】已知log23=a,求22a+1的值。 解： 第11页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·拔高版·学生版 三、综合提升 1.已知a+a=4,求a+a是的值。 2.计算log23·log34~log45·log58。 3.已知log23=a,log37=b,求1og4256(用a、b表示)。 4.解方程log24+3=x+2。 5.已知2+2'=3，求8+8x的值。 第12页苏教版必修第一册　第四章 指数与对数　·　拔高版　·　教师版 苏教版高中数学必修第一册　第四章《指数与对数》 期中章节复习讲义 · 拔高版（难度系数 0.45）　|　教师版（含解析） 适用范围：4.1 指数（根式、分数指数幂、指数幂的运算性质），4.2 对数（对数的概念、对数的运算性质、换底公式）。建议用时 100 分钟。 一、知识梳理 本章是“运算章”：指数侧的核心是根式与分数指数幂的互化、幂的运算性质；对数侧的核心是定义（指对互化）、三条运算性质、换底公式。所有复杂的化简题，最终都归结为“统一形式、合并同类、整体代换”。 知识点 1　根式与分数指数幂 1． 的化简必须看 的奇偶： 为奇数时为 ； 为偶数时为 。 2．分数指数幂：（），负指数表示倒数，底数必须为正。 3．多重根式由内向外化：如 先算内层 ，再合并指数。 4．含字母的化简，若给定字母范围，则绝对值可去掉；未给范围时必须保留绝对值或分类讨论。 方法提炼： 这类嵌套结构，一律“从内到外、逐层化成分数指数幂”，每层只做乘法（指数相加）。 知识点 2　指数幂的运算与整体代换 1．性质：，，，（）。 2．对称结构： 与 、 之间可通过平方、立方关系互相转化。 3．平方差、立方差在指数式中同样适用：，。 4．常用代换：令 ，则 ，。 知识点 3　对数的运算性质与化简 1．三条性质：；；。 2．逆用性质：把“和”合成“积”、把“差”合成“商”，是化简 这类式子的关键。 3．常用恒等：；；。 4．“同底化”是基本方向：不同底的对数先换成同一底数，再合并。 知识点 4　换底公式与条件求值 1．换底公式：，通常取 或 。 2．连乘型：，链式“约分”。 3．条件求值：把待求式换成与已知相同的底，再用已知量表示；注意 。 4．含两个已知条件时，常把待求真数拆成已知真数的积或商，如 ，。 知识点 5　指对互化与恒等式 1．；。 2． 型：取以 为底的对数得 ，，于是 。 3．系数不为 时（如 ），逐项化为同底对数再合并，观察其是否恰为 的某个整数。 4．解指对混合方程：指数换元后解一元二次，对数方程化为指数式后必须检验定义域。 知识点 6　对数恒等式的证明 1．证明对数恒等式的通法：设 ，化为 ，两边取同底对数，解出 。 2．换底公式本身就是这一思想的产物：。 3．连乘型恒等式：全部换成同一底（如自然对数），分子分母对应约去。 4．书写规范：先设、再化、后算，最后指出各字母的取值范围。 知识点 7　指数方程与对数方程 1．指数方程：能化为同底的用“同底则指数相等”；不能的用换元 （），解一元二次方程。 2．对数方程：先化为 ，再用 ，并检验 、。 3．含对数式相加的方程，先用运算性质合并成单个对数，再化指数式。 4．换元后求出的 必须满足 ，不符合的根要舍去。 知识点 8　指数与对数的综合求值 1．条件求值的层次：先由条件确定基本量（如 ），再算目标式的各部分，最后合并。 2．分式型目标式：把分子、分母分别用基本量表示，约分后再代入。 3．注意 恒成立，可用于判断取值的正负、舍去不合理的根。 4．结果能化简的必须化简（如 ），最终答案写成最简形式。 二、典例精讲（每知识点 2 例 2 变式） 知识点 1　根式与分数指数幂 【例 1】化简 （）。 【解析】两个根号内都是完全平方式：，。 所以原式 。 因为 ，所以 ，，故 ，。 所以原式 。 【答案】 【例 2】化简 （）。 【解析】由内向外：。 于是 。 再开三次方：，即 。 【答案】 【变式 1】已知 ，求 的值。 【解析】设 ，，则 ，。 。 所以 。 【答案】 【变式 2】化简 （）。 【解析】把被开方式配方：。 所以原式 。因为 ，所以 。 故原式 。 【答案】 知识点 2　指数幂的运算与整体代换 【例 3】化简 （）。 【解析】设 ，，则 ，分子为 ，分母为 。 由立方差公式，。 所以原式 。 【答案】 【例 4】已知 ，求 的值。 【解析】设 ，，则 ，且 ，从而 。 由立方和公式，。 代入得原式 。 【答案】 【变式 3】已知 ，且 ，求 的值。 【解析】设 （），平方得 。 所以 ，即 。 【答案】 【变式 4】化简 （）。 【解析】化为分数指数幂：，。 相乘得 。 再乘方：。 【答案】 知识点 3　对数的运算性质与化简 【例 5】计算 。 【解析】由 得 ，。 所以原式 。 又 ，故原式 。 【答案】 【例 6】计算 。 【解析】前两项提取公因式 ：。 因为 ，所以前两项之和为 。 所以原式 。 【答案】 【变式 5】计算 。 【解析】分子：。分母：。 所以原式 。 【答案】 【变式 6】计算 。 【解析】原式即为完全平方式 。 因为 ，所以原式 。 【答案】 知识点 4　换底公式与条件求值 【例 7】已知 ，求 （用 表示）。 【解析】由换底公式，。 ；。 所以 。 【答案】 【例 8】已知 ，，求 （用 、 表示）。 【解析】由换底公式，。 分母：。 分子：。又 ，故 ，即分子 。 所以 。 【答案】 【变式 7】已知 ，求 （用 表示）。 【解析】。 分子：。 分母：。 所以 。 【答案】 【变式 8】已知 （，，，，），求 的值。 【解析】由换底公式 ，代入条件得 。 所以 ， 或 。 若 ，则 ，与 矛盾；故 ，即 ，所以 。 【答案】 知识点 5　指对互化与恒等式 【例 9】已知 ，求 的值。 【解析】由 得 ；由 得 。 所以 。 【答案】 【例 10】已知 ，求 的值。 【解析】由 得 ，所以 。 由 得 。 所以 。 【答案】 【变式 9】已知 ，求 的值。 【解析】。 由 得 ；由 得 。 所以原式 。 【答案】 【变式 10】已知 （，），求 的值。 【解析】由 得 。 所以 。 【答案】 知识点 6　对数恒等式的证明 【例 11】证明：（ 且均不等于 ）。 【解析】由换底公式，把三个对数都换成以 为底的自然对数： ，，。 三式相乘，分子分母逐一约去，得原式 。 【答案】证明见解析 【例 12】证明换底公式：（）。 【解析】设 ，则 。 两边取以 为底的对数，得 ，即 。 因为 ，所以 ，于是 ，即 。 【答案】证明见解析 【变式 11】证明：（ 且均不等于 ）。 【解析】由换底公式，，。 两式相乘得 ，即 。 【答案】证明见解析 【变式 12】证明：（，，，）。 【解析】由换底公式，。 【答案】证明见解析 知识点 7　指数方程与对数方程 【例 13】解方程 。 【解析】化为指数式：，即 。 因式分解得 ， 或 。 检验： 时 ； 时 。两者均满足真数为正。 所以原方程的解为 或 。 【答案】 或 【例 14】解方程 。 【解析】令 （），则 ，原方程化为 。 解得 或 ，均满足 。 由 得 ；由 得 。 所以原方程的解为 或 。 【答案】 或 【变式 13】解方程 。 【解析】由运算性质合并：，即 。 解得 ， 或 。 检验：需 且 ，即 ，故 舍去。 所以原方程的解为 。 【答案】 【变式 14】解方程 。 【解析】令 （），则 ，原方程化为 。 解得 或 ，均满足 。 由 得 ；由 得 。 所以原方程的解为 或 。 【答案】 或 知识点 8　指数与对数的综合求值 【例 15】已知 ，（，），求 的值。 【解析】由 得 ，所以 ；由 得 。 所以 。 【答案】 【例 16】已知 ，求 的值。 【解析】由 得 ，即 。 于是 。 又 。 所以原式 。 【答案】 【变式 15】已知 ，，求 的值。 【解析】，。 所以 。 【答案】 【变式 16】已知 ，求 的值。 【解析】由 得 ，所以 。 所以 。 【答案】 三、综合提升 1．已知 ，求 的值。 【答案】。【简析】设 ，则 ，，故 。 2．计算 。 【答案】。【简析】由链式约分，原式 。也可逐项换底：。 3．已知 ，，求 （用 、 表示）。 【答案】。【简析】由换底公式，。分子 ；分母 。分子分母同乘 得 。 4．解方程 。 【答案】 或 。【简析】化为指数式得 。令 ，得 ， 或 ，均满足 。故 或 ，即 或 。 5．已知 ，求 的值。 【答案】。【简析】设 ，则 ，，故 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $