第三章 不等式 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

苏教版必修第一册　第三章 不等式　·　拔高版　·　教师版 苏教版高中数学必修第一册　第三章《不等式》 期中章节复习讲义 · 拔高版（难度系数 0.45）　|　教师版（含解析） 适用范围：3.1 不等式的基本性质，3.2 基本不等式，3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式。建议用时 100 分钟。 一、知识梳理 本章有两条主线：一是“大小关系”（性质、比较、范围），二是“最值”（基本不等式）。前者靠作差与性质变形，后者靠“一正二定三相等”。一元二次不等式则把方程、函数、不等式三者串起来，是数形结合的典型载体。 知识点 1　不等式的基本性质与比较大小 1．比较大小的依据：；；。 2．作差法的关键是变形：因式分解、配方、通分，把差化成若干个“符号确定”的因式之积或平方和。 3．作商法：当 时，，适用于两边均为正且含乘除结构的式子。 4．性质：；；；；。 方法提炼：含多个变量的差式，常配成 这类“非负项之和”，一步定号。 知识点 2　不等式的性质应用（范围与最值） 1．求组合式的范围：设目标式 ，用待定系数法求出 ，再用同向可加。 2．切忌“先求各量的范围再直接运算”：如由 、 直接相加减会扩大范围。 3．求商的范围要先确定分母的符号，再取倒数（不等号方向可能改变）。 4．根与系数的关系是“解集—系数”互推的桥梁，使用时先由解集形式判断二次项系数的符号。 知识点 3　基本不等式的证明与应用 1．基本不等式： 时 ，当且仅当 取等。等价形式 （，当且仅当 取等）。 2．证明不等式的常用手段：作差配方、基本不等式、以及“”这类对称式。 3．对称式 。 4．使用基本不等式必须验证“一正、二定、三相等”，等号取不到时要改用单调性求最值。 知识点 4　基本不等式求最值（代换与配凑） 1．“1”的代换：已知 ，求 的最小值，把目标式乘以条件式（值为 ），展开后用基本不等式。 2．配凑：； 求 时，把 写成 ，使和为定值。 3．取倒数：，把分式最值转化为和的最值。 4．多次使用基本不等式时，必须保证各次等号能同时成立，否则结论不成立。 知识点 5　含参一元二次不等式的解法 1．先因式分解，把不等式化为 （或 ）的形式，再按两根的大小分类讨论。 2．分类标准：两根相等（解集为 或 ）、一根大于另一根（两种顺序）。 3．二次项系数含参时，先讨论系数为 、为正、为负三种情形，再讨论判别式。 4．结论要按参数的不同取值分段写出，不能合并的要分开写。 知识点 6　由解集反求参数 1．若 的解集为 ，则 ， 为方程的两根。 2．若 的解集为 ，则 ， 为方程的两根。 3．求出系数后代回原不等式检验，或直接验证端点是否满足“取不到/取得到”。 4．解集为 、 的情形分别对应 与开口方向的组合，要单独记忆。 知识点 7　恒成立与存在性问题 1．：二次函数需开口向上且 （ 单独讨论）。 2．区间上恒成立：分离参数得 或 ，再用单调性或基本不等式求最值。 3．存在性：；。 4．“恒成立”与“存在”是互为否定的一对，可用“求补集”的方法互相转化。 知识点 8　不等式的综合应用 1．实际应用题的建模步骤：设变量→列函数关系→确定定义域→用基本不等式或二次函数求最值→回答实际问题。 2．用基本不等式求最值时，必须验证等号能否在定义域内取到；取不到时改用函数单调性。 3．“和定积最大、积定和最小”是建模时选择变形的依据。 4．含两个变量的最值问题，常用“消元”或“整体代换”化为一元问题。 二、典例精讲（每知识点 2 例 2 变式） 知识点 1　不等式的基本性质与比较大小 【例 1】比较 与 的大小。 【解析】作差：。 因为平方均非负，所以该差 ，即 。 当且仅当 时取等号。 【答案】（ 时取等） 【例 2】已知 ，比较 与 的大小。 【解析】作差：。 又 ，且 。 所以差 ，即 ，当且仅当 时取等号。 【答案】（ 时取等） 【变式 1】比较 与 的大小。 【解析】作差：。 因为 ，，所以差 。 即 ，当且仅当 时取等号。 【答案】（ 时取等） 【变式 2】已知 ，比较 、、 的大小。 【解析】因为 ，两边同乘 得 。 又因为 ，两边同除以 得 ，而 。 所以 。 【答案】 知识点 2　不等式的性质应用（范围与最值） 【例 3】已知 ，，求 的取值范围。 【解析】设 ，比较系数得 ，，解得 ，。 由 得 ；由 得 。 两式相加得 。 【答案】 【例 4】已知 ，，求 的取值范围。 【解析】由 得 。 由 得 。 两式相加得 。 【答案】 【变式 3】已知 ，，求 的取值范围。 【解析】由 得 。 又 ，三个量均为正，由同向同正可乘得 。 【答案】 【变式 4】已知 ，，且 ，求 的最大值，并求 的最小值。 【解析】（1）由 ，当且仅当 时取等号，所以 的最大值为 。 （2）。由 得 ，当且仅当 时取等号。 所以 的最小值为 。 【答案】 最大值 ； 最小值 知识点 3　基本不等式的证明与应用 【例 5】证明：对任意实数 ，都有 ，并指出等号成立的条件。 【解析】作差：。 因为任何实数的平方非负，所以 ，即 。 当且仅当 ，即 时取等号。 【答案】证明见解析， 时取等 【例 6】已知 ，，证明：。 【解析】展开得 。 由基本不等式，。 所以原式 ，当且仅当 时取等号。 【答案】证明见解析 【变式 5】已知 ，证明：。 【解析】因为 ，所以 。 。 当且仅当 ，即 时取等号。 【答案】证明见解析 【变式 6】证明：对任意实数 ，都有 。 【解析】作差：。 因为三个平方均非负，所以差 ，不等式成立。 当且仅当 时取等号。 【答案】证明见解析 知识点 4　基本不等式求最值（代换与配凑） 【例 7】已知 ，，且 ，求 的最小值。 【解析】因为 ，所以 。 由基本不等式，。 所以原式 ，当且仅当 时取等号。 结合 得 ，等号可以取到，故最小值为 。 【答案】最小值为 【例 8】已知 ，，且 ，求 的最大值。 【解析】。 当且仅当 ，即 ， 时取等号。 所以 的最大值为 。 【答案】最大值为 【变式 7】已知 ，，且 ，求 的最小值。 【解析】。 由基本不等式，。 所以 ，当且仅当 时取等号，代入条件得 ，，等号可以取到。 最小值为 。 【答案】最小值为 【变式 8】已知 ，求 的最小值。 【解析】因为 ，所以 。 。 当且仅当 ，即 时取等号，最小值为 。 【答案】最小值为 知识点 5　含参一元二次不等式的解法 【例 9】解关于 的不等式 （）。 【解析】因式分解得 ，两根为 和 ，按两根大小分类讨论。 （1）当 时，解集为 。 （2）当 时，不等式化为 ，解集为 。 （3）当 时，解集为 。 【答案】 时 ； 时 ； 时 【例 10】解关于 的不等式 （）。 【解析】因式分解得 ，即 ，两根为 和 。 （1）当 时，，解集为 。 （2）当 时，不等式化为 ，解集为 。 （3）当 时，，解集为 。 【答案】 时 ； 时 ； 时 【变式 9】解关于 的不等式 。 【解析】配方得 ，即 ，因式分解得 。 两根为 与 ，且 恒成立。 所以解集为 。 【答案】 【变式 10】解关于 的不等式 （）。 【解析】因式分解得 ，两根为 和 。 （1）当 时，解集为 。 （2）当 时，不等式化为 ，解集为 。 （3）当 时，解集为 。 【答案】 时 ； 时 ； 时 知识点 6　由解集反求参数 【例 11】已知不等式 的解集为 ，求不等式 的解集。 【解析】由解集是“两根之间”知 ，且 、 是方程 的两根。 由根与系数的关系：，即 ；，即 。 不等式 两边同除以 ，得 。 代入得 ，两边同乘 得 ，解得 。 所以解集为 。 【答案】 【例 12】已知不等式 的解集为 ，求 、 的值。 【解析】由解集是“两根之间”知 ，且 、 是方程 的两根。 由根与系数的关系：，得 。 又 ，即 ，得 。 检验： 即 ，，解集为 ，符合题意。 【答案】， 【变式 11】已知不等式 的解集为 ，求 、 的值。 【解析】由解集是“两根之外”知二次项系数 符合，且 、 是方程 的两根。 由根与系数的关系：，。 所以 ，。 【答案】， 【变式 12】已知关于 的不等式 的解集为空集，求实数 的取值范围。 【解析】二次项系数 ，抛物线开口向上。要使不等式 的解集为空集，需函数图象与 轴无公共点。 即 ，解得 。 【答案】 知识点 7　恒成立与存在性问题 【例 13】已知不等式 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围。 【解析】二次项系数 ，只需 。 ，解得 。 【答案】 【例 14】已知不等式 对一切 都成立，求实数 的取值范围。 【解析】由 ，把不等式变形为 ，对一切 成立，故 。 令 ，。由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，且 。 所以 的最小值为 ，故 ，即 。 【答案】 【变式 13】若存在 ，使不等式 成立，求实数 的取值范围。 【解析】由 ，不等式化为 在 上有解，故 。 由例 14 知最小值为 （ 时取到），所以 ，即 。 【答案】 【变式 14】已知不等式 对一切 都成立，求实数 的取值范围。 【解析】由 ，不等式化为 ，对一切 成立。 由基本不等式 （ 时取等号），所以 。 要使 不小于左边的最大值，只需 。 【答案】 知识点 8　不等式的综合应用 【例 15】某工厂要建造一个长方体无盖水池，容积为 立方米，深 米。池底每平方米造价 元，池壁每平方米造价 元。求水池的最低总造价。 【解析】设池底的一边长为 米，则另一边长为 米（）。 池底面积为 平方米，池壁面积为 平方米。 总造价 。 由基本不等式，，当且仅当 时取等号。 所以 （元），即最低总造价为 元。 【答案】 元 【例 16】已知 ，，且 ，求 的最小值。 【解析】展开得 。 又 。 所以原式 。令 ，由 得 。 设 ，对 ，有 。因为 ，所以 ，又 ，故 ，即 在 上递减。 所以当 （即 ）时，原式取最小值 。 【答案】最小值为 【变式 15】已知 ，，且 ，求 的最小值。 【解析】。 由基本不等式，。 所以原式 ，当且仅当 时取等号。 最小值为 。 【答案】最小值为 【变式 16】已知 ，求 的最小值。 【解析】。 由基本不等式，，当且仅当 时取等号。 所以 ，最小值为 。 【答案】最小值为 三、综合提升 1．已知 ，，且 ，求 的最小值。 【答案】。【简析】。由 得 ，故原式 ，当 时取等号。 2．已知关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围。 【答案】 或 。【简析】解集非空等价于方程有实根，即 ，整理得 ，解得 或 。 3．已知 ，，且 ，求 的最小值。 【答案】。【简析】，当且仅当 ，即 时取等号。 4．某工厂要建造一个长方体无盖水池，容积为 立方米，深 米。池底每平方米造价 元，池壁每平方米造价 元。求水池的最低总造价。 【答案】 元。【简析】设池底一边长为 米，则另一边为 米。总造价 ，当 时取等号。 5．已知函数 ，若对一切 都有 ，求实数 的取值范围。 【答案】。【简析】由 得 对一切 成立，故 。函数 在 上递减、在 上递增，故最小值为 ，所以 ，即 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏教版必修第一册第三章不等式·拔高版·学生版 苏教版高中数学必修第一册 第三章《不等式》 期中章节复习讲义·拔高版（难度系数0.45）」学生版 班级： 姓名： 得分： 适用范围：3.1不等式的基本性质，3.2基本不等式，3.3从函数观点看一元二次方程和一元二次不 等式。建议用时100分钟。 一、知识梳理 本章有两条主线：一是“大小关系”（性质、比较、范围），二是“最值”（基本不等 式)。前者靠作差与性质变形，后者靠“一正二定三相等”。一元二次不等式则把方程、 函数、不等式三者串起来，是数形结合的典型载体。 知识点1不等式的基本性质与比较大小 1.比较大小的依据：a-b>0=a>b;a-b=0=a=b;a-b<0a<b。 2.作差法的关键是变形：因式分解、配方、通分，把差化成若干个“符号确定”的因式之 积或平方和。 ).作商法：当b>0时，号>1~a>b,适用于两边均为正且含乘除结构的式子。 4.性质：a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc;a>b>0,c>d>0→ac>bd: a>b>0→a>ba>b>0=1<1 ab。 方法提炼：含多个变量的差式，常配成引a-b+b-c+c-a)这类“非负项之和”，一步 定号。 知识点2不等式的性质应用（范围与最值） 1.求组合式的范围：设目标式=m:已知式，+n已知式2，用待定系数法求出m,n,再 用同向可加。 2.切忌“先求各量的范围再直接运算”：如由1≤a+b≤3、-1≤a-b≤1直接相加减会扩 大范围。 3.求商的范围要先确定分母的符号，再取倒数（不等号方向可能改变）。 第1页 苏教版必修第一册第三章不等式·拔高版·学生版 4.根与系数的关系是“解集一系数”互推的桥梁，使用时先由解集形式判断二次项系数的 符号。 知识点3基本不等式的证明与应用 1.基本不等式：a>0,b>0时ab≤艺，当且仅当a=b取等。等价形式0+b≥2b( a,b∈R,当且仅当a=b取等)。 2.证明不等式的常用手段：作差配方、基本不等式、以及“a+b2+c2≥ab+bc+ca”这类 对称式。 3.对称式a+b+c2-ab-bc-ca引la-bP+b-cf+c-a≥0。 4.使用基本不等式必须验证“一正、二定、三相等”，等号取不到时要改用单调性求最 值。 知识点4基本不等式求最值（代换与配凑） 1.“1的代换：已知文号，求mx+w的最小值，拒甘标式乘以条件式（值为）， 展开后用基本不等式。 2.配凑：x+大=x-1+冬+1：2x+y=1求y时，把y写成2xy,使和为 X-1 x-1 定值。 1 3。取倒数：X+1x+工，把分式最值转化为和的最值。 X 4.多次使用基本不等式时，必须保证各次等号能同时成立，否则结论不成立。 知识点5含参一元二次不等式的解法 1.先因式分解，把不等式化为x-xx-x2<0(或>0)的形式，再按两根的大小分类 讨论。 2.分类标准：两根相等（解集为0或R)、一根大于另一根（两种顺序）。 3.二次项系数含参时，先讨论系数为0、为正、为负三种情形，再讨论判别式。 4.结论要按参数的不同取值分段写出，不能合并的要分开写。 第2页 苏教版必修第一册第三章不等式·拔高版·学生版 知识点6由解集反求参数 1.若ax2+bx+c>0的解集为{x|m<x<n},则a<0,m,n为方程的两根。 2.若ax2+bx+c>0的解集为{x|x<m或x>n},则a>0,m,n为方程的两根。 3.求出系数后代回原不等式检验，或直接验证端点是否满足“取不到/取得到”。 4.解集为②、R的情形分别对应△<0与开口方向的组合，要单独记忆。 知识点7恒成立与存在性问题 1.Vx∈R,f引x>0:二次函数需开口向上且△<0(a=0单独讨论)。 2.区间上恒成立：分离参数得a≤xmin或a≥gxm,再用单调性或基本不等式求最 值。 3.存在性：x∈D,fx>aa<F(x)maxi;3x∈D,fx<aa>fxmn。 4.“恒成立”与“存在”是互为否定的一对，可用“求补集”的方法互相转化。 知识点8不等式的综合应用 1.实际应用题的建模步骤：设变量→列函数关系→确定定义域→用基本不等式或二次函数 求最值→回答实际问题。 2.用基本不等式求最值时，必须验证等号能否在定义域内取到；取不到时改用函数单调 性。 3.“和定积最大、积定和最小”是建模时选择变形的依据。 4.含两个变量的最值问题，常用“消元”或“整体代换”化为一元问题。 第3页 苏教版必修第一册第三章不等式·拔高版·学生版 二、典例精讲（每知识点2例2变式） 知识点1不等式的基本性质与比较大小 【例1】比较a2+b2+c2与ab+bc+ca的大小。 解： 【例2】已知a,b∈R,比较a4+b4与a3b+ab3的大小。 解： 【变式1】比较x+1与x+x2的大小。 解： 【变式2】已知0<x<1,比较X、X、文的大小. 解： 第4页 苏教版必修第一册第三章不等式·拔高版·学生版 知识点2不等式的性质应用（范围与最值） 【例3】已知1≤a+b≤3，-1≤a-b≤1，求3a+2b的取值范围。 解： 【例4】已知-1≤a≤2,1≤b≤3，求2a-b的取值范围。 解： 【变式3】已知1≤a≤2,2≤b≤3，求号 的取值范围。 解： 1.1 【变式4】已知a>0,b>0,且a+b=2,求b的最大值，并求a+6的最小值。 解： 知识点3基本不等式的证明与应用 【例5】证明：对任意实数a,b,都有a+b≥2ab,并指出等号成立的条件。 第5页 苏教版必修第一册第三章不等式·拔高版·学生版 解： 【例6】已知a>0,b>0,证明：a+b仁+≥ 解： 【变式5】已知a>1,证明：a+g3. 解： 【变式6】证明：对任意实数a,b,c,都有a+b+c2≥ab+bc+ca。 解： 知识点4基本不等式求最值（代换与配凑） 1+的最小值。 【例7】已知x>0,y>0,且x+2y=1,求x+y 解： 第6页 苏教版必修第一册第三章不等式·拔高版·学生版 【例8】已知x>0,y>0,且2x+y=1,求y的最大值。 解： 【变式】已短0，y少0，且支号L求+y俗最小值， 解： 【变式8】已知X1,求X+X的最小值， 解： 知识点5含参一元二次不等式的解法 【例9】解关于x的不等式x-a+1x+a<0(a∈R)。 解： 第7页 苏教版必修第一册第三章不等式·拔高版·学生版 【例10】解关于x的不等式ax2-a+1x+1<0(a>0)。 解： 【变式9】解关于x的不等式x-2ax+a-1<0。 解： 【变式10】解关于x的不等式x+1-ax-a<0(a∈R)。 解： 知识点6由解集反求参数 【例1】已知不等式ax2+bx+c>0的解集为x号x引， 求不等式cx2+bx+a>0的 解集。 解： 第8页 苏教版必修第一册第三章不等式·拔高版·学生版 【例12】已知不等式ax2+bx+1>0的解集为 x-1<x 求a、b的值。 解： 【变式11】已知不等式x2+mx+n>0的解集为{x|x<-1或x>2},求m、n的值。 解： 【变式12】已知关于x的不等式x-ax+4≤0的解集为空集，求实数a的取值范围。 解： 知识点7恒成立与存在性问题 【例13】已知不等式x-2ax+4>0对一切实数x都成立，求实数a的取值范围。 解： 【例14】已知不等式x2-2ax+4>0对一切x∈1,3)都成立，求实数a的取值范围。 解： 第9页 苏教版必修第一册第三章不等式·拔高版·学生版 【变式13】若存在x∈|1,3，使不等式x2-2ax+4<0成立，求实数a的取值范围。 解： 【变式14】已知不等式x+ax+1≥0对一切x∈(0,2]都成立，求实数a的取值范围。 解： 知识点8不等式的综合应用 【例15】某工厂要建造一个长方体无盖水池，容积为4800立方米，深3米。池底每平 方米造价150元，池壁每平方米造价120元。求水池的最低总造价。 解： 【例16】已知a>0,b>0,且a+b=1,求Q+日6+号 的最小值。 解： 第10页 苏教版必修第一册第三章不等式·拔高版·学生版 【变式15】已知x>0,y>0,且x+2y=3,求+日的最小值。 X V 解： 【变式16】已知X>0,求y=+3x+的最小值。 X 解： 三、综合提升 1.已知x0,y0,且x+y=1求有的最小值 2.已知关于x的不等式x-2ax+a+2≤0的解集非空，求实数a的取值范围。 第11页 苏教版必修第一册第三章不等式·拔高版·学生版 1.2 3.已知x>0,y>0,且2x+y=1,求xy的最小值。 4.某工厂要建造一个长方体无盖水池，容积为4800立方米，深3米。池底每平方米造 价150元，池壁每平方米造价120元。求水池的最低总造价。 5.已知函数fx=x2-2ax+3,若对一切x∈1,2都有fx≥0，求实数a的取值范 围。 第12页