第五章 函数概念与性质 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

苏教版必修第一册　第五章 函数概念与性质　·　基础版　·　学生版 苏教版高中数学必修第一册　第五章《函数概念与性质》 期中章节复习讲义 · 基础版（难度系数 0.60）　|　学生版 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿＿＿ 适用范围：5.1 函数的概念和图象，5.2 函数的表示方法，5.3 函数的单调性，5.4 函数的奇偶性。题目载体限于必修第一册第 1—5 章（集合、常用逻辑用语、不等式、指数与对数），不涉及第 6 章幂函数、指数函数、对数函数的内容。共 8 个知识点，每知识点配 2 道例题与 2 道变式，另设 6 道课后巩固。建议用时 90 分钟。 一、知识梳理 知识点 1　函数的概念与同一函数的判断 1．函数的定义：设 、 是非空的实数集，如果按照某种对应法则 ，对于 中的任意一个数 ，在 中都有唯一确定的数 与之对应，则称 为从 到 的函数，记作 ，。 2．函数的三要素：定义域、对应关系、值域。其中定义域与对应关系确定后，值域随之确定，所以判断两个函数是否相同，只需看定义域与对应关系是否都相同。 3． 是一个整体记号，表示“ 在法则 下的函数值”，不是 与 的乘积。 4．常见对应关系的表达：； 表示把 代入法则 ； 表示先算内层再代入。 易错提醒：判断同一函数时，先看定义域。 与 的定义域不同，不是同一函数。 知识点 2　函数的定义域 1．求定义域的依据：分式的分母不为 ；偶次根式的被开方数不小于 ；零次幂与负指数幂的底数不为 ；实际问题还要符合实际意义。 2．若解析式由几部分组成，则定义域是各部分取值范围的交集。 3．常见模型： 的定义域为 ； 的定义域为 。 4．含二次根式的定义域常转化为解一元二次不等式，如 需 。 方法提炼：定义域一律写成集合或不等式的形式，最后要检查端点能否取到。 知识点 3　函数的值与值域 1．求函数值：把自变量的值代入解析式，注意分段函数要先判断自变量落在哪一段。 2．二次函数的值域用配方法：，结合开口方向与自变量范围确定最值。 3．若定义域受限制，最大值、最小值可能在端点或顶点处取得，必须逐一比较。 4．形如 （）的值域用基本不等式，最小值为 。 易错提醒：求值域前必须先确定定义域。如 在 上值域为 ，在 上值域为 。 知识点 4　函数的表示方法与分段函数 1．三种表示方法：解析法、列表法、图象法。解析法精确，图象法直观，列表法适用于离散数据。 2．分段函数：在定义域的不同部分用不同解析式表示的函数，它是一个函数，不是几个函数。 3．求分段函数的值：先判断自变量所在区间，再代入相应解析式；求 要由内向外逐层计算。 4．分段函数的定义域是各段取值范围的并集，值域是各段值域的并集。 易错提醒：解分段方程 时，必须按段讨论，且每段的解要检验是否落在该段内。 知识点 5　函数的图象 1．画图步骤：确定定义域→列表→描点→连线，注意端点用实心或空心点区分。 2． 的图象：把 图象在 轴下方的部分沿 轴翻折到上方，其余部分不变。 3．判断一个图形是否为函数图象：作任意一条垂直于 轴的直线，若与图形至多有一个交点，则是函数图象。 4．图象的升降反映单调性，图象关于 轴或原点对称反映奇偶性。 知识点 6　函数的单调性 1．定义：设函数 的定义域为 ，区间 。若对任意 ，当 时都有 ，则称 在 上单调递增；若都有 ，则称单调递减。 2．定义法证明的五步：取值（设 ）→作差 →变形（因式分解、通分、配方）→定号→下结论。 3．常用结论：增函数与增函数之和仍是增函数；减函数与减函数之和仍是减函数；若 且递增，则 递减。 4．二次函数的单调性由对称轴与开口方向决定： 时在 上递减，在 上递增。 易错提醒：单调区间要用集合或区间正确表示；几个单调区间之间用“和”或逗号连接，不能用并集符号“”。 知识点 7　函数的奇偶性 1．偶函数：定义域关于原点对称，且对任意 都有 ，图象关于 轴对称。 2．奇函数：定义域关于原点对称，且对任意 都有 ，图象关于原点对称。 3．判断步骤：先看定义域是否关于原点对称（不对称则非奇非偶），再计算 并与 、 比较。 4．常用结论：奇函数若在 处有定义，则 ；既奇又偶的函数只有 （定义域关于原点对称）。 易错提醒： 中 ，既不等于 也不等于 ，是非奇非偶函数。 知识点 8　函数性质的综合应用 1．奇偶性求解析式：已知一侧解析式，设 在另一侧，则 在已知侧，用 转化。 2．奇偶性与单调性结合：奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数则相反。 3．利用单调性解不等式：把 转化为 （增函数）或 （减函数），注意自变量都在定义域内。 4．偶函数的一个重要结论：，可避免分类讨论。 二、典例精讲（每知识点 2 例 2 变式） 知识点 1　函数的概念与同一函数的判断 【例 1】判断下列各组函数是否为同一函数： （1），；（2），； （3），；（4），。 解： 【例 2】已知 ，求 、、、。 解： 【变式 1】判断 与 是否为同一函数。 解： 【变式 2】已知 ，求 与 。 解： 知识点 2　函数的定义域 【例 3】求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3）；（4）。 解： 【例 4】求函数 的定义域。 解： 【变式 3】求函数 的定义域。 解： 【变式 4】求函数 的定义域。 解： 知识点 3　函数的值与值域 【例 5】求下列函数的值域： （1），；（2），。 解： 【例 6】求函数 在区间 上的值域。 解： 【变式 5】求函数 的值域。 解： 【变式 6】求函数 在区间 上的值域。 解： 知识点 4　函数的表示方法与分段函数 【例 7】已知 （），（），求 、、。 解： 【例 8】已知 （），（），解方程 。 解： 【变式 7】已知 （），（），求 与 。 解： 【变式 8】已知 （），（），解不等式 。 解： 知识点 5　函数的图象 【例 9】已知函数 ，说明它的图象可以由 的图象怎样变换得到，并写出值域。 解： 【例 10】判断下列说法是否正确： （1）任何一个图形都可以作为某个函数的图象；（2）函数 （）的图象与直线 恰有一个交点。 解： 【变式 9】已知函数 ，求它的最小值与值域。 解： 【变式 10】函数 的图象与直线 有几个交点？请说明理由。 解： 知识点 6　函数的单调性 【例 11】用定义证明：函数 在区间 上单调递减。 解： 【例 12】求函数 的单调区间。 解： 【变式 11】用定义证明：函数 在 上单调递减。 解： 【变式 12】求函数 的单调区间。 解： 知识点 7　函数的奇偶性 【例 13】判断下列函数的奇偶性： （1）；（2）；（3）；（4），。 解： 【例 14】已知 是偶函数，求实数 的值。 解： 【变式 13】已知 是奇函数，求实数 的值。 解： 【变式 14】判断函数 的奇偶性。 解： 知识点 8　函数性质的综合应用 【例 15】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求当 时 的解析式。 解： 【例 16】已知 是偶函数，且在 上单调递增，比较 、、 的大小。 解： 【变式 15】已知 是奇函数，且在 上单调递增。解不等式 。 解： 【变式 16】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增。若 ，求实数 的取值范围。 解： 三、课后巩固 1．求函数 的定义域。 2．求函数 在区间 上的值域。 3．判断函数 的奇偶性。 4．已知 （），（），求 与 。 5．写出函数 的单调区间。 6．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 与 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏教版必修第一册　第五章 函数概念与性质　·　基础版　·　教师版 苏教版高中数学必修第一册　第五章《函数概念与性质》 期中章节复习讲义 · 基础版（难度系数 0.60）　|　教师版（含解析） 适用范围：5.1 函数的概念和图象，5.2 函数的表示方法，5.3 函数的单调性，5.4 函数的奇偶性。建议用时 90 分钟。 一、知识梳理 知识点 1　函数的概念与同一函数的判断 1．函数的定义：设 、 是非空的实数集，如果按照某种对应法则 ，对于 中的任意一个数 ，在 中都有唯一确定的数 与之对应，则称 为从 到 的函数，记作 ，。 2．函数的三要素：定义域、对应关系、值域。其中定义域与对应关系确定后，值域随之确定，所以判断两个函数是否相同，只需看定义域与对应关系是否都相同。 3． 是一个整体记号，表示“ 在法则 下的函数值”，不是 与 的乘积。 4．常见对应关系的表达：； 表示把 代入法则 ； 表示先算内层再代入。 易错提醒：判断同一函数时，先看定义域。 与 的定义域不同，不是同一函数。 知识点 2　函数的定义域 1．求定义域的依据：分式的分母不为 ；偶次根式的被开方数不小于 ；零次幂与负指数幂的底数不为 ；实际问题还要符合实际意义。 2．若解析式由几部分组成，则定义域是各部分取值范围的交集。 3．常见模型： 的定义域为 ； 的定义域为 。 4．含二次根式的定义域常转化为解一元二次不等式，如 需 。 方法提炼：定义域一律写成集合或不等式的形式，最后要检查端点能否取到。 知识点 3　函数的值与值域 1．求函数值：把自变量的值代入解析式，注意分段函数要先判断自变量落在哪一段。 2．二次函数的值域用配方法：，结合开口方向与自变量范围确定最值。 3．若定义域受限制，最大值、最小值可能在端点或顶点处取得，必须逐一比较。 4．形如 （）的值域用基本不等式，最小值为 。 易错提醒：求值域前必须先确定定义域。如 在 上值域为 ，在 上值域为 。 知识点 4　函数的表示方法与分段函数 1．三种表示方法：解析法、列表法、图象法。解析法精确，图象法直观，列表法适用于离散数据。 2．分段函数：在定义域的不同部分用不同解析式表示的函数，它是一个函数，不是几个函数。 3．求分段函数的值：先判断自变量所在区间，再代入相应解析式；求 要由内向外逐层计算。 4．分段函数的定义域是各段取值范围的并集，值域是各段值域的并集。 易错提醒：解分段方程 时，必须按段讨论，且每段的解要检验是否落在该段内。 知识点 5　函数的图象 1．画图步骤：确定定义域→列表→描点→连线，注意端点用实心或空心点区分。 2． 的图象：把 图象在 轴下方的部分沿 轴翻折到上方，其余部分不变。 3．判断一个图形是否为函数图象：作任意一条垂直于 轴的直线，若与图形至多有一个交点，则是函数图象。 4．图象的升降反映单调性，图象关于 轴或原点对称反映奇偶性。 知识点 6　函数的单调性 1．定义：设函数 的定义域为 ，区间 。若对任意 ，当 时都有 ，则称 在 上单调递增；若都有 ，则称单调递减。 2．定义法证明的五步：取值（设 ）→作差 →变形（因式分解、通分、配方）→定号→下结论。 3．常用结论：增函数与增函数之和仍是增函数；减函数与减函数之和仍是减函数；若 且递增，则 递减。 4．二次函数的单调性由对称轴与开口方向决定： 时在 上递减，在 上递增。 易错提醒：单调区间要用集合或区间正确表示；几个单调区间之间用“和”或逗号连接，不能用并集符号“”。 知识点 7　函数的奇偶性 1．偶函数：定义域关于原点对称，且对任意 都有 ，图象关于 轴对称。 2．奇函数：定义域关于原点对称，且对任意 都有 ，图象关于原点对称。 3．判断步骤：先看定义域是否关于原点对称（不对称则非奇非偶），再计算 并与 、 比较。 4．常用结论：奇函数若在 处有定义，则 ；既奇又偶的函数只有 （定义域关于原点对称）。 易错提醒： 中 ，既不等于 也不等于 ，是非奇非偶函数。 知识点 8　函数性质的综合应用 1．奇偶性求解析式：已知一侧解析式，设 在另一侧，则 在已知侧，用 转化。 2．奇偶性与单调性结合：奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数则相反。 3．利用单调性解不等式：把 转化为 （增函数）或 （减函数），注意自变量都在定义域内。 4．偶函数的一个重要结论：，可避免分类讨论。 二、典例精讲（每知识点 2 例 2 变式） 知识点 1　函数的概念与同一函数的判断 【例 1】判断下列各组函数是否为同一函数： （1），；（2），； （3），；（4），。 【解析】（1），对应关系与 不同，不是同一函数。 （2） 的定义域为 ，与 的定义域 不同，不是同一函数。 （3），定义域都是 ，对应关系相同，是同一函数。 （4）两个函数的定义域都是 ，对应关系相同（自变量用什么字母表示不影响函数），是同一函数。 【答案】（1）不是；（2）不是；（3）是；（4）是 【例 2】已知 ，求 、、、。 【解析】；。 。 先算内层：，再算 。 【答案】，，， 【变式 1】判断 与 是否为同一函数。 【解析】，而 。 两者定义域都是 ，但当 时 ，对应关系不同。 所以不是同一函数。 【答案】不是同一函数 【变式 2】已知 ，求 与 。 【解析】。 。 【答案】， 知识点 2　函数的定义域 【例 3】求下列函数的定义域： （1）；（2）；（3）；（4）。 【解析】（1）分母不为 ：，定义域为 。 （2）被开方数非负：，即 ，定义域为 。 （3）需同时满足 与 ，定义域为 。 （4）需 且 ，定义域为 。 【答案】见解析 【例 4】求函数 的定义域。 【解析】需 ，因式分解得 。 解不等式得 或 。 所以定义域为 。 【答案】 【变式 3】求函数 的定义域。 【解析】需 （分母不为 ，且根号在分母上，被开方数必须严格大于 ）。 解得 ，定义域为 。 【答案】 【变式 4】求函数 的定义域。 【解析】需同时满足 与 ，即 且 。 所以定义域为 。 【答案】 知识点 3　函数的值与值域 【例 5】求下列函数的值域： （1），；（2），。 【解析】（1）配方得 ，所以值域为 。 （2）因为 ，由基本不等式 ，当 时取等号。 所以值域为 。 【答案】（1）；（2） 【例 6】求函数 在区间 上的值域。 【解析】配方得 ，对称轴为 ，开口向上，且 。 所以最小值为 。 再比较端点：，，故最大值为 。 所以值域为 。 【答案】 【变式 5】求函数 的值域。 【解析】因为 ，所以 （当 时取到 ）。 所以值域为 。 【答案】 【变式 6】求函数 在区间 上的值域。 【解析】配方得 ，对称轴 ，且 。 最小值为 ；端点处 ，，最大值为 。 所以值域为 。 【答案】 知识点 4　函数的表示方法与分段函数 【例 7】已知 （），（），求 、、。 【解析】，代入第二段：。 ，代入第一段：。 先算内层：，；再算 ，所以 。 【答案】，， 【例 8】已知 （），（），解方程 。 【解析】（1）当 时，，解得 ，满足 。 （2）当 时，，解得 或 ，其中只有 满足 。 综上，方程的解为 或 。 【答案】 或 【变式 7】已知 （），（），求 与 。 【解析】，故 。 先算内层：，；再算 。 所以 ，。 【答案】， 【变式 8】已知 （），（），解不等式 。 【解析】（1）当 时，，解得 （因为 ）。 （2）当 时，，解得 ，满足 。 综上，不等式的解集为 。 【答案】 知识点 5　函数的图象 【例 9】已知函数 ，说明它的图象可以由 的图象怎样变换得到，并写出值域。 【解析】 的图象可由 的图象向右平移 个单位得到。 图象是顶点为 、开口向上的“”形折线。 因为 ，所以值域为 。 【答案】向右平移 个单位；值域 【例 10】判断下列说法是否正确： （1）任何一个图形都可以作为某个函数的图象；（2）函数 （）的图象与直线 恰有一个交点。 【解析】（1）错误。作任意一条垂直于 轴的直线，若与图形有两个或更多交点，则该图形不能作为函数图象。 （2）正确。 时 唯一，故直线 与抛物线恰有一个交点 。 【答案】（1）错误；（2）正确 【变式 9】已知函数 ，求它的最小值与值域。 【解析】因为 ，所以 ，当 时取到最小值 。 值域为 。 【答案】最小值 ；值域 【变式 10】函数 的图象与直线 有几个交点？请说明理由。 【解析】联立得 ，即 ，因式分解得 。 解得 或 ，所以有两个交点 与 。 【答案】两个交点 知识点 6　函数的单调性 【例 11】用定义证明：函数 在区间 上单调递减。 【解析】任取 ，则 。 因为 ，所以 ，，故 ，。 于是 ，即 ，所以 在 上单调递减。 【答案】证明见解析 【例 12】求函数 的单调区间。 【解析】配方得 ，图象开口向上，对称轴为 。 所以 在 上单调递减，在 上单调递增。 【答案】减区间 ；增区间 【变式 11】用定义证明：函数 在 上单调递减。 【解析】任取 ，则 。 因为 ，所以 ，即 。 所以 在 上单调递减。 【答案】证明见解析 【变式 12】求函数 的单调区间。 【解析】配方得 ，开口向上，对称轴为 。 所以减区间为 ，增区间为 。 【答案】减区间 ；增区间 知识点 7　函数的奇偶性 【例 13】判断下列函数的奇偶性： （1）；（2）；（3）；（4），。 【解析】（1）定义域 关于原点对称，，是偶函数。 （2）定义域 关于原点对称，，是奇函数。 （3），既不等于 也不等于 ，是非奇非偶函数。 （4）定义域关于原点对称， 且 ，既是奇函数又是偶函数。 【答案】（1）偶；（2）奇；（3）非奇非偶；（4）既奇又偶 【例 14】已知 是偶函数，求实数 的值。 【解析】定义域为 ，关于原点对称。 由 得 ，即 对一切 成立。 所以 恒成立，故 。 【答案】 【变式 13】已知 是奇函数，求实数 的值。 【解析】由 得 ，即 对一切 成立。 所以 。 【答案】 【变式 14】判断函数 的奇偶性。 【解析】定义域为 ，关于原点对称。 。 所以 是奇函数。 【答案】奇函数 知识点 8　函数性质的综合应用 【例 15】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求当 时 的解析式。 【解析】设 ，则 ，代入已知式得 。 又 是奇函数，所以 。 所以当 时，。 【答案】（） 【例 16】已知 是偶函数，且在 上单调递增，比较 、、 的大小。 【解析】因为 是偶函数，所以 。 又 在 上递增，且 ，所以 。 即 。 【答案】 【变式 15】已知 是奇函数，且在 上单调递增。解不等式 。 【解析】由奇函数性质，。 因为 在 上递增，所以 等价于 。 解得 ，即解集为 。 【答案】 【变式 16】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增。若 ，求实数 的取值范围。 【解析】因为 是偶函数且在 上递增，所以 等价于 。 解得 。 【答案】 三、课后巩固 1．求函数 的定义域。 【答案】。【简析】需 且 。 2．求函数 在区间 上的值域。 【答案】。【简析】，最小值 ；端点 ，故值域为 。 3．判断函数 的奇偶性。 【答案】非奇非偶函数。【简析】，既不等于 ，也不等于 。 4．已知 （），（），求 与 。 【答案】，。【简析】，代入第二段得 ；，再求 ，故 。 5．写出函数 的单调区间。 【答案】增区间 ，减区间 。【简析】，开口向下，对称轴 。 6．已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，求 与 。 【答案】，。【简析】，由奇函数得 ；奇函数在 处有定义，故 。 第 1 页 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