第二章 常用逻辑用语 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

苏教版必修第一册　第二章 常用逻辑用语　·　基础版　·　教师版 苏教版高中数学必修第一册　第二章《常用逻辑用语》 期中章节复习讲义 · 基础版（难度系数 0.60）　|　教师版（含解析） 适用范围：2.1 命题、定理、定义，2.2 充分条件、必要条件、充要条件，2.3 全称量词命题与存在量词命题。建议用时 90 分钟。 一、知识梳理 知识点 1　命题的概念与真假判断 1．命题：可以判断真假的陈述句叫作命题。判断为真的命题叫真命题，判断为假的命题叫假命题。 2．不是命题的常见类型：疑问句、祈使句、感叹句，以及含有变量、无法判断真假的语句（开语句）。 3．命题的结构：数学命题常写成“若 则 ”的形式，其中 是条件， 是结论。 4．定理：经过逻辑推理证明为真的命题；定义：对概念的含义加以描述说明的语句。 易错提醒：判断一个语句是不是命题，关键看它能否判断真假，与判断结果的真假无关；“x>1”这类含变量的语句不是命题。 知识点 2　充分条件、必要条件的判断 1．若 ，则称 是 的充分条件， 是 的必要条件。 2．四种关系：充分不必要条件（ 且 ）、必要不充分条件、充要条件（）、既不充分也不必要条件。 3．判断方法一（定义法）：分别判断 与 是否成立，不成立时举出反例。 4．判断方法二（集合法）：设 ，，则 是 的充分条件； 是 的充分不必要条件； 是 的必要条件； 是 的充要条件。 记号说明： 表示 是 的真子集，即 且 。方法提炼：小范围推出大范围。“”能推出“”，所以 是 的充分条件。 知识点 3　充要条件的证明与探求 1．证明充要条件必须分两步：①充分性（）；②必要性（）。两步缺一不可。 2．探求充要条件：先明确研究对象（方程、不等式、函数性质），再作等价变形，最后按“充分性、必要性”两个方向验证。 3．“ 的充分不必要条件”是指能推出 、但不能由 推出的条件；“ 的必要不充分条件”是指 能推出它、但它推不出 的条件。 易错提醒：证明“充要条件”时只证一个方向是常见失分点，务必写清“充分性”与“必要性”两个部分。 知识点 4　全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词：“所有”“任意”“每一个”，用符号 表示。全称量词命题：。 2．存在量词：“存在”“至少有一个”“有些”，用符号 表示。存在量词命题：。 3．真假判断：全称量词命题为真，必须对集合中每一个元素都成立；为假，只需举出一个反例。存在量词命题为真，只需找出一个实例；为假，必须说明对每一个元素都不成立。 易错提醒：判断全称量词命题为假，举一个反例即可；判断存在量词命题为假，则需要证明“一个也没有”。 知识点 5　全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词命题的否定： 为 ，即“改量词、否结论”。 2．存在量词命题的否定： 为 。 3．常见词语的否定：是→不是；都是→不都是；至少有一个→一个也没有；至多有一个→至少有两个；→；→。 易错提醒：命题的否定只否定结论，不否定条件；“”的否定是“”，而不是“”。 知识点 6　由命题真假求参数范围 1．全称量词命题为真，等价于不等式（或等式）恒成立；全称量词命题为假，等价于存在反例。 2．存在量词命题为真，等价于相应的方程（或不等式）有解；为假，等价于恒不成立。 3．二次型恒成立： 成立的条件是 且 ；若 ，需单独讨论。 4．区间上的恒成立与有解： 等价于 ； 等价于 。 知识点 7　充要条件与集合、不等式的综合 1．把命题转化为集合：，，则“ 是 的充分不必要条件”；“ 是 的必要不充分条件”。 2．解题步骤：解不等式求集合→判断（或设定）包含关系→列不等式组求参数→检验端点。 3．含参集合的端点往往取不到等号，必须代回检验，避免“多算”或“漏算”端点。 知识点 8　常用逻辑用语与函数性质的综合 1．单调性的逻辑刻画： 在区间 上单调递增 ，当 时 。 2．奇偶性的逻辑刻画： 为偶函数 ； 为奇函数 。 3．二次函数 在 上递减，在 上递增。 方法提炼：把“函数在区间上单调”翻译成对称轴与区间的位置关系，是求参数范围的常用手段。 二、典例精讲（每知识点 2 例 2 变式） 知识点 1　命题的概念与真假判断 【例 1】下列语句中，哪些是命题？若是命题，请判断其真假。 （1） 是偶数；（2）求证： 是无理数；（3）；（4）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（5） 是自然数吗？ 【解析】（1）是陈述句，能判断真假，是命题，且为假命题（ 是奇数）。 （2）是祈使句（要求证明），不能判断真假，不是命题。 （3）含有变量 ， 取值不同真假不同，不能判断真假，不是命题。 （4）是陈述句，是命题。面积相等的两个三角形不一定全等，故为假命题。 （5）是疑问句，不是命题。 【答案】（1）是假命题；（2）（3）（5）不是命题；（4）是假命题 【例 2】把下列命题改写成“若 则 ”的形式，并判断真假： （1）两个全等三角形的面积相等；（2）能被 整除的整数能被 整除。 【解析】（1）若两个三角形全等，则这两个三角形的面积相等。是真命题。 （2）若一个整数能被 整除，则它能被 整除。是假命题，反例： 能被 整除，但不能被 整除。 【答案】（1）真命题；（2）假命题 【变式 1】判断下列语句是否为命题，若是命题，请判断真假： （1）若 ，则 ；（2）请节约用水；（3）；（4）所有的正方形都是矩形。 【解析】（1）是命题，真命题（不等式的基本性质）。 （2）是祈使句，不是命题。 （3）是命题，真命题（）。 （4）是命题，真命题（正方形是特殊的矩形）。 【答案】（1）（3）（4）是命题且都为真；（2）不是命题 【变式 2】把“等边三角形是等腰三角形”改写成“若 则 ”的形式，并写出它的条件与结论，判断真假。 【解析】改写为：若一个三角形是等边三角形，则它是等腰三角形。 条件是“一个三角形是等边三角形”，结论是“这个三角形是等腰三角形”。 等边三角形一定有两边相等，故该命题是真命题。 【答案】真命题 知识点 2　充分条件、必要条件的判断 【例 3】判断下列各题中 是 的什么条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）： （1），；（2），；（3），；（4），。 【解析】（1）；但 时 成立而 不成立，故 。所以 是 的充分不必要条件。 （2） 或 ，推不出 ；而 。所以 是 的必要不充分条件。 （3）；但当 时， 对任意 都成立，推不出 。所以 是 的充分不必要条件。 （4）；但 时 而 。所以 是 的充分不必要条件。 【答案】（1）充分不必要；（2）必要不充分；（3）充分不必要；（4）充分不必要 【例 4】已知 ，，其中 ，，判断 是 的什么条件。 【解析】在数轴上表示集合 与 ，可以看出 是 的真子集，即 。 于是 ，即 ；但 （如 ）。 所以 是 的必要不充分条件。 【答案】必要不充分条件 【变式 3】判断下列各题中 是 的什么条件： （1），；（2），；（3），。 【解析】（1）；但 时 而 。充分不必要条件。 （2）由不等式的基本性质，，两个方向都成立。充要条件。 （3）；但 时 而 。充分不必要条件。 【答案】（1）充分不必要；（2）充要；（3）充分不必要 【变式 4】已知 ，，判断 是 的什么条件。 【解析】因为 ，所以 ，但反向不成立（）。 所以 是 的充分不必要条件。 【答案】充分不必要条件 知识点 3　充要条件的证明与探求 【例 5】证明：关于 的方程 有两个不相等的实数根的充要条件是 。 【解析】①充分性：若 ，则判别式 ，所以方程有两个不相等的实数根。 ②必要性：若方程有两个不相等的实数根，则 ，解得 。 由①②知，“方程有两个不相等的实数根”的充要条件是 。 【答案】 【例 6】写出“”的一个充分不必要条件和一个必要不充分条件。 【解析】方程的解集为 。 充分不必要条件：。因为 时方程成立，而方程成立时 还可能是 。 必要不充分条件： 是整数。因为方程成立时 或 ，都是整数；但 是整数，方程却不成立。 （答案不唯一，只要符合定义即可。） 【答案】； 是整数（答案不唯一） 【变式 5】证明： 的充要条件是 或 （）。 【解析】①充分性：若 或 ，则 。 ②必要性：若 ，假设 且 ，则两个非零实数之积不为零，即 ，与 矛盾。故 或 。 由①②知， 的充要条件是 或 。 【答案】证明见解析 【变式 6】写出“”的一个充分不必要条件和一个必要不充分条件。 【解析】方程的解集为 。 充分不必要条件：（ 时 ，反之不成立）。 必要不充分条件： 是偶数（ 时 都是偶数；但 是偶数，）。 【答案】； 是偶数（答案不唯一） 知识点 4　全称量词命题与存在量词命题 【例 7】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假： （1）所有的实数 都满足 ；（2）存在实数 ，使 ；（3）有些整数能被 整除；（4）每一个无理数都是无限小数。 【解析】（1）含有“所有”，是全称量词命题。任何实数的平方非负，真命题。 （2）含有“存在”，是存在量词命题。因为 ，方程无解，假命题。 （3）含有“有些”，是存在量词命题。如 都能被 整除，真命题。 （4）含有“每一个”，是全称量词命题。无理数都是无限不循环小数，真命题。 【答案】（1）全称，真；（2）存在，假；（3）存在，真；（4）全称，真 【例 8】用符号“”或“”表示下列命题，并判断真假： （1）对任意实数 ，；（2）存在实数 ，。 【解析】（1）。因为 ，真命题。 （2）。因为 ，方程无实数根，假命题。 【答案】（1）真；（2）假 【变式 7】判断下列命题的真假： （1）；（2）；（3）；（4）。 【解析】（1）假命题，反例 时 。 （2）真命题，取 （或 ）。 （3）真命题，自然数 ，故 。 （4）假命题，因为 是无理数，有理数的平方不可能等于 。 【答案】（1）假；（2）真；（3）真；（4）假 【变式 8】用符号表示“存在一个实数 ，使 ”，并判断真假。 【解析】符号表示为 。 因为 对一切实数成立，所以不存在这样的 。 该命题是假命题。 【答案】，假命题 知识点 5　全称量词命题与存在量词命题的否定 【例 9】写出下列命题的否定，并判断真假： （1）；（2）；（3）所有的菱形都是正方形。 【解析】（1）否定：。因为 ，该否定是假命题。 （2）否定：。因为 ，方程无实根，该否定是真命题。 （3）否定：存在菱形不是正方形。真命题。 【答案】见解析 【例 10】写出下列命题的否定： （1）所有的同学都参加了运动会；（2）至少有一个实数 使 成立。 【解析】（1）否定：有些同学没有参加运动会。 （2）否定：对任意实数 ，都有 （即一个实数 也没有使 成立）。 【答案】见解析 【变式 9】写出命题“ 是偶数”的否定，并判断原命题的真假。 【解析】否定： 不是偶数（即 是奇数）。 原命题是真命题。因为 ， 与 是两个相邻整数，其中必有一个偶数，所以它们的积是偶数。 【答案】否定为“ 是奇数”，原命题为真 【变式 10】已知命题 的否定是“”，且 是真命题，求实数 的取值范围。 【解析】由命题的否定还原： 是“”。 为真，即不等式对一切实数恒成立，故 ，解得 。 所以 的取值范围是 。 【答案】 知识点 6　由命题真假求参数范围 【例 11】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 【解析】 对一切实数恒成立，等价于 。 解得 ，即 的取值范围是 。 【答案】 【例 12】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 【解析】 为真，等价于方程 有实数根，即 。 整理得 ，即 ，解得 或 。 【答案】 或 【变式 11】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 【解析】 为真，即 对一切 成立，故 不小于 在 上的最大值。 当 时， 的最大值为 ，所以 。 【答案】 【变式 12】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 【解析】 为真，即存在 使 成立，故 不小于 在 上的最小值。 当 时， 的最小值为 ，所以 。 【答案】 知识点 7　充要条件与集合、不等式的综合 【例 13】已知 ，，其中 ，。若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 【解析】 是 的必要条件，等价于 ；不充分，等价于 。 由 得 且 ，解得 。 又 的长度为 ， 的长度为 ，故 恒成立，即 恒成立。 所以 的取值范围是 。 【答案】 【例 14】已知 ，。若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 【解析】解不等式： 对应集合 ； 对应集合 。 是 的必要不充分条件，等价于 。 由 得 且 ，即 。 检验端点：当 时 ，而 ，不满足；当 时 ，而 ，不满足。 所以 的取值范围是 。 【答案】 【变式 13】已知 ，。若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 【解析】，即 能推出 ，故 。 若 ，则 与 等价，是充要条件，不满足“不必要”，故 。 所以 。 【答案】 【变式 14】已知 ，，其中 ，。若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 【解析】 是 的必要不充分条件，等价于 。 由 得 且 ，即 。 又 的长度为 ， 的长度为 ，故 恒成立。 所以 的取值范围是 。 【答案】 知识点 8　常用逻辑用语与函数性质的综合 【例 15】已知函数 。判断“”是“ 在区间 上单调递增”的什么条件，并说明理由。 【解析】 的图象开口向上，对称轴为直线 。 若 ，则对称轴在区间 的左侧（或端点处），故 在 上单调递增。 反之，若 在 上单调递增，则对称轴不能在 的右侧，即 。 所以“”是“ 在 上单调递增”的充要条件。 【答案】充要条件 【例 16】判断下列命题的真假： （1）；（2）；（3）函数 在 上是增函数。 【解析】（1）真命题。因为对任意实数 ，都有 。 （2）假命题。因为 ，不存在实数使之为 。 （3）真命题。设 ，则 ，故 。 【答案】（1）真；（2）假；（3）真 【变式 15】已知 在 上单调递增。请写出“ 在 上单调递增”的一个充分不必要条件。 【解析】由例 15 知，“ 在 上单调递增”的充要条件是 。 因此只需写出一个能推出 、但不被 推出的条件即可，如 （或 、 等）。 以 为例：，但 时 成立而 不成立，故 是充分不必要条件。 【答案】（答案不唯一） 【变式 16】已知 是定义在 上的函数，判断“”是“ 为 上的奇函数”的什么条件。 【解析】若 是奇函数，则 ，即 ，所以 。即“奇函数”能推出“”。 反之， 不能推出 是奇函数。例如 满足 ，但它是偶函数，不是奇函数。 所以“”是“ 为奇函数”的必要不充分条件。 【答案】必要不充分条件 三、课后巩固 1．写出命题“”的否定，并判断原命题的真假。 【答案】否定：；原命题是真命题。【简析】，故 恒成立。 2．判断 是 的什么条件：，。 【答案】充分不必要条件。【简析】；但 时 而 。 3．写出命题“有些实数的平方小于 ”的否定，并判断否定命题的真假。 【答案】否定：所有实数的平方都不小于 （即 ），是真命题。【简析】原命题为假，其否定为真。 4．已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 【答案】。【简析】，解得 。 5．已知 ，。若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 【答案】。【简析】需 ，即 ；当 时 ，，，符合题意。 6．判断命题“若 ，则 ”的真假，并说明理由。 【答案】真命题。【简析】，当 时 且 ，故 ，即 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏教版必修第一册　第二章 常用逻辑用语　·　基础版　·　学生版 苏教版高中数学必修第一册　第二章《常用逻辑用语》 期中章节复习讲义 · 基础版（难度系数 0.60）　|　学生版 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿＿＿ 适用范围：2.1 命题、定理、定义，2.2 充分条件、必要条件、充要条件，2.3 全称量词命题与存在量词命题。建议用时 90 分钟。 一、知识梳理 知识点 1　命题的概念与真假判断 1．命题：可以判断真假的陈述句叫作命题。判断为真的命题叫真命题，判断为假的命题叫假命题。 2．不是命题的常见类型：疑问句、祈使句、感叹句，以及含有变量、无法判断真假的语句（开语句）。 3．命题的结构：数学命题常写成“若 则 ”的形式，其中 是条件， 是结论。 4．定理：经过逻辑推理证明为真的命题；定义：对概念的含义加以描述说明的语句。 易错提醒：判断一个语句是不是命题，关键看它能否判断真假，与判断结果的真假无关；“x>1”这类含变量的语句不是命题。 知识点 2　充分条件、必要条件的判断 1．若 ，则称 是 的充分条件， 是 的必要条件。 2．四种关系：充分不必要条件（ 且 ）、必要不充分条件、充要条件（）、既不充分也不必要条件。 3．判断方法一（定义法）：分别判断 与 是否成立，不成立时举出反例。 4．判断方法二（集合法）：设 ，，则 是 的充分条件； 是 的充分不必要条件； 是 的必要条件； 是 的充要条件。 记号说明： 表示 是 的真子集，即 且 。方法提炼：小范围推出大范围。“”能推出“”，所以 是 的充分条件。 知识点 3　充要条件的证明与探求 1．证明充要条件必须分两步：①充分性（）；②必要性（）。两步缺一不可。 2．探求充要条件：先明确研究对象（方程、不等式、函数性质），再作等价变形，最后按“充分性、必要性”两个方向验证。 3．“ 的充分不必要条件”是指能推出 、但不能由 推出的条件；“ 的必要不充分条件”是指 能推出它、但它推不出 的条件。 易错提醒：证明“充要条件”时只证一个方向是常见失分点，务必写清“充分性”与“必要性”两个部分。 知识点 4　全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词：“所有”“任意”“每一个”，用符号 表示。全称量词命题：。 2．存在量词：“存在”“至少有一个”“有些”，用符号 表示。存在量词命题：。 3．真假判断：全称量词命题为真，必须对集合中每一个元素都成立；为假，只需举出一个反例。存在量词命题为真，只需找出一个实例；为假，必须说明对每一个元素都不成立。 易错提醒：判断全称量词命题为假，举一个反例即可；判断存在量词命题为假，则需要证明“一个也没有”。 知识点 5　全称量词命题与存在量词命题的否定 1．全称量词命题的否定： 为 ，即“改量词、否结论”。 2．存在量词命题的否定： 为 。 3．常见词语的否定：是→不是；都是→不都是；至少有一个→一个也没有；至多有一个→至少有两个；→；→。 易错提醒：命题的否定只否定结论，不否定条件；“”的否定是“”，而不是“”。 知识点 6　由命题真假求参数范围 1．全称量词命题为真，等价于不等式（或等式）恒成立；全称量词命题为假，等价于存在反例。 2．存在量词命题为真，等价于相应的方程（或不等式）有解；为假，等价于恒不成立。 3．二次型恒成立： 成立的条件是 且 ；若 ，需单独讨论。 4．区间上的恒成立与有解： 等价于 ； 等价于 。 知识点 7　充要条件与集合、不等式的综合 1．把命题转化为集合：，，则“ 是 的充分不必要条件”；“ 是 的必要不充分条件”。 2．解题步骤：解不等式求集合→判断（或设定）包含关系→列不等式组求参数→检验端点。 3．含参集合的端点往往取不到等号，必须代回检验，避免“多算”或“漏算”端点。 知识点 8　常用逻辑用语与函数性质的综合 1．单调性的逻辑刻画： 在区间 上单调递增 ，当 时 。 2．奇偶性的逻辑刻画： 为偶函数 ； 为奇函数 。 3．二次函数 在 上递减，在 上递增。 方法提炼：把“函数在区间上单调”翻译成对称轴与区间的位置关系，是求参数范围的常用手段。 二、典例精讲（每知识点 2 例 2 变式） 知识点 1　命题的概念与真假判断 【例 1】下列语句中，哪些是命题？若是命题，请判断其真假。 （1） 是偶数；（2）求证： 是无理数；（3）；（4）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等；（5） 是自然数吗？ 解： 【例 2】把下列命题改写成“若 则 ”的形式，并判断真假： （1）两个全等三角形的面积相等；（2）能被 整除的整数能被 整除。 解： 【变式 1】判断下列语句是否为命题，若是命题，请判断真假： （1）若 ，则 ；（2）请节约用水；（3）；（4）所有的正方形都是矩形。 解： 【变式 2】把“等边三角形是等腰三角形”改写成“若 则 ”的形式，并写出它的条件与结论，判断真假。 解： 知识点 2　充分条件、必要条件的判断 【例 3】判断下列各题中 是 的什么条件（充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要）： （1），；（2），；（3），；（4），。 解： 【例 4】已知 ，，其中 ，，判断 是 的什么条件。 解： 【变式 3】判断下列各题中 是 的什么条件： （1），；（2），；（3），。 解： 【变式 4】已知 ，，判断 是 的什么条件。 解： 知识点 3　充要条件的证明与探求 【例 5】证明：关于 的方程 有两个不相等的实数根的充要条件是 。 解： 【例 6】写出“”的一个充分不必要条件和一个必要不充分条件。 解： 【变式 5】证明： 的充要条件是 或 （）。 解： 【变式 6】写出“”的一个充分不必要条件和一个必要不充分条件。 解： 知识点 4　全称量词命题与存在量词命题 【例 7】判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假： （1）所有的实数 都满足 ；（2）存在实数 ，使 ；（3）有些整数能被 整除；（4）每一个无理数都是无限小数。 解： 【例 8】用符号“”或“”表示下列命题，并判断真假： （1）对任意实数 ，；（2）存在实数 ，。 解： 【变式 7】判断下列命题的真假： （1）；（2）；（3）；（4）。 解： 【变式 8】用符号表示“存在一个实数 ，使 ”，并判断真假。 解： 知识点 5　全称量词命题与存在量词命题的否定 【例 9】写出下列命题的否定，并判断真假： （1）；（2）；（3）所有的菱形都是正方形。 解： 【例 10】写出下列命题的否定： （1）所有的同学都参加了运动会；（2）至少有一个实数 使 成立。 解： 【变式 9】写出命题“ 是偶数”的否定，并判断原命题的真假。 解： 【变式 10】已知命题 的否定是“”，且 是真命题，求实数 的取值范围。 解： 知识点 6　由命题真假求参数范围 【例 11】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 解： 【例 12】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 解： 【变式 11】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 解： 【变式 12】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 解： 知识点 7　充要条件与集合、不等式的综合 【例 13】已知 ，，其中 ，。若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 解： 【例 14】已知 ，。若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 解： 【变式 13】已知 ，。若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 解： 【变式 14】已知 ，，其中 ，。若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 解： 知识点 8　常用逻辑用语与函数性质的综合 【例 15】已知函数 。判断“”是“ 在区间 上单调递增”的什么条件，并说明理由。 解： 【例 16】判断下列命题的真假： （1）；（2）；（3）函数 在 上是增函数。 解： 【变式 15】已知 在 上单调递增。请写出“ 在 上单调递增”的一个充分不必要条件。 解： 【变式 16】已知 是定义在 上的函数，判断“”是“ 为 上的奇函数”的什么条件。 解： 三、课后巩固 1．写出命题“”的否定，并判断原命题的真假。 2．判断 是 的什么条件：，。 3．写出命题“有些实数的平方小于 ”的否定，并判断否定命题的真假。 4．已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 5．已知 ，。若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 6．判断命题“若 ，则 ”的真假，并说明理由。 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