第四章 指数与对数 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

苏教版必修第一册第四章指数与对数·基础版·学生版 苏教版高中数学必修第一册 第四章《指数与对数》 期中章节复习讲义·基础版（难度系数0.60) 学生版 班级： 姓名： 得分： 适用范围：4.1指数（根式、分数指数幂、指数幂的运算性质），4.2对数（对数的概念、对数的 运算性质、换底公式)。建议用时90分钟。 一、知识梳理 知识点1根式与分数指数幂 1.n次方根：若x=a(n>1,n∈N),则x叫做a的n次方根。n为奇数时方根 唯一；n为偶数时，正数a的偶次方根有两个，互为相反数。 2.根式的性质：(a”=a;当n为奇数时a=a;当n为偶数时a=a。 3。分数指数幂：口=0，Q m m(a>0,m,n∈N',n>1)。 Q分 4.规定：0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义：负数的分数指数幂一般无意 义，故分数指数幂的底数要求a>0。 |易错提醒：Va不一定等于a。n为偶数时必须加绝对值，如3-π=3-π=π-3。 知识点2指数幂的运算性质 同底数幂：Qa=a",=a(a>0 2.幂的乘方：a”=am;积的乘方：abP=ab;商的乘方： a"_a" bb" 3.上述性质对有理数指数幂都成立，运算时先统一为分数指数幂，再按“系数、同底 数”分别合并。 3 4. 常用技巧：0.027 2725 10 99， 负指数先取倒数再算正指数。 方法提炼：化简顺序为“化分数指数幂→定符号→合并同底数幂→写最简结果”，指数为负时把 底数颠倒。 第1页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·基础版·学生版 知识点3指数式的条件求值 1.平方关 :af-a2*a.。-af=a-2+a 2.由此可得：a*a1-6a年2：0+a?-a*a-2。 3.立方关系：a3+a3=a+a-3a+a: a+a3 a+=a2-1+a2。 1-1 4.解题思路：把所求式用已知式表示（升幂或降幂），整体代入，注意a+a>0等符 号判断。 知识点4对数的概念与指数式、对数式的互化 1.定义：若a°=N(a>0,a≠1，N>0),则b=logaN。其中a叫底数，N叫真数。 2.互化：a°=N~b=log.N。“底数不变，指数与对数互换位置”。 3.两个特殊对数：以10为底记作lgN(常用对数)，以e为底记作lnN(自然对 数)。 4.基本结论：log1=0,log。a=1,aw=N(对数恒等式)。 易错提醒：真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1。求logx16=2时，不可漏掉x>0 且X≠1的限制。 知识点5对数的运算性质 1.积的对数：log.MN=log.M+log.N(M>0,N>0)。 2商的对数：1o8,兴-1o8,M-1gN。 3.幂的对数：logM”=nlog,M(neR);log,M=log。M。 4.常用结论：log。blog6a=1:lg2+lg5=1。 易错提醒：logaM+N≠logoM+log.N: loga M M log。N 1©g:N。这两类是本章最常见的错误。 知识点6换底公式 1.换底公式：log,b=1ogb logca (a>0,a≠1，c>0,c≠1，b>0)。 2.常用变形：logab= Tog,:logb"mlogb 1 n 第2页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·基础版·学生版 3.连乘型：logab.logbc·loged=logad,中间底数“约掉”。 4.条件求值：把待求对数换成与已知同底（通常换为常用对数），再用已知表示。 知识点7指对互化与对数恒等式 1.a°=N。b=log。N是解决“指数条件求对数式、对数条件求指数式”的基本工具。 2.常用手法：设a°=N,取对数得blog。a=log。N,即b=logN;反之把对数还原为指 数。 3.形如D=4=r的条件，常取以r为底的对数，得日gD, ,上=1og,9,从而 6ls网. 4.解对数方程必须检验真数为正；解指数方程常用换元，注意新元为正。 知识点8指数与对数的综合运算 1.混合运算的顺序：先算指数幂与根式，再算对数，最后四则运算。 2.恒等式a”=N常用于“对数在指数上”的化简。 3.am+”型：先由对数条件确定m,n,再合并指数；如loga2=m表示a"=2。 4.计算中随时用lg2+lg5=1、logaa=1、1oga1=0简化。 第3页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·基础版·学生版 二、典例精讲（每知识点2例2变式） 知识点1根式与分数指数幂 【例1】计算：(1)-8：(2)-5：(3)3-π。 解： 【例2】用分数指数幂表示并化简a2Vā(a>0)。 解： a(a>0)· 【变式1】化简 解： 【变式2】计算1-2+1-V2。 解： 知识点2指数幂的运算性质 【例3】计算027+2片-3-1。 解： 第4页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·基础版·学生版 【例4】化 siwl-sow-o (a>0,b>0)。 解： 【变式3】计算 +- 解： 1116 【变式4】化简a2b3(a>0,b>0)。 解： 知识点3指数式的条件求值 【例5】已知a+a支=3，求a+a1的值。 解： 【例6】已知2*=5，求4+4的值。 第5页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·基础版·学生版 解： 【变式5】已知a+a1=4,求a2+a2的值。 解： 【变式6】已知a-a=2,求a+a1的值。 解： 知识点4对数的概念与指对互化 【例7】把下列指数式化为对数式：(1)3=81：(2)2=日：(3) 解： 【例8】求值：(1)1og,32;(2)1g0.001;(3)ne;(4)1og4。 解： 【变式7】求log9的值。 第6页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·基础版·学生版 解： 【变式8】已知logx16=2,求x的值。 解： 知识点5对数的运算性质 【例9】计算：(1)1og318-log32:(2)lg25+lg4:(3)21og510+log0.25。 解： 【例10】计算lg5+lg2·lg50。 解： 【变式9】计算l0g26-l1og23+log24。 解： lg8+1g125 【变式10】计算g2+1g5· 解： 第7页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·基础版·学生版 知识点6换底公式 【例11】计算l1og23·log38。 解： 【例12】己知lg2=a,lg3=b,用a、b表示log125。 解： 【变式11】计算10g49·log278。 解： 【变式12】已知log23=a,求1og38(用a表示)。 解： 知识点7指对互化与对数恒等式 【例18】已知2=5-10，求日+片的值。 第8页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·基础版·学生版 解： 【例14】解方程1og2x+1=3。 解： 【变式13】已勿3-5产m《m>0),且。。-2，求m的值 解： 【变式14】解方程log,27= 2。 解： 知识点8指数与对数的综合运算 1.1 【例15】计算1og,61og,6 解： 【例16】已知loga2=m,loga3=n(a>0,a≠1)，求a2m+n的值。 第9页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·基础版·学生版 解： 【变式15】计算53+l0g:g 解： 【变式16】已知1og23=a,求4°的值。 解： 第10页 苏教版必修第一册第四章指数与对数·基础版·学生版 三、课后巩固 1.计算-27+V16。 2.计算8+日月 9 3.计算1og327+lg0.01。 4.计算log62+l0g63。 5.已知10°=2，求1020的值。 6.计算1og23log34。 第11页苏教版必修第一册　第四章 指数与对数　·　基础版　·　教师版 苏教版高中数学必修第一册　第四章《指数与对数》 期中章节复习讲义 · 基础版（难度系数 0.60）　|　教师版（含解析） 适用范围：4.1 指数（根式、分数指数幂、指数幂的运算性质），4.2 对数（对数的概念、对数的运算性质、换底公式）。建议用时 90 分钟。 一、知识梳理 知识点 1　根式与分数指数幂 1． 次方根：若 （，），则 叫做 的 次方根。 为奇数时方根唯一； 为偶数时，正数 的偶次方根有两个，互为相反数。 2．根式的性质：；当 为奇数时 ；当 为偶数时 。 3．分数指数幂：，（，，）。 4．规定： 的正分数指数幂为 ， 的负分数指数幂无意义；负数的分数指数幂一般无意义，故分数指数幂的底数要求 。 易错提醒： 不一定等于 。 为偶数时必须加绝对值，如 。 知识点 2　指数幂的运算性质 1．同底数幂：，（）。 2．幂的乘方：；积的乘方：；商的乘方：。 3．上述性质对有理数指数幂都成立，运算时先统一为分数指数幂，再按“系数、同底数”分别合并。 4．常用技巧：，，负指数先取倒数再算正指数。 方法提炼：化简顺序为“化分数指数幂→定符号→合并同底数幂→写最简结果”，指数为负时把底数颠倒。 知识点 3　指数式的条件求值 1．平方关系：，。 2．由此可得：；。 3．立方关系：；。 4．解题思路：把所求式用已知式表示（升幂或降幂），整体代入，注意 等符号判断。 知识点 4　对数的概念与指数式、对数式的互化 1．定义：若 （，，），则 。其中 叫底数， 叫真数。 2．互化：。“底数不变，指数与对数互换位置”。 3．两个特殊对数：以 为底记作 （常用对数），以 为底记作 （自然对数）。 4．基本结论：，，（对数恒等式）。 易错提醒：真数必须大于 ，底数必须大于 且不等于 。求 时，不可漏掉 且 的限制。 知识点 5　对数的运算性质 1．积的对数：（）。 2．商的对数：。 3．幂的对数：（）；。 4．常用结论：；。 易错提醒：；。这两类是本章最常见的错误。 知识点 6　换底公式 1．换底公式：（）。 2．常用变形：；。 3．连乘型：，中间底数“约掉”。 4．条件求值：把待求对数换成与已知同底（通常换为常用对数），再用已知表示。 知识点 7　指对互化与对数恒等式 1． 是解决“指数条件求对数式、对数条件求指数式”的基本工具。 2．常用手法：设 ，取对数得 ，即 ；反之把对数还原为指数。 3．形如 的条件，常取以 为底的对数，得 ，，从而 。 4．解对数方程必须检验真数为正；解指数方程常用换元，注意新元为正。 知识点 8　指数与对数的综合运算 1．混合运算的顺序：先算指数幂与根式，再算对数，最后四则运算。 2．恒等式 常用于“对数在指数上”的化简。 3． 型：先由对数条件确定 ，再合并指数；如 表示 。 4．计算中随时用 、、 简化。 二、典例精讲（每知识点 2 例 2 变式） 知识点 1　根式与分数指数幂 【例 1】计算：（1）；（2）；（3）。 【解析】（1） 为奇数，。 （2） 为偶数，。 （3） 为偶数，。因为 ，所以 。 【答案】（1）；（2）；（3） 【例 2】用分数指数幂表示并化简 （）。 【解析】先把根式化为分数指数幂：，所以 。 再由 。 所以原式 。 【答案】 【变式 1】化简 （）。 【解析】化为分数指数幂：，。 相除得 。 【答案】 【变式 2】计算 。 【解析】（因为 ）。 （立方根不需加绝对值）。 所以原式 。 【答案】 知识点 2　指数幂的运算性质 【例 3】计算 。 【解析】，故 。 ；，故 ；。 所以原式 。 【答案】 【例 4】化简 （，）。 【解析】系数：。 的指数：。 的指数：，即 。 所以原式 。 【答案】 【变式 3】计算 。 【解析】；；。 所以原式 。 【答案】 【变式 4】化简 （，）。 【解析】由幂的乘方，。 所以原式 。 【答案】 知识点 3　指数式的条件求值 【例 5】已知 ，求 的值。 【解析】两边平方：。 所以 。 【答案】 【例 6】已知 ，求 的值。 【解析】，。 所以 。 【答案】 【变式 5】已知 ，求 的值。 【解析】把 两边平方：。 所以 。 【答案】 【变式 6】已知 ，求 的值。 【解析】两边平方：。 所以 。 【答案】 知识点 4　对数的概念与指对互化 【例 7】把下列指数式化为对数式：（1）；（2）；（3）。 【解析】（1）。 （2）。 （3）。 【答案】（1）；（2）；（3） 【例 8】求值：（1）；（2）；（3）；（4）。 【解析】（1）因为 ，所以 。 （2）因为 ，所以 。 （3）由对数的定义，。 （4）因为 ，所以 。 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【变式 7】求 的值。 【解析】设 ，则 ，即 。 所以 ，，即 。 【答案】 【变式 8】已知 ，求 的值。 【解析】由对数式化指数式得 。 又底数需满足 且 ，所以 （ 舍去）。 【答案】 知识点 5　对数的运算性质 【例 9】计算：（1）；（2）；（3）。 【解析】（1）。 （2）。 （3），所以原式 。 【答案】（1）；（2）；（3） 【例 10】计算 。 【解析】因为 ，所以原式 。 展开得 。 又 ，所以原式 。 【答案】 【变式 9】计算 。 【解析】，。 所以原式 。 【答案】 【变式 10】计算 。 【解析】分子：。 分母：。 所以原式 。 【答案】 知识点 6　换底公式 【例 11】计算 。 【解析】由换底公式，。 所以原式 。 【答案】 【例 12】已知 ，，用 、 表示 。 【解析】由换底公式，。 ；。 所以 。 【答案】 【变式 11】计算 。 【解析】；。 所以原式 。 【答案】 【变式 12】已知 ，求 （用 表示）。 【解析】。 【答案】 知识点 7　指对互化与对数恒等式 【例 13】已知 ，求 的值。 【解析】由 得 ，所以 。 同理 。 所以 。 【答案】 【例 14】解方程 。 【解析】化为指数式：。 解得 ，且 ，符合真数为正的要求。 【答案】 【变式 13】已知 （），且 ，求 的值。 【解析】由 得 ；由 得 。 所以 ，即 。 因为 ，所以 。 【答案】 【变式 14】解方程 。 【解析】化为指数式：，即 ，。 所以 ，且满足 、。 【答案】 知识点 8　指数与对数的综合运算 【例 15】计算 。 【解析】由换底公式，，。 所以原式 。 【答案】 【例 16】已知 ，（，），求 的值。 【解析】由 得 ，所以 。 由 得 。 所以 。 【答案】 【变式 15】计算 。 【解析】由对数恒等式 ；。 所以原式 。 【答案】 【变式 16】已知 ，求 的值。 【解析】由 得 。 所以 。 【答案】 三、课后巩固 1．计算 。 【答案】。【简析】，，故和为 。 2．计算 。 【答案】。【简析】，，故和为 。 3．计算 。 【答案】。【简析】，，故和为 。 4．计算 。 【答案】。【简析】。 5．已知 ，求 的值。 【答案】。【简析】。 6．计算 。 【答案】。【简析】，故原式 。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $