第4章 指数与对数 本章总结提升(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1　解:(1)由3-3=可得log3=-3. (2)由=x可得log8x=-. (3)由ln 13=m可得em=13. (4)由loga(1+)=-1可得a-1=1+. 变式　解:(1)将ea=16化为对数式,可得a=ln 16. (2)将6=化为对数式,可得log64=-. (3)将log39=2化为指数式,可得32=9. (4)将logxy=z化为指数式,可得xz=y. 题型二 例2　解:(1)+-2=23+1-(33=8+1-3=6. (2)(·)-3÷=()-3÷(b-4a-1=b-2÷(b-2)=b-2-(-2)=a-1. (3)lg 25+lg 4-log49×log916=lg 100-log49×log942=2-2log49×log94=0. (4)lg 500+lg-lg 64+(lg 2+lg 5)2=lg 5+lg 100+lg 8-lg 5-lg 6+1=lg 100+lg 8-lg 8+1=lg 102+1=2+1=3. 变式　解:(1)原式=2lg 2+lg 52+2+·=2(lg 2+lg 5)+2+·=2+2+4=8. (2)原式=-1-+=-+=. (3)原式=+log3-5=+-5=×××+-5=+-5=2-5=-3. 题型三 例3　解:由3a=2,得log32=a. (1)log25====. (2)lg 2======. (3)log2045========. 例4　(1)12　(2)或2　[解析] (1)∵logm2=a,logm3=b,∴ma=2,mb=3,∴m2a+b=m2amb=(ma)2mb=22×3=12. (2)因为a3x+a-3x=(ax+a-x)(a2x-1+a-2x),所以==,所以a2x-1+a-2x=,设t=a2x,则a2x-1+a-2x=可化为t-1+=,即2t2-5t+2=0,解得t=或t=2,因为t=a2x>0,所以a2x=或a2x=2. 变式　解:(1)∵log127=m,log123=n,∴log2863====. (2)因为-=1,所以(-)2=1, 即a-2+a-1=1,所以a+a-1=3, 所以(a+a-1)2=32,即a2+2+a-2=9, 所以a2+a-2=7,所以==4. 题型四 例5　10　[解析] 设生物组织内原有的碳14含量为x,需要经过n(n∈N)个“半衰期”,用一般的放射性探测器就不能测到碳14了,则x·<x,即<0.001,由参考数据可知,≈0.001 95>0.001,≈0.001 95×=0.000 975<0.001,所以n≥10,即死亡生物组织内的碳14至少经过了10个“半衰期”,用一般的放射性探测器就不能测到碳14了. 变式　(1)40　[解析] 由题意可得两式作商可得=,解得可得P=0.05·.令0.05·=50%,解得t=≈40. (2)解:由题知54=p0e-5000k①,36=p0e-8000k②, 由①÷②得e3000k=,所以3000k=ln③. 当p=72 kPa时,72=p0e-kh④, 由②÷④得ekh-8000k=,所以kh-8000k=ln⑤, 由⑤÷③,得====≈,解得h≈2869 m. 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结提升 ◆ 题型一　指数式与对数式互化 [类型总述] (1)指数式;(2)对数式;(3)ab=N⇔logaN=b(a>0且a≠1). 例1 将下列指数式与对数式互化. (1)3-3=; (2)=x; (3)ln 13=m; (4)loga(1+)=-1. 变式 将下列指数式与对数式互化: (1)ea=16; (2)6=; (3)log39=2; (4)logxy=z(x>0且x≠1,y>0). ◆ 题型二　指数与对数运算 [类型总述] (1)指数式;(2)指数的运算性质;(3)对数式;(4)对数的运算性质;(5)对数换底公式. 例2 计算下列各式的值: (1)+-2; (2)(·)-3÷(a>0,b>0); (3) lg 25+lg 4-log49×log916; (4)lg 500+lg-lg 64+(lg 2+lg 5)2. 变式 计算下列各式的值: (1)2lg 2+lg 25++log89×log364; (2)-(-9.6)0-+; (3)(log43+log83)(log32+log92)+log3-. ◆ 题型三　指数与对数的综合运用 [类型总述] (1)指数的运算性质;(2)对数的运算性质;(3)对数的换底公式. 例3 已知 3a=2,log53=b,试用a,b分别表示下列各式: (1)log25;(2)lg 2;(3)log2045. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 例4 (1)已知logm2=a,logm3=b,则m2a+b的值为　　　　.  (2)已知=(a>0,且a≠1),则a2x=　　　　.  变式 (1)已知log127=m,log123=n,试用m,n表示log2863. (2)已知-=1,求的值. ◆ 题型四　指数与对数的实际应用 [类型总述] (1)指数运算;(2)对数运算;(3)实际应用;(4)数学建模. 例5 当生物死亡后,它机体内原有的碳14会按确定的规律衰减.按照惯例,人们将每克组织的碳14含量作为一个单位.大约每经过5730年,一个单位的碳14衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物组织内的碳14的含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到碳14了.如果用一般的放射性探测器不能测到碳14,那么死亡生物组织内的碳14至少经过了　　　　个“半衰期”.  变式 (1)已知某种科技产品的利润率为P,预计5年内与时间t(单位:月)满足函数关系式P=abt(其中a,b为非零常数).若经过12个月,利润率为10%,经过24个月,利润率为20%,那么当利润率达到50%,大约需要经过　　　　个月(精确到整数,参考数据:lg 2≈0.301 0)  (2)大气压强p(单位:kPa)与海拔h(单位:m)之间的关系可以由p=p0e-kh近似描述,其中p0为标准大气压强,k为常数.已知海拔为5000 m,8000 m两地的大气压强分别为54 kPa,36 kPa.若测得某地的大气压强为72 kPa,求该地的海拔的近似值.(精确到整数,参考数据:lg 2≈0.301,lg 3≈0.477) 学科网（北京）股份有限公司 $