第二章 常用逻辑用语 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

苏教版必修第一册　第二章 常用逻辑用语　·　拔高版　·　学生版 苏教版高中数学必修第一册　第二章《常用逻辑用语》 期中章节复习讲义 · 拔高版（难度系数 0.45）　|　学生版 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿＿＿ 适用范围：2.1 命题、定理、定义，2.2 充分条件、必要条件、充要条件，2.3 全称量词命题与存在量词命题。建议用时 100 分钟。 一、知识梳理 本章是高中数学的“语言层”：命题判断真假，充分必要条件刻画“推出”关系，量词与否定刻画“全体”与“存在”。复习时抓住三条主线：①命题的真假（含反例构造）；②推出关系（定义法、集合法、等价转化）；③量词与否定（改量词、否结论）。 知识点 1　命题的概念与真假判断 1．命题：可以判断真假的陈述句；判断为真的叫真命题，判断为假的叫假命题。疑问句、祈使句、感叹句与含变量的开语句都不是命题。 2．命题常写成“若 则 ”的形式， 为条件， 为结论；改写时不能改变原意。 3．判断假命题的常用方法：举反例。反例要具体、可验证，一个反例即可推翻全称性的结论。 4．判断真命题的常用方法：直接推理（用已学性质、定理），或反证法（假设结论不成立，推出矛盾）。 方法提炼：涉及不等式的真假判断，要特别注意“”“符号未知”“取倒数”这三类陷阱，它们往往正是反例的来源。 知识点 2　充分条件、必要条件的判断 1．： 是 的充分条件， 是 的必要条件；：互为充要条件。 2．四种关系：充分不必要（，）、必要不充分、充要、既不充分也不必要。 3．集合法：设 ，，则 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件， 充要条件。 4．等价法： 与 等价，当正面推理困难时可转化为逆否形式。 记号说明： 表示 是 的真子集。方法提炼：判断“”时，优先构造使 成立、 不成立的具体数值，而不是停留在感觉上。 知识点 3　充要条件的证明与探求 1．证明充要条件：“充分性”证 ，“必要性”证 ，两个方向缺一不可，且必须分别标明。 2．探求充要条件：先对研究对象作等价变形（配方、因式分解、判别式、单调性），再检验两个方向。 3．证明“不成立”常用反证法：假设条件成立而结论不成立，推出与已知性质矛盾。 4．含参数的充要条件问题，最终答案往往是一个范围，注意端点能否取到。 易错提醒：把“充分性”与“必要性”写反是本章证明题的高频错误；建议动笔前先写“ 是条件、 是结论”，再定方向。 知识点 4　全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词命题 ：对 中每一个元素都成立才为真；有一个反例即为假。 2．存在量词命题 ： 中有一个元素成立即为真；必须证明“一个也没有”才为假。 3．含参量词命题的转化：；。 4．二次型情形： 需 且 （ 时单独讨论）； 需 （ 时单独讨论）。 知识点 5　全称量词命题与存在量词命题的否定 1．；。 2．否定的实质是“改量词、否结论”，条件部分不改。 3．常见词语的否定：都是→不都是；至少一个→一个也没有；至多一个→至少两个；→；→；→。 4．“命题的否定”与“否命题”不同：命题的否定只否定结论，真假与原命题相反；否命题同时否定条件和结论。 方法提炼：写否定后应立即回代检验——原命题与否定命题必一真一假，可用来发现“漏改量词”或“漏改不等号”的错误。 知识点 6　由命题真假求参数范围 1．全称命题为真 恒成立；全称命题为假 存在反例。 2．存在命题为真 有解；存在命题为假 恒不成立。 3．“真假互化”：若直接求“为真”较繁，可先求“为假”的参数范围，再取补集。 4．区间最值法：把恒成立问题转化为 或 ，再用单调性或基本不等式求最值。 知识点 7　充要条件与集合、不等式的综合 1．“ 是 的充分不必要条件”；“必要不充分”。 2．解题流程：解不等式（注意二次项系数符号）→ 写出集合 → 由包含关系列端点不等式 → 代回检验端点。 3．端点检验的必要性：区间开闭不同会导致端点处的包含关系改变，这是“多算一个端点”或“少算一个端点”的根源。 知识点 8　常用逻辑用语与函数性质的综合 1．单调性的定义本身就是一个全称量词命题： 在 上递增 ，。 2．奇偶性：偶函数 ；奇函数 。 3．抽象函数与充要条件结合时，常用“ 单调 去掉 的符号”：（ 递增）。 4．二次函数在给定区间上单调的充要条件：对称轴不在区间内部（可在端点处）。 二、典例精讲（每知识点 2 例 2 变式） 知识点 1　命题的概念与真假判断 【例 1】判断下列命题的真假，并说明理由： （1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ；（3）若 ，则 。 解： 【例 2】判断命题“若 ，则 或 ”的真假，并证明你的结论。 解： 【变式 1】判断命题“若 ，则 或 ”的真假，并说明理由。 解： 【变式 2】判断命题“若 ，则 ”的真假，并说明理由。 解： 知识点 2　充分条件、必要条件的判断 【例 3】判断下列各题中 是 的什么条件： （1） 且 ， 且 ； （2），； （3），。 解： 【例 4】设 ，判断“ 且 ”是“ 且 ”的什么条件。 解： 【变式 3】判断“”是“”的什么条件。 解： 【变式 4】判断“”是“ 或 ”的什么条件。 解： 知识点 3　充要条件的证明与探求 【例 5】证明：函数 在区间 上单调递增的充要条件是 。 解： 【例 6】证明：“ 且 ”的充要条件是“ 且 ”。 解： 【变式 5】证明： 的充要条件是 且 （）。 解： 【变式 6】证明：关于 的方程 （）有两个正根的充要条件是 ， 且 。 解： 知识点 4　全称量词命题与存在量词命题 【例 7】判断下列命题的真假： （1）；（2）； （3）；（4）。 解： 【例 8】已知命题 是假命题，求实数 的取值范围。 解： 【变式 7】若命题“”是假命题，求实数 的取值范围。 解： 【变式 8】已知命题“”是真命题，求实数 的取值范围。 解： 知识点 5　全称量词命题与存在量词命题的否定 【例 9】写出下列命题的否定，并判断真假： （1）；（2）；（3）每个函数都有最大值。 解： 【例 10】已知命题 的否定为假命题，求实数 的取值范围。 解： 【变式 9】写出命题“”的否定，并求使原命题为真的实数 的取值范围。 解： 【变式 10】写出命题“所有能被 整除的数都能被 整除”的否定，并判断原命题与否定命题的真假。 解： 知识点 6　由命题真假求参数范围 【例 11】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 解： 【例 12】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 解： 【变式 11】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 解： 【变式 12】若命题“”是真命题，求实数 的取值范围。 解： 知识点 7　充要条件与集合、不等式的综合 【例 13】已知 ，，，。若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 解： 【例 14】已知 ，。若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 解： 【变式 13】已知 ，，，。若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 解： 【变式 14】已知 ，。若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 解： 知识点 8　常用逻辑用语与函数性质的综合 【例 15】证明：函数 在区间 上单调递增的充要条件是 。 解： 【例 16】设 是定义在 上的增函数，证明：“”是“”的充要条件。 解： 【变式 15】设 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增。判断“”是“”的什么条件。 解： 【变式 16】已知 ，求“ 在区间 上单调”的充要条件。 解： 三、综合提升 1．已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 2．若命题“”是假命题，求实数 的取值范围。 3．证明：函数 在区间 上单调的充要条件是 或 。 4．已知命题 的否定是真命题，求实数 的取值范围。 5．已知 ，（）。若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏教版必修第一册　第二章 常用逻辑用语　·　拔高版　·　教师版 苏教版高中数学必修第一册　第二章《常用逻辑用语》 期中章节复习讲义 · 拔高版（难度系数 0.45）　|　教师版（含解析） 适用范围：2.1 命题、定理、定义，2.2 充分条件、必要条件、充要条件，2.3 全称量词命题与存在量词命题。 一、知识梳理 本章是高中数学的“语言层”：命题判断真假，充分必要条件刻画“推出”关系，量词与否定刻画“全体”与“存在”。复习时抓住三条主线：①命题的真假（含反例构造）；②推出关系（定义法、集合法、等价转化）；③量词与否定（改量词、否结论）。 知识点 1　命题的概念与真假判断 1．命题：可以判断真假的陈述句；判断为真的叫真命题，判断为假的叫假命题。疑问句、祈使句、感叹句与含变量的开语句都不是命题。 2．命题常写成“若 则 ”的形式， 为条件， 为结论；改写时不能改变原意。 3．判断假命题的常用方法：举反例。反例要具体、可验证，一个反例即可推翻全称性的结论。 4．判断真命题的常用方法：直接推理（用已学性质、定理），或反证法（假设结论不成立，推出矛盾）。 方法提炼：涉及不等式的真假判断，要特别注意“”“符号未知”“取倒数”这三类陷阱，它们往往正是反例的来源。 知识点 2　充分条件、必要条件的判断 1．： 是 的充分条件， 是 的必要条件；：互为充要条件。 2．四种关系：充分不必要（，）、必要不充分、充要、既不充分也不必要。 3．集合法：设 ，，则 是 的充分不必要条件， 是 的必要不充分条件， 充要条件。 4．等价法： 与 等价，当正面推理困难时可转化为逆否形式。 记号说明： 表示 是 的真子集。方法提炼：判断“”时，优先构造使 成立、 不成立的具体数值，而不是停留在感觉上。 知识点 3　充要条件的证明与探求 1．证明充要条件：“充分性”证 ，“必要性”证 ，两个方向缺一不可，且必须分别标明。 2．探求充要条件：先对研究对象作等价变形（配方、因式分解、判别式、单调性），再检验两个方向。 3．证明“不成立”常用反证法：假设条件成立而结论不成立，推出与已知性质矛盾。 4．含参数的充要条件问题，最终答案往往是一个范围，注意端点能否取到。 易错提醒：把“充分性”与“必要性”写反是本章证明题的高频错误；建议动笔前先写“ 是条件、 是结论”，再定方向。 知识点 4　全称量词命题与存在量词命题 1．全称量词命题 ：对 中每一个元素都成立才为真；有一个反例即为假。 2．存在量词命题 ： 中有一个元素成立即为真；必须证明“一个也没有”才为假。 3．含参量词命题的转化：；。 4．二次型情形： 需 且 （ 时单独讨论）； 需 （ 时单独讨论）。 知识点 5　全称量词命题与存在量词命题的否定 1．；。 2．否定的实质是“改量词、否结论”，条件部分不改。 3．常见词语的否定：都是→不都是；至少一个→一个也没有；至多一个→至少两个；→；→；→。 4．“命题的否定”与“否命题”不同：命题的否定只否定结论，真假与原命题相反；否命题同时否定条件和结论。 方法提炼：写否定后应立即回代检验——原命题与否定命题必一真一假，可用来发现“漏改量词”或“漏改不等号”的错误。 知识点 6　由命题真假求参数范围 1．全称命题为真 恒成立；全称命题为假 存在反例。 2．存在命题为真 有解；存在命题为假 恒不成立。 3．“真假互化”：若直接求“为真”较繁，可先求“为假”的参数范围，再取补集。 4．区间最值法：把恒成立问题转化为 或 ，再用单调性或基本不等式求最值。 知识点 7　充要条件与集合、不等式的综合 1．“ 是 的充分不必要条件”；“必要不充分”。 2．解题流程：解不等式（注意二次项系数符号）→ 写出集合 → 由包含关系列端点不等式 → 代回检验端点。 3．端点检验的必要性：区间开闭不同会导致端点处的包含关系改变，这是“多算一个端点”或“少算一个端点”的根源。 知识点 8　常用逻辑用语与函数性质的综合 1．单调性的定义本身就是一个全称量词命题： 在 上递增 ，。 2．奇偶性：偶函数 ；奇函数 。 3．抽象函数与充要条件结合时，常用“ 单调 去掉 的符号”：（ 递增）。 4．二次函数在给定区间上单调的充要条件：对称轴不在区间内部（可在端点处）。 二、典例精讲（每知识点 2 例 2 变式） 知识点 1　命题的概念与真假判断 【例 1】判断下列命题的真假，并说明理由： （1）若 ，则 ；（2）若 ，则 ；（3）若 ，则 。 【解析】（1）假命题。反例： 时 ，不满足严格大于。 （2）真命题。由不等式的基本性质，两边同加一个实数，不等号方向不变。 （3）假命题。反例：，此时 ，，，与 矛盾。 【答案】（1）假；（2）真；（3）假 【例 2】判断命题“若 ，则 或 ”的真假，并证明你的结论。 【解析】该命题是真命题。 证明（反证法）：假设结论不成立，即 且 。 由不等式的基本性质，两同向不等式相加得 ，这与已知条件 矛盾。 所以假设不成立，即 或 ，原命题为真。 【答案】真命题 【变式 1】判断命题“若 ，则 或 ”的真假，并说明理由。 【解析】该命题是假命题。 反例：取 ，则 ，但 且 ，结论不成立。 所以原命题为假。 【答案】假命题 【变式 2】判断命题“若 ，则 ”的真假，并说明理由。 【解析】该命题是假命题。 反例：取 ，则 ，但 ，结论不成立。 所以原命题为假。 【答案】假命题 知识点 2　充分条件、必要条件的判断 【例 3】判断下列各题中 是 的什么条件： （1） 且 ， 且 ； （2），； （3），。 【解析】（1）若 ，则 且 ，故 。 反之，取 ，则 ，，但 ，故 。所以 是 的充分不必要条件。 （2）由不等式的基本性质，，两个方向都成立。所以 是 的充要条件。 （3） 的解集为 ，它是 的真子集，故 而 。所以 是 的充分不必要条件。 【答案】（1）充分不必要；（2）充要；（3）充分不必要 【例 4】设 ，判断“ 且 ”是“ 且 ”的什么条件。 【解析】①若 且 ，则显然 且 。 ②若 且 ：由 知 同号；若 且 ，则 ，与 矛盾。故 且 。 所以两者互为充要条件。 【答案】充要条件 【变式 3】判断“”是“”的什么条件。 【解析】若 ，则 ，故 成立，充分性成立。 反之，取 ，则 成立，但 ，故必要性不成立。 所以“”是“”的充分不必要条件。 【答案】充分不必要条件 【变式 4】判断“”是“ 或 ”的什么条件。 【解析】若 ，则 不可能都小于或等于 （否则 ），故 或 ，充分性成立。 反之，取 ，则 成立，但 ，必要性不成立。 所以“”是“ 或 ”的充分不必要条件。 【答案】充分不必要条件 知识点 3　充要条件的证明与探求 【例 5】证明：函数 在区间 上单调递增的充要条件是 。 【解析】①充分性：设 ，任取 ，则 。 因为 ，且 ，所以 ，从而 ，即 。故 在 上递增。 ②必要性：若 在 上递增，假设 。取 ，，则 ，且 ，于是 ，即 ，与递增矛盾。故 。 由①②知，充要条件是 。 【答案】 【例 6】证明：“ 且 ”的充要条件是“ 且 ”。 【解析】①充分性：若 且 ，则 且 。 ②必要性：若 且 。由 知 同号。若 ，则 ，与 矛盾；故 且 。 由①②知，二者互为充要条件。 【答案】证明见解析 【变式 5】证明： 的充要条件是 且 （）。 【解析】①充分性：若 且 ，则 。 ②必要性：若 。因为 ，，两个非负数之和为 ，必须每个都为 ，故 且 ，即 且 。 由①②知，充要条件成立。 【答案】证明见解析 【变式 6】证明：关于 的方程 （）有两个正根的充要条件是 ， 且 。 【解析】①必要性：若方程有两个正根 ，则 ；且 ，。 ②充分性：若 ，则方程有实根 。由 知两根同号；再由 知两根同为正。 由①②知，充要条件成立。 【答案】证明见解析 知识点 4　全称量词命题与存在量词命题 【例 7】判断下列命题的真假： （1）；（2）； （3）；（4）。 【解析】（1）真命题。因为 。 （2）假命题。因为 ，不存在实数使其小于 。 （3）真命题。当 时， 的最大值为 。 （4）真命题。取 ，则 。 【答案】（1）真；（2）假；（3）真；（4）真 【例 8】已知命题 是假命题，求实数 的取值范围。 【解析】 为假，等价于其否定为真，即 。 也就是 在 上有解，故 小于 在 上的最大值 。 所以 。 【答案】 【变式 7】若命题“”是假命题，求实数 的取值范围。 【解析】原命题为假，等价于“”为真，即 对一切 成立。 故 小于 在 上的最小值 。 所以 。 【答案】 【变式 8】已知命题“”是真命题，求实数 的取值范围。 【解析】由 且 （），两边同除以 得 。 要使该式对一切 成立，需 。 当 时，，当且仅当 时取等号，故最小值为 。 所以 。 【答案】 知识点 5　全称量词命题与存在量词命题的否定 【例 9】写出下列命题的否定，并判断真假： （1）；（2）；（3）每个函数都有最大值。 【解析】（1）否定：。取 时左边为 ，故否定为真命题，原命题为假命题。 （2）否定：。因为 是无理数，有理数的平方不等于 ，否定为真命题，原命题为假命题。 （3）否定：有些函数没有最大值。如 在 上无最大值，否定为真命题。 【答案】见解析 【例 10】已知命题 的否定为假命题，求实数 的取值范围。 【解析】命题的否定为假，等价于原命题 为真。 即 对一切实数恒成立，故 ，解得 。 【答案】 【变式 9】写出命题“”的否定，并求使原命题为真的实数 的取值范围。 【解析】否定为：。 原命题为真，等价于存在实数 使 ，即 。 解得 或 。 【答案】否定：； 或 【变式 10】写出命题“所有能被 整除的数都能被 整除”的否定，并判断原命题与否定命题的真假。 【解析】否定：存在能被 整除的数不能被 整除。 原命题是假命题，反例： 能被 整除，但不能被 整除。 否定命题是真命题。 【答案】否定：存在能被 整除的数不能被 整除；原命题假，否定真 知识点 6　由命题真假求参数范围 【例 11】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 【解析】（1）当 时，不等式化为 ，恒成立，符合题意。 （2）当 时，需 且 ，解得 。 综上，。 【答案】 【例 12】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 【解析】由 且 得 。 为真，即 在 上有解，故 。 当 时，（ 时取等号），最小值为 。 所以 。 【答案】 【变式 11】已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 【解析】由 且 得 对一切 成立。 故 。 所以 。 【答案】 【变式 12】若命题“”是真命题，求实数 的取值范围。 【解析】（1）当 时，方程为 ，有解 ，符合题意。 （2）当 时，需 ，解得 。 综上，。 【答案】 知识点 7　充要条件与集合、不等式的综合 【例 13】已知 ，，，。若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 【解析】 是 的必要不充分条件，等价于 。 由 得 且 ，即 。 又 的长度为 ， 的长度为 ，故 恒成立。 所以 。 【答案】 【例 14】已知 ，。若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 【解析】 对应集合 ； 即 ，对应集合 。 是 的必要不充分条件，等价于 。 由 得 且 （因为 的端点取不到），即 。 此时 （长度 ），故 。 【答案】 【变式 13】已知 ，，，。若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围。 【解析】解不等式得 。 是 的必要不充分条件，等价于 ，即 且 。 解得 ；又 的长度为 ， 的长度为 ， 恒成立。 所以 。 【答案】 【变式 14】已知 ，。若“”是“”的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 【解析】“”是“”的充分不必要条件，等价于 。 由 得 。当 时，，， 成立。 所以 。 【答案】 知识点 8　常用逻辑用语与函数性质的综合 【例 15】证明：函数 在区间 上单调递增的充要条件是 。 【解析】①充分性：若 ，则 图象的对称轴 不在区间 的内部，故 在 上递增。 也可用定义验证：设 ，则 ，其中 ，，故差小于 ， 递增。 ②必要性：若 在 上递增，假设 ，则 在 上递减，与在 上递增矛盾。故 。 由①②知，充要条件是 。 【答案】 【例 16】设 是定义在 上的增函数，证明：“”是“”的充要条件。 【解析】①充分性：若 ，则 且 。由 递增得 ，，两式相加得 。 ②必要性：若 ，假设 ，则 且 ，由 递增得 ，，相加得 ，与已知矛盾。故 。 由①②知，二者互为充要条件。 【答案】证明见解析 【变式 15】设 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增。判断“”是“”的什么条件。 【解析】先判断 在 上递增：任取 ，则 ，由 在 递增及 为奇函数得 ，故 在 上递增。 于是 。 所以“”是“”的充要条件。 【答案】充要条件 【变式 16】已知 ，求“ 在区间 上单调”的充要条件。 【解析】 的图象开口向上，对称轴为 。 若 在 上单调递增，则 ；若在 上单调递减，则 。 所以 在 上单调的充要条件是 或 。 【答案】 或 三、综合提升 1．已知命题 是真命题，求实数 的取值范围。 【答案】。【简析】由 得 对一切 成立，故 。函数 在 上递增，最大值在 处取得，为 ，故 ，即 。 2．若命题“”是假命题，求实数 的取值范围。 【答案】。【简析】原命题为假，等价于“”为真，即 恒成立，故 。 3．证明：函数 在区间 上单调的充要条件是 或 。 【答案】证明见解析。【简析】充分性： 时对称轴 在区间左侧， 在 上递增； 时对称轴在区间右侧， 在 上递减。必要性：若 在 上单调，则对称轴不能在区间内部，即 ，故 或 。 4．已知命题 的否定是真命题，求实数 的取值范围。 【答案】。【简析】否定为“”，为真即 ，解得 。也可由“否定真”得“原命题假”，即存在 使 。 5．已知 ，（）。若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 【答案】。【简析】 对应 ； 即 ，因 ，对应 。由 得 且 ，即 。检验： 时 ； 时 ，均符合。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $