第三章 不等式 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

苏教版必修第一册　第三章 不等式　·　基础版　·　学生版 苏教版高中数学必修第一册　第三章《不等式》 期中章节复习讲义 · 基础版（难度系数 0.60）　|　学生版 班级：＿＿＿＿＿＿＿＿　　姓名：＿＿＿＿＿＿＿＿　　得分：＿＿＿＿＿＿＿＿ 适用范围：3.1 不等式的基本性质，3.2 基本不等式，3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式。建议用时 90 分钟。 一、知识梳理 知识点 1　不等式的基本性质与比较大小 1．比较大小的依据：；；。 2．作差法：作差→变形（因式分解、配方、通分）→判断符号→下结论。变形到能明显看出符号为止。 3．不等式的基本性质： （1）对称性：； （2）传递性：； （3）可加性：； （4）可乘性：；。 4．常用推论：；；；。 易错提醒：同向不等式可以相加，但不能相减、相除；两边同乘一个数时，必须判断它是正数还是负数。，除非 。 知识点 2　不等式性质的应用（求取值范围） 1．已知几个量的范围，求它们的和、差的范围：先把每个量的范围“调整”到所需形式，再用同向不等式相加。 2．求差的范围时，先取相反数（不等号方向改变），再相加，如由 得 。 3．求积的范围时，先判断各量的正负，再确定乘积的最大值与最小值。 4．求平方的范围时注意：若 的取值跨过 ，则 的最小值为 ，不能简单地把端点平方。 方法提炼：范围问题一律“化归为同向不等式相加”，切忌对两个不等式直接相减。 知识点 3　基本不等式及其成立条件 1．基本不等式：若 ，则 ，当且仅当 时取等号。 2．常用变形：；。 3．使用条件（一正、二定、三相等）：两个量都为正数；和或积为定值；能取到等号。三者缺一不可。 4．两个常用结论：若 为定值 ，则当 时 取最小值 ；若 为定值 ，则当 时 取最大值 。 易错提醒：若 ，不能直接用 ，应先化为 ，再用基本不等式。 知识点 4　基本不等式的配凑应用 1．“拆项配凑”：把 化为 ，使积为定值。 2．“凑积定值”：求 （）的最大值，利用 为定值。 3．“取倒数”：求 的最值时，先化为 ，再用基本不等式。 4．配凑的原则：凑出“和为定值”或“积为定值”，并保证等号能取到。 知识点 5　“1”的代换 1．若已知 （或类似条件），求 的最小值时，把 写成 ，展开后使用基本不等式。 2．若已知 ，求 的最小值，同样乘以 ，因为 ，乘后值不变。 3．口诀：“乘 1 不变，展开凑积定”，最后一定要回代检验等号成立的条件。 方法提炼：凡是“已知和为定值求倒数和”或“已知倒数和为定值求和”的题目，都可以用“1”的代换。 知识点 6　一元二次不等式的解法 1．求解步骤：移项整理成 （或 ）的形式，且使 ；求判别式 与方程的根；结合图象写出解集。 2．当 时： 时“大于取两边，小于取中间”； 时， 的解集为 ， 的解集为 ； 时， 的解集为 ， 的解集为 。 3．二次项系数为负时，先两边同乘 ，注意不等号方向改变。 4．解集要写成集合或不等式的形式，端点能否取到由原不等式中的等号决定。 知识点 7　三个“二次”之间的关系 1．二次函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程 的根，也是不等式解集的端点。 2．由解集反求系数：若 的解集为 ，则 ，且 是方程的两根，可用根与系数的关系求 。 3．判别式 决定方程根的个数： 两个不等实根； 两个相等实根； 无实根。 易错提醒：由解集 判断开口方向时，若解集是“两根之间”，则 ；若解集是“两根之外”，则 。 知识点 8　一元二次不等式的恒成立问题 1． 恒成立的条件： 且 ；若 ，需单独讨论。 2． 恒成立的条件： 且 。 3．区间上恒成立：；也可分离参数，转化为求最值。 4．解集为 与“恒成立”是同一问题的两种说法，解集为 则对应“恒不成立”。 二、典例精讲（每知识点 2 例 2 变式） 知识点 1　不等式的基本性质与比较大小 【例 1】比较 与 的大小。 解： 【例 2】已知 ，，判断下列结论是否正确： （1）；（2）。 解： 【变式 1】比较 与 的大小。 解： 【变式 2】已知 ，判断“”是否一定成立，并说明理由。 解： 知识点 2　不等式性质的应用（求取值范围） 【例 3】已知 ，，求 与 的取值范围。 解： 【例 4】已知 ，，求 、、 的取值范围。 解： 【变式 3】已知 ，求 的取值范围。 解： 【变式 4】已知 ，求 的取值范围。 解： 知识点 3　基本不等式及其成立条件 【例 5】已知 ，求 的最小值。 解： 【例 6】已知 ，，且 ，求 的最大值。 解： 【变式 5】已知 ，求 的最大值。 解： 【变式 6】已知 ，，且 ，求 的最小值。 解： 知识点 4　基本不等式的配凑应用 【例 7】已知 ，求 的最小值。 解： 【例 8】已知 ，求 的最大值。 解： 【变式 7】已知 ，求 的最小值。 解： 【变式 8】已知 ，求 的最大值。 解： 知识点 5　“1”的代换 【例 9】已知 ，，且 ，求 的最小值。 解： 【例 10】已知 ，，且 ，求 的最小值。 解： 【变式 9】已知 ，，且 ，求 的最小值。 解： 【变式 10】已知 ，，且 ，求 的最小值。 解： 知识点 6　一元二次不等式的解法 【例 11】解不等式 。 解： 【例 12】解不等式 。 解： 【变式 11】解不等式 。 解： 【变式 12】解不等式 。 解： 知识点 7　三个“二次”之间的关系 【例 13】已知不等式 的解集为 ，求 、 的值。 解： 【例 14】已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围。 解： 【变式 13】已知不等式 的解集为 ，求 、 的值。 解： 【变式 14】已知不等式 的解集为 ，求不等式 的解集。 解： 知识点 8　一元二次不等式的恒成立问题 【例 15】已知不等式 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围。 解： 【例 16】已知不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围。 解： 【变式 15】已知不等式 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围。 解： 【变式 16】已知不等式 对一切 都成立，求实数 的取值范围。 解： 三、课后巩固 1．比较 与 的大小。 2．已知 ，求 的取值范围。 3．已知 ，求 的最小值。 4．解不等式 。 5．解不等式 。 6．已知 ，，且 ，求 的最小值。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $苏教版必修第一册　第三章 不等式　·　基础版　·　教师版 苏教版高中数学必修第一册　第三章《不等式》 期中章节复习讲义 · 基础版（难度系数 0.60）　|　教师版（含解析） 适用范围：3.1 不等式的基本性质，3.2 基本不等式，3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式。建议用时 90 分钟。 一、知识梳理 知识点 1　不等式的基本性质与比较大小 1．比较大小的依据：；；。 2．作差法：作差→变形（因式分解、配方、通分）→判断符号→下结论。变形到能明显看出符号为止。 3．不等式的基本性质： （1）对称性：； （2）传递性：； （3）可加性：； （4）可乘性：；。 4．常用推论：；；；。 易错提醒：同向不等式可以相加，但不能相减、相除；两边同乘一个数时，必须判断它是正数还是负数。，除非 。 知识点 2　不等式性质的应用（求取值范围） 1．已知几个量的范围，求它们的和、差的范围：先把每个量的范围“调整”到所需形式，再用同向不等式相加。 2．求差的范围时，先取相反数（不等号方向改变），再相加，如由 得 。 3．求积的范围时，先判断各量的正负，再确定乘积的最大值与最小值。 4．求平方的范围时注意：若 的取值跨过 ，则 的最小值为 ，不能简单地把端点平方。 方法提炼：范围问题一律“化归为同向不等式相加”，切忌对两个不等式直接相减。 知识点 3　基本不等式及其成立条件 1．基本不等式：若 ，则 ，当且仅当 时取等号。 2．常用变形：；。 3．使用条件（一正、二定、三相等）：两个量都为正数；和或积为定值；能取到等号。三者缺一不可。 4．两个常用结论：若 为定值 ，则当 时 取最小值 ；若 为定值 ，则当 时 取最大值 。 易错提醒：若 ，不能直接用 ，应先化为 ，再用基本不等式。 知识点 4　基本不等式的配凑应用 1．“拆项配凑”：把 化为 ，使积为定值。 2．“凑积定值”：求 （）的最大值，利用 为定值。 3．“取倒数”：求 的最值时，先化为 ，再用基本不等式。 4．配凑的原则：凑出“和为定值”或“积为定值”，并保证等号能取到。 知识点 5　“1”的代换 1．若已知 （或类似条件），求 的最小值时，把 写成 ，展开后使用基本不等式。 2．若已知 ，求 的最小值，同样乘以 ，因为 ，乘后值不变。 3．口诀：“乘 1 不变，展开凑积定”，最后一定要回代检验等号成立的条件。 方法提炼：凡是“已知和为定值求倒数和”或“已知倒数和为定值求和”的题目，都可以用“1”的代换。 知识点 6　一元二次不等式的解法 1．求解步骤：移项整理成 （或 ）的形式，且使 ；求判别式 与方程的根；结合图象写出解集。 2．当 时： 时“大于取两边，小于取中间”； 时， 的解集为 ， 的解集为 ； 时， 的解集为 ， 的解集为 。 3．二次项系数为负时，先两边同乘 ，注意不等号方向改变。 4．解集要写成集合或不等式的形式，端点能否取到由原不等式中的等号决定。 知识点 7　三个“二次”之间的关系 1．二次函数 的图象与 轴交点的横坐标，就是方程 的根，也是不等式解集的端点。 2．由解集反求系数：若 的解集为 ，则 ，且 是方程的两根，可用根与系数的关系求 。 3．判别式 决定方程根的个数： 两个不等实根； 两个相等实根； 无实根。 易错提醒：由解集 判断开口方向时，若解集是“两根之间”，则 ；若解集是“两根之外”，则 。 知识点 8　一元二次不等式的恒成立问题 1． 恒成立的条件： 且 ；若 ，需单独讨论。 2． 恒成立的条件： 且 。 3．区间上恒成立：；也可分离参数，转化为求最值。 4．解集为 与“恒成立”是同一问题的两种说法，解集为 则对应“恒不成立”。 二、典例精讲（每知识点 2 例 2 变式） 知识点 1　不等式的基本性质与比较大小 【例 1】比较 与 的大小。 【解析】作差：。 因为 ，所以 。 【答案】 【例 2】已知 ，，判断下列结论是否正确： （1）；（2）。 【解析】由 得 。 （1）因为 ，，由同向同正可乘得 ，两边同乘 得 。结论正确。 （2）因为 ，，由同向可加得 。结论正确。 【答案】（1）正确；（2）正确 【变式 1】比较 与 的大小。 【解析】作差：。 因为 ，所以 恒成立。 所以 对一切实数 都成立。 【答案】 【变式 2】已知 ，判断“”是否一定成立，并说明理由。 【解析】不一定成立。 反例：取 ，，满足 ，但 ，，此时 。 只有当 （即 同号）时，才有 。 【答案】不一定成立 知识点 2　不等式性质的应用（求取值范围） 【例 3】已知 ，，求 与 的取值范围。 【解析】由 ，，两同向不等式相加得 。 由 得 。 再与 相加得 。 【答案】； 【例 4】已知 ，，求 、、 的取值范围。 【解析】（1）两同向不等式相加得 。 （2）由 得 ，与 相加得 。 （3）因为 ，，所以 ，其中 ，，故 。 所以 。 【答案】；； 【变式 3】已知 ，求 的取值范围。 【解析】由 得 ，两边同减 得 。 【答案】 【变式 4】已知 ，求 的取值范围。 【解析】因为 的取值范围内包含 ，所以 的最小值为 （当 时取到）。 又 ，所以 （ 取不到，因为 取不到 和 ）。 所以 。 【答案】 知识点 3　基本不等式及其成立条件 【例 5】已知 ，求 的最小值。 【解析】因为 ，所以 ，由基本不等式得 。 当且仅当 ，即 时取等号。 所以最小值为 。 【答案】最小值为 （ 时取到） 【例 6】已知 ，，且 ，求 的最大值。 【解析】由基本不等式的变形 ，得 。 当且仅当 时取等号。 所以 的最大值为 。 【答案】最大值为 （ 时取到） 【变式 5】已知 ，求 的最大值。 【解析】因为 ，所以 ，。 由基本不等式得 。 所以 ，当且仅当 时取等号。 所以最大值为 。 【答案】最大值为 （ 时取到） 【变式 6】已知 ，，且 ，求 的最小值。 【解析】由基本不等式得 。 当且仅当 时取等号。 所以最小值为 。 【答案】最小值为 （ 时取到） 知识点 4　基本不等式的配凑应用 【例 7】已知 ，求 的最小值。 【解析】因为 ，所以 。 。 当且仅当 ，即 时取等号。 所以最小值为 。 【答案】最小值为 （ 时取到） 【例 8】已知 ，求 的最大值。 【解析】因为 ，所以 ，，且 为定值。 由基本不等式得 。 当且仅当 ，即 时取等号，最大值为 。 【答案】最大值为 （ 时取到） 【变式 7】已知 ，求 的最小值。 【解析】因为 ，所以 。 。 当且仅当 ，即 时取等号，最小值为 。 【答案】最小值为 （ 时取到） 【变式 8】已知 ，求 的最大值。 【解析】因为 ，所以 。 又 （当 时取等号），所以 。 当且仅当 时取等号，最大值为 。 【答案】最大值为 （ 时取到） 知识点 5　“1”的代换 【例 9】已知 ，，且 ，求 的最小值。 【解析】因为 ，所以 。 由基本不等式，。 所以原式 ，当且仅当 ，即 时取等号。 最小值为 。 【答案】最小值为 （ 时取到） 【例 10】已知 ，，且 ，求 的最小值。 【解析】因为 ，所以 。 由基本不等式，。 所以 ，当且仅当 时取等号。代入条件得 ，，。 最小值为 。 【答案】最小值为 （ 时取到） 【变式 9】已知 ，，且 ，求 的最小值。 【解析】。 当且仅当 时取等号，结合条件得 。 最小值为 。 【答案】最小值为 （ 时取到） 【变式 10】已知 ，，且 ，求 的最小值。 【解析】。 由基本不等式，。 所以原式 ，当且仅当 时取等号。 最小值为 。 【答案】最小值为 知识点 6　一元二次不等式的解法 【例 11】解不等式 。 【解析】因式分解：。 方程 的两根为 ，，且二次项系数 。 由“大于取两边”得解集为 。 【答案】 【例 12】解不等式 。 【解析】两边同乘 ，不等号方向改变，得 。 因式分解：，两根为 ，。 由“小于取中间”得解集为 。 【答案】 【变式 11】解不等式 。 【解析】，当且仅当 时等于 。 所以不等式的解集为 。 【答案】 【变式 12】解不等式 。 【解析】因为 ，方程 无实根。 又二次项系数 ，抛物线开口向上，所以 对一切实数成立。 解集为 。 【答案】 知识点 7　三个“二次”之间的关系 【例 13】已知不等式 的解集为 ，求 、 的值。 【解析】由解集的形式知， 与 是方程 的两个根。 由根与系数的关系：，。 所以 ，。 【答案】， 【例 14】已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围。 【解析】方程有两个不相等的实数根，等价于 。 整理得 ，即 ，因式分解得 。 解得 或 。 【答案】 或 【变式 13】已知不等式 的解集为 ，求 、 的值。 【解析】由解集是“两根之间”知 ，且 、 是方程 的两根。 由根与系数的关系：，即 ，得 。 又 ，即 ，得 。 所以 ，。 【答案】， 【变式 14】已知不等式 的解集为 ，求不等式 的解集。 【解析】由解集是“两根之外”知 ，且 、 是方程 的两根。 由根与系数的关系：，，即 ，。 代入 得 。因为 ，两边同除以 得 。 即 ，因式分解得 ，解得 或 。 所以解集为 。 【答案】 知识点 8　一元二次不等式的恒成立问题 【例 15】已知不等式 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围。 【解析】二次项系数 ，要使不等式恒成立，只需 。 ，解得 。 【答案】 【例 16】已知不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围。 【解析】（1）当 时，不等式化为 ，解集为 ，不是 ，舍去。 （2）当 时，需 且 ，解得 。 综上，。 【答案】 【变式 15】已知不等式 对一切实数 都成立，求实数 的取值范围。 【解析】二次项系数 ，只需 。 解得 。 【答案】 【变式 16】已知不等式 对一切 都成立，求实数 的取值范围。 【解析】不等式即 。令 ，。 当 时 取最大值 。 要使 对一切 成立，只需 。 【答案】 三、课后巩固 1．比较 与 的大小。 【答案】。【简析】作差得 。 2．已知 ，求 的取值范围。 【答案】。【简析】由 得 ，两边同减 。 3．已知 ，求 的最小值。 【答案】。【简析】，当 时取等号。 4．解不等式 。 【答案】。【简析】，由“小于取中间”得解集。 5．解不等式 。 【答案】。【简析】两边同乘 得 ，即 。 6．已知 ，，且 ，求 的最小值。 【答案】。【简析】，当 时取等号。 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $