3.1 不等式的基本性质(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

第3章　不等式 3.1　不等式的基本性质 【学习目标】 　　1.能在熟悉的现实情境中认识和识别存在着的不等关系,能结合具体实例解释什么是不等式,知道不等式是描述客观世界不等关系的重要数学模型. 　　2.知道等式和不等式的共性与差异,能利用不等式的性质证明简单的不等式和解简单的不等式. ◆ 知识点一　不等式的基本事实 1.不等式的定义 用不等号连接两个解析式所得的式子,叫作不等式. 2.比较两个实数大小的基本事实 对任意两个实数a,b, ①a>b⇔a-b>0; ②a=b⇔a-b=0; ③a<b⇔a-b<0. ◆ 知识点二　等式的基本性质 性质1　若a=b,则b=a. 性质2　若a=b且b=c,则　　　　.   性质3　若a=b,则a±c=b±c. 性质4　若a=b,则ac=bc,=(c≠0). ◆ 知识点三　不等式的基本性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b<a ⇔ 2 传递性 a>b,b>c⇒a>c ⇒ 3 可加性 a>b⇔a+c　　　b+c  可逆 4 可乘性 a>b,c>0⇒ac　　　bc  c的符号 a>b,c<0⇒ac<bc 5 同向可加性 a>b,c>d⇒a+c>b+d 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0,c>d>0⇒ac>bd 同向 7 可乘方性 若a>b>0,则an>bn(n∈N*) 同正 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若c-a<c-b,则a<b. (　 ) (2)若a+c>b+d,则a>b,c>d. (　 ) (3)若a>b,c>d,则>. (　 ) ◆ 探究点一　比较两个数(式)的大小 例1 (1)[2026·云南玉溪三中高一月考] 比较大小:x2+y2+2与2(x+2y-2); (2)设a>b>0,比较与的大小. 变式 已知a≥b>0,试比较3a3+2b3与3a2b+2ab2的大小. [素养小结] 比较大小的常用方法 (1)作差法:①作差;②变形;③定号;④结论. (2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④结论. ◆ 探究点二　不等式基本性质的简单应用 例2 (1)[2026·四川绵阳高一期中] 若a>b>0,c∈R,则下列选项正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.> B.a+1<b+1 C.ac2>bc2 D.a2>ab (2)(多选题)[2026·江苏天一中学高一段考] 下列说法正确的是 (　 ) A.若a>b,c>d,则a+c>b+d B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若a<b,则ac2<bc2 D.若a>b>0,c<0,则> 变式 (1)[2026·江苏无锡一中高一期末] 若b>a,则一定有 (　 ) A.> B.ab>a2 C.b+1>a D.> (2)(多选题)[2026·河北保定高一期中] 已知a,b,c∈R,那么下列说法错误的是 (　 ) A.若a>b,则ac2>bc2 B.若>,则a>b C.若a3>b3且ab<0,则> D.若a2>b2且ab>0,则< [素养小结] 解不等式成立问题的常用方法:一是用性质逐个验证;二是用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件. ◆ 探究点三　利用不等式的基本性质证明不等式 例3 (1)已知a>b>c>d,求证:<. (2)已知a>b>0,c<d<0,e<0,求证:>. 变式 已知a>b,e>f,c>0,求证:f-ac<e-bc. [素养小结] 利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式,应用不等式的性质进行推导时,应注意紧扣不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步推导,更不能随意构造性质与法则. ◆ 探究点四　利用不等式的性质求代数式范围 例4 设2<a<7,1<b<2,求a+3b,2a-b,的取值范围. 变式 (1)[2026·天津河西区高一期中] 已知实数a,b满足-2<a<-1,1<b<3,则ab的取值范围是　　　　.  (2)[2026·湖北武汉海淀外国语实验学校高一月考] 若-1<a+b<3,2<a-b<4,则3a-b的取值范围为　　　　.  [素养小结] 求代数式的取值范围需注意两点: (1)严格运用不等式的性质:两个同方向的不等式可加不可减,可乘(同正)不可除. (2)利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求解范围,防止在多次运用不等式的性质时扩大变量的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章　不等式 3.1　不等式的基本性质 【课前预习】 知识点二 a=c 知识点三 >　> 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　[解析] (1)在不等式c-a<c-b两边同时加上-c,得-a<-b,即a>b,所以此说法错误. (2)取a=4,c=5,b=7,d=1,满足a+c>b+d,但不满足a>b,故此说法错误. (3)取a=2,b=1,c=-1,d=-2,满足a>b,c>d,但>不成立,所以此说法错误. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)x2+y2+2-2(x+2y-2)=x2-2x+1+y2-4y+4+1=(x-1)2+(y-2)2+1, 因为(x-1)2≥0,(y-2)2≥0,所以(x-1)2+(y-2)2+1>0,所以x2+y2+2>2(x+2y-2). (2)由a>b>0,得a-b>0,=>0,>0,又===1+>1,所以>. 变式　解:由题意知,3a3+2b3-3a2b-2ab2=3a2(a-b)+2b2(b-a)=(a-b)(3a2-2b2)=(a-b)[a2+2(a+b)(a-b)].因为a≥b>0,所以a-b≥0,a+b>0,a2>0,则(a-b)[a2+2(a+b)(a-b)]≥0,所以3a3+2b3≥3a2b+2ab2. 探究点二 例2　(1)D　(2)AD　[解析] (1)对于选项A,因为a>b>0,所以a2>b2>0,所以<,故A错误;对于选项B,因为a>b>0,所以a+1>b+1,故B错误;对于选项C,当c=0时,ac2=bc2,故C错误;对于选项D,因为a>b>0,所以a2>ab,故D正确.故选D. (2)对于A选项,由不等式的同向可加性可知,该不等式成立,所以A正确;对于B选项,例如0>-1,0>-1,但是0×0<-1×(-1),所以B错误;对于C选项,当c=0时,ac2=bc2,所以C错误;对于D选项,因为a>b>0,所以0<<,又c<0,所以>,所以D正确.故选AD. 变式　(1)C　(2)ABD　[解析] (1)对于A,取b=1,a=-1,满足b>a,但=-1<1=,A错误;对于B,取b=1,a=-1,满足b>a,但ab=-1<1=a2,B错误;对于C,由b>a,得b+1>b>a,C正确;对于D,取b=1,a=-1,满足b>a,但=-1=,D错误.故选C. (2)对于A,当c=0时,ac2=bc2, A中说法错误;对于B,若>,c<0,则a<b,B中说法错误;对于C,若a3>b3且ab<0,则a>0,b<0,所以>,故C中说法正确;对于D,取a=-2,b=-1,满足a2>b2且ab>0,但->-1,故D中说法错误.故选ABD. 探究点三 例3　证明:(1)∵a>b>c>d,即a>b,-d>-c, ∴a-d>b-c>0,则<. (2)∵a>b>0,c<d<0,e<0, ∴b-a<0,c-d<0,-c>-d>0,∴a-c>b-d>0, 则-===>0,∴>. 变式　证明:∵a>b,c>0,∴ac>bc,∴-ac<-bc. ∵f<e,∴f-ac<e-bc. 探究点四 例4　解:∵2<a<7,1<b<2, ∴4<2a<14,3<3b<6,-2<-b<-1,<<1, ∴5<a+3b<13,2<2a-b<13,1<<7. 变式　(1)(-6,-1)　(2)(3,11)　[解析] (1)因为-2<a<-1,所以1<-a<2,又1<b<3,所以1<-ab<6,则-6<ab<-1. (2)由-1<a+b<3,2<a-b<4,得4<2(a-b)<8,而3a-b=(a+b)+2(a-b),所以3<(a+b)+2(a-b)<11,故3a-b的取值范围为3<3a-b<11. 学科网（北京）股份有限公司 $